☉江蘇省常熟市尚湖中學(xué) 胡建中

《中學(xué)數(shù)學(xué)》（下）近年來有多篇文章關(guān)注學(xué)生錯(cuò)誤解法的診評(píng)與教學(xué)跟進(jìn)，對(duì)我們深入研究相關(guān)考題有很好的啟示作用.筆者近期也深入診評(píng)過學(xué)生的一些錯(cuò)誤解法，有了一些認(rèn)識(shí)和思考，本文從一個(gè)學(xué)生的錯(cuò)誤解法說起，深入剖析這道考題的解法與結(jié)構(gòu)，并提出一些相關(guān)思考，供研討.

一、從學(xué)生的錯(cuò)誤解法說起

考題：（2018年江蘇徐州，第28題）如圖1，平面直角坐標(biāo)系中，O為原點(diǎn)，點(diǎn)A、B分別在y軸、x軸的正半軸上.△AOB的兩條外角平分線交于點(diǎn)P，點(diǎn)P在反比例函數(shù)y=的圖像上.PA的延長線交x軸于點(diǎn)C，PB的延長線交y軸于點(diǎn)D，連接CD.

（1）求∠P的度數(shù)及點(diǎn)P的坐標(biāo).

（2）求△OCD的面積.

（3）△AOB的面積是否存在最大值？若存在，求出最大面積；若不存在，請(qǐng)說明理由.

圖1

圖2

學(xué)生解法：（1）由AP、BP是△AOB的兩條外角平分線，得

由∠OAB+∠OBA=90°，得∠BAy+∠ABx=135°.則∠P=45°.

如圖2，過點(diǎn)P作PM⊥y軸于點(diǎn)M，PN⊥x軸于點(diǎn)N，PH⊥AB于點(diǎn)H.

則∠PMA=∠PHA=90°.

在△APM 和△APH 中，∠PMA=∠PHA，∠PAM=∠PAH，PA=PA，則，則PM=PH.

同理，PH=PN.

則PM=PN.

（2）設(shè)OA=a，OB=b，則AM=AH=3-a，BN=BH=3-b，則AB=6-a-b.又AB2=OA2+OB2，則a2+b2=（6-a-b）2，可得ab=18-6a-6b.①

（3）設(shè)OA=a，OB=b，則AM=AH=3-a，BN=BH=3-b，則AB=6-a-b.

在直角三角形AOB中，a2+b2=（6-a-b）2，整理得a=

解法診評(píng)：（診評(píng)順序就依據(jù)學(xué)生解法展開）

對(duì)于第（1）問，雖然答案正確，但是解法步驟中有思維回路，主要是處理“PM=PH”時(shí)用的是全等法，可以直接使用“角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊距離相等”簡化推理，數(shù)學(xué)解法需要求優(yōu)、求簡.

第（2）問思路方向、解題路徑都是正確的，但是在關(guān)鍵步驟的演算變形上出錯(cuò)，即上面步驟“①”出現(xiàn)錯(cuò)誤，應(yīng)該訂正為“ab=6a+6b-18”，在步驟③中，代入運(yùn)算出現(xiàn)錯(cuò)漏，把面積計(jì)算公式的系數(shù)漏掉，也是另一處錯(cuò)誤.訂正上述兩個(gè)錯(cuò)漏之后，演算就得到了正確答案9.

需要指出的是，上述思路好理解，但是需要扎實(shí)的數(shù)式、方程、函數(shù)最值分析的運(yùn)算基本功，這就是設(shè)出點(diǎn)A（0，a）、B（b，0），并進(jìn)一步利用直角三角形AOB溝通a、b之間的關(guān)系式，代入△AOB的面積表達(dá)式中，從而“消參”得出只含一個(gè)參數(shù)a或b的式子，這里再利用根的判別式對(duì)分式最值進(jìn)行分析就可以了.然而，“望斷天涯路”之后，是“衣帶漸寬終不悔”的運(yùn)算和最值分析，也是多數(shù)初中生難以達(dá)到的分析層次.

二、對(duì)考題解法的進(jìn)一步探究

圖3

我們先給出第（2）問的不同思路，因?yàn)榍蠼獾年P(guān)鍵是OC·OD，接著把問題中無關(guān)線段刪減后簡化為圖3.連接OP，借助45°的條件，可證∠PCO=∠DPO，∠CPO=∠PDO，可得△PCO△DPO，則則OC·OD=OP2=18，則

順便指出，如果著眼于直線PA、PB的解析式，并表示出點(diǎn)C、D的坐標(biāo)，再代入面積關(guān)系式進(jìn)行運(yùn)算，也可以獲得進(jìn)展，只是“含參”運(yùn)算的量會(huì)稍大一些.對(duì)于本題來說，也可以貫通思路.相比上面的幾何思路來看，“算法簡單的方法往往要付出邏輯思維的代價(jià)”.

再看第（3）問，設(shè)OA=a，OB=b，則AM=AH=3-a，BN=BH=3-b，可得AB=6-a-b，推出OA+OB+AB=6，可得a+b+，利用“基本不等式”（高中將系統(tǒng)學(xué)習(xí)，這里作為拓展提升，也可基于配方、變形引導(dǎo)學(xué)生理解）即可解決問題.

因?yàn)槌踔须A段并沒有系統(tǒng)研究基本不等式，學(xué)生對(duì)基本不等式是“陌生的”.如果覺得使用“基本不等式”比較突然，要用這個(gè)思路方法，也可先帶領(lǐng)學(xué)生驗(yàn)證一下“基本不等式”從何而來，其實(shí)只要使用配方法、完全平方式為非負(fù)式就可解釋清楚.如，展開、移項(xiàng)并整理得a+b≥在此基礎(chǔ)上續(xù)解問題a+b+，則△AOB的面積的最大值為

三、命題商榷

解后反思這道壓軸題會(huì)發(fā)現(xiàn)，這道考題以反比例函數(shù)的圖像（曲線）為背景命制，給人感覺貌似一道函數(shù)圖像的綜合題，然而，解后大家都能看到曲線的價(jià)值在第（1）問求出點(diǎn)P的坐標(biāo)之后就提前“枯萎、死去”，后續(xù)兩問與曲線及函數(shù)性質(zhì)“毫不相關(guān)”，這是典型的“函數(shù)圖像搭臺(tái)，平面幾何唱戲”，而且第（2）、（3）問之間缺少關(guān)聯(lián)呼應(yīng)，甚至第（3）問的本質(zhì)

是以下一個(gè)“經(jīng)典問題”：如圖4，正方形ABCD中，點(diǎn)E、F分別在 邊AD、CD上，且∠EBF=45°，則△DEF的周長為定值（正方形ABCD邊長的兩倍）；△DEF的面積存在最大值（當(dāng)DE=DF，即點(diǎn)E、F關(guān)于BD對(duì)稱時(shí)取得）.

圖4

四、圍繞考題的教學(xué)建議

1.理解考題結(jié)構(gòu)，明辨難點(diǎn)本質(zhì)

圍繞考題開展解題教學(xué)之前，需要先深刻理解考題結(jié)構(gòu)，并且基于學(xué)情明辨難點(diǎn)、關(guān)鍵步驟、易錯(cuò)點(diǎn)，以便追求對(duì)考題的深刻理解，為后續(xù)教學(xué)設(shè)計(jì)提供必要準(zhǔn)備.比如，我們?cè)谏厦娼o出圖4，就是洞察問題的本質(zhì)，想清這些對(duì)于講評(píng)會(huì)有較好的作用.因?yàn)楫?dāng)學(xué)生有困惑不能排除干擾突出關(guān)鍵步驟時(shí)，我們可以進(jìn)行無關(guān)線條的刪減，轉(zhuǎn)化和凸顯關(guān)鍵圖形的問題.

2.預(yù)設(shè)鋪墊問題，跟進(jìn)同類再練

在具體開展解題教學(xué)設(shè)計(jì)時(shí)，對(duì)于一些較難問題，要預(yù)設(shè)鋪墊式問題，以幫助學(xué)生獲得思路啟示.比如，考題第（2）問的求解思路較多，可以考慮在不同思路啟示之前設(shè)計(jì)一些簡單的問題背景，讓學(xué)生由這些簡單的問題拾級(jí)而上，獲得進(jìn)展.在講評(píng)之后，較難問題需要跟進(jìn)同類問題或變式再練，以加深學(xué)生對(duì)相關(guān)問題的深刻理解.