☉山東省濟(jì)南市萊蕪區(qū)雪野鎮(zhèn)中心中學(xué) 朱 剛

初中數(shù)學(xué)幾何與函數(shù)綜合問題涵蓋的知識點較多，在解題時需要綜合運用數(shù)學(xué)思想方法.解決這類綜合題的常見思路就是數(shù)形結(jié)合，化動為靜，通過圖形特征結(jié)合函數(shù)表達(dá)式，構(gòu)建代數(shù)模型，采用函數(shù)方法解決.

一、“函數(shù)—幾何”綜合問題解題策略分析

1.問題剖析

函數(shù)與幾何綜合問題的題干信息較多，所設(shè)置的問題通常有2～4個，難度層層遞進(jìn)，前后問題聯(lián)系緊密.對大多數(shù)學(xué)生來說，在有限的答題時間內(nèi)掌握問題大意并建立前后問題之間的聯(lián)系具有較大難度，很多學(xué)生審題之后得不出有用的信息，錯誤地將圖中的信息當(dāng)成已知條件，或者無法讀懂圖示信息.在這樣的學(xué)情背景下，剖析題干信息具有重要的現(xiàn)實作用.在實際教學(xué)中，教師并不注重審題引導(dǎo)，往往要求學(xué)生自行讀題，然后直接解決問題，這就導(dǎo)致了部分學(xué)生在不理解題目信息的前提下跟著教師的解題思路進(jìn)行實踐，在獨立解題時仍然找不到解題思路.因此，在講授函數(shù)與幾何綜合問題時，教師需要細(xì)致分析題干信息中的已知條件，通過簡單的數(shù)學(xué)符號將己知條件直觀地展示出來，輔助解題.在涉及動態(tài)問題時，需要將動點、動直線標(biāo)注出來.教師的合理引導(dǎo)會讓學(xué)生養(yǎng)成科學(xué)審題的習(xí)慣，這對于學(xué)生讀題、審題、簡化問題、分析問題、解決問題具有重要的意義.

2.強化數(shù)學(xué)語言轉(zhuǎn)換能力

函數(shù)與幾何問題涉及諸多數(shù)學(xué)語言，如代數(shù)符號、幾何圖形等，只有準(zhǔn)確理解數(shù)學(xué)語言的表達(dá)方式，熟練轉(zhuǎn)化各種數(shù)學(xué)語言，才能準(zhǔn)確地提出解題信息，進(jìn)而采取合適的方法進(jìn)行解決.在授課過程中，教師需要系統(tǒng)地進(jìn)行數(shù)學(xué)語言轉(zhuǎn)換訓(xùn)練，實現(xiàn)幾何與代數(shù)之間的科學(xué)轉(zhuǎn)化.

3.提升問題轉(zhuǎn)化能力

函數(shù)與幾何綜合問題的形式不一，靈活多變，因此單純采用某一方法無法解決所有問題.在教學(xué)過程中，教師要強化學(xué)生的問題轉(zhuǎn)化能力，引導(dǎo)學(xué)生將未接觸過的問題轉(zhuǎn)化成熟悉的、方法明確的問題，在解決問題之后進(jìn)行系統(tǒng)總結(jié)，形成完整的知識網(wǎng)絡(luò)與方法體系.經(jīng)過一段時間的訓(xùn)練，學(xué)生的知識結(jié)構(gòu)得以豐富，不僅僅是知識點的羅列，還有通過簡單問題及思路方法的鏈接形成完備的方法體系.通過問題轉(zhuǎn)化，學(xué)生對問題的解析不再單一，解題時思路更加多樣，可供選擇的方法也更多.

4.注重隱含條件挖掘

在函數(shù)與幾何綜合問題中，有些條件不會直接給出，需要學(xué)生經(jīng)過觀察或分析得出，如幾何圖像附帶的解題信息.在解題過程中，部分學(xué)生無法得出這些隱含的條件，錯誤地認(rèn)為條件不足.隱含條件是解決這類綜合問題的關(guān)鍵，因此教師在解題教學(xué)中需要引導(dǎo)學(xué)生仔細(xì)讀題，對比已知的題干信息和解決問題所需條件，得出尚未明確的條件信息，然后繼續(xù)審題，尤其是幾何圖形特征、函數(shù)自變量的取值范圍、函數(shù)的性質(zhì)等，明確隱含條件.

二、函數(shù)圖像與幾何綜合問題

圖1

案例1：如圖1所示，二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a＜0）的圖像過坐標(biāo)原點，與x軸交于點A，一直線過點A，和y軸交于點B，和二次函數(shù)的圖像交于點C，已知點C的橫坐標(biāo)是-1，AC與BC的長度比為3∶1.

（1）試求解點A的坐標(biāo)；

（2）已知二次函數(shù)圖像的頂點為F，對稱軸和x軸交于點E，和直線AB交于點D，若△FCD和△AED相似，試求解該二次函數(shù)的解析式.

解析：第（1）問求解較為容易，過點C作x軸或y軸的垂線段，根據(jù)平行線分線段成比例的原則即可求出OA的長度為4，進(jìn)而求出點A的坐標(biāo)為（-4，0）.利用點A的坐標(biāo)，可以通過待定系數(shù)法確定函數(shù)表達(dá)式為y=ax2+4ax，分別表示出點C、F、D的坐標(biāo)，過點C作CH⊥EF于點H，可證明點H為點F和點D的中點，利用直角三角形斜邊中線定理構(gòu)造方程，求解出參數(shù)a的值，進(jìn)而確定二次函數(shù)的解析式，解題過程如下：

函數(shù)圖像過原點，可知參數(shù)c的值為0.將點A（-4，0）代入解析式，可得y=ax2+4ax，確定點F的坐標(biāo)為（-2，-4a），點C的坐標(biāo)為（-1，-3a）.可知，解得DE=-2a，可知點D的坐標(biāo)為（-2，-2a）.過點C作CH⊥EF于點H，CH=1，HE=CG=-3a，HF=-4a-（-3a）=-a，DH=-3a-（-2a）=-a，因此可證H為DF的中點.∠DCF=90°，可得，即1=，則a=-1，因此函數(shù)的解析式為y=-x2-4x.

總結(jié)：在解決本題的過程中，應(yīng)用到了平行線分線段成比例定理，借助了相似三角形的判定與性質(zhì)、直角三角形斜邊上中線的性質(zhì)及二次函數(shù)的圖像與性質(zhì)，綜合考查了幾何與函數(shù)內(nèi)容，是對數(shù)形結(jié)合思想、方程思想、待定系數(shù)法等數(shù)學(xué)思想和方法的綜合應(yīng)用，對學(xué)生思維能力的要求較高.

三、函數(shù)描述幾何面積問題

案例2：如圖2所示，在△ABC中，∠B=45°，BC的長度為5，AD的長度為4，QP在BC上，點E在AB上，點F在AC上，AD和EF相交于點H.EF的長度為多少時，矩形EFPQ的面積最大？試求解出最大的面積.

圖2

解析：這是典型的幾何與函數(shù)相結(jié)合的問題，可以先用函數(shù)表達(dá)矩形EFPQ的面積，然后借助二次函數(shù)極值問題進(jìn)行求解，得到矩形的最大面積及滿足要求的長度.已知∠B=45°，可得BD和AD的長度均為4，CD=BCBD=1.因為EF和BC平行，可證明△AEH和△ABD相似，即同理，因為EF和BC平行，可證明△AFH和△ACD相似，即綜上，可得，因此，即EH=4HF.設(shè)EF的長度為x，計算得因為∠B=45°，計算可得，因此矩形EFPQ的面積易知當(dāng)EF的長度為時，矩形EFPQ的面積取到最大值，面積的最大值為5.

總結(jié)：本題是對相似三角形的判定與性質(zhì)、二次函數(shù)最值求解、矩形、三角形等的綜合考查，涉及的知識內(nèi)容較多.解決本題的關(guān)鍵就是根據(jù)幾何圖形的動態(tài)變化情況構(gòu)建函數(shù)解析式，將幾何問題利用函數(shù)問題，轉(zhuǎn)化成函數(shù)的圖像、性質(zhì)進(jìn)行求解，得出最終結(jié)果.

四、結(jié)語

綜上所述，初中函數(shù)與幾何綜合問題所涵蓋的知識點較多，方程、函數(shù)、幾何圖形、坐標(biāo)系等，問題設(shè)計具有較強的綜合性、層次性及創(chuàng)新性.在解決這類問題時，要求學(xué)生具備扎實的知識基礎(chǔ)和解決問題的技能.同時，教師需要培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)形結(jié)合、函數(shù)與方程、化歸與轉(zhuǎn)化等數(shù)學(xué)思維能力.這類問題沒有固定的解決辦法，相比于特定的解決方法，解決問題的思路才是教學(xué)的重點.