陳迎建

整體求解方法基于整體求解思想是數(shù)學(xué)解題過程中的一種重要方法，在初中數(shù)學(xué)解題方法中占有重要的地位。整體求解思想的灌輸對(duì)初中生而言，不僅僅是數(shù)學(xué)問題的解決，更是思維的培養(yǎng)與鍛煉以及看待問題的角度的拓展。對(duì)于整體求解思想的定義往往因人而異，但總的來(lái)說可以歸納為：整體求解思想是初中數(shù)學(xué)教學(xué)思想的一種，其基于宏觀、整體的層面其看待，理解、分析問題，角度更加寬泛。

在初中數(shù)學(xué)的教學(xué)過程中，不斷滲透、灌輸整體求解思想，是數(shù)學(xué)改革的重要要求，也是教學(xué)重點(diǎn)與難點(diǎn)。讓學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中不斷地去體會(huì)整體變換、相互代換以及事物之間存在的的普遍聯(lián)系，從而加深對(duì)數(shù)學(xué)的認(rèn)識(shí)與理解。初中生處在直觀思維到邏輯思維的變化過程中，在數(shù)學(xué)的解題過程中將會(huì)受到思維定式、顧此失彼的影響，降低學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的熱情及積極性，整體思維的學(xué)習(xí)既能拓寬學(xué)生的思維，提高學(xué)習(xí)的興趣，又能幫助學(xué)生去整體、全面的把握、看待問題，培養(yǎng)鍛煉學(xué)生的創(chuàng)造性思維。學(xué)生能夠更加徹底的、明確的認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)、了解數(shù)學(xué)，提高處理問題的能力與水平。

整式乘法與因式分解這一章蘊(yùn)含著豐富的整體求解思想。完全平方公式以及利用完全平方公式進(jìn)行因式分解練習(xí)中，學(xué)生需好好把握整體求解思想。如以下三個(gè)公式：

這里①、②可以說明兩項(xiàng)和（差）的平方等于兩項(xiàng)平方之和加上（減去）兩項(xiàng)的2倍。教學(xué)中可以以：首平方，尾平方，首尾二倍在中央，符號(hào)看前方去記憶和理解。公式③理解為兩項(xiàng)和乘兩項(xiàng)差等于兩項(xiàng)平方之差。在學(xué)習(xí)的過程中，學(xué)生應(yīng)該理解”a”、“b”所代表的是一項(xiàng)，一個(gè)整體，而不能單純的看成一個(gè)字母、一個(gè)數(shù)字，一個(gè)單項(xiàng)式。特別在利用完全平方公式進(jìn)行因式分解的過程中要特別注意。

筆者將通過以下四個(gè)常見的整體求解方法在乘法公式與因式分解這一章的應(yīng)用進(jìn)行闡述。

一、整體換元法的應(yīng)用

整體換元法指的是在數(shù)學(xué)的解題過程中，設(shè)立一個(gè)新“元”即新的變量去表示或者代替條件中的已知式或者其中的某一部分，從而達(dá)到化煩為簡(jiǎn)的目的，利于快速解題。

例1：已知（2000-a）（1998-a）=1999，那么（2000-a）2＋（1998-a）2=。

分析：條件及問題中皆出現(xiàn)了2000-a、1998-a這兩個(gè)代數(shù)式，因此可以把它們分別看成一個(gè)整體，利用整體換元的方法去解決。設(shè)2000-a=m，1998-a=n，將問題轉(zhuǎn)化為已知mn=1999，求m2＋n2的值.根據(jù)完全平方公式，還缺少m＋n或m-n的值，再根據(jù)隱含條件m-n=（2000-a）-（1998-a）=2就可以利用m2＋n2=（m-n）2＋2mn求解.

解答：設(shè)2000-a=m，1998-a=n，則mn=1999，m-n=2，

所以需要好好體會(huì)完全平方公式在應(yīng)用過程中整體思想的把握理解，即把某一代數(shù)式看成一個(gè)整體作為公式的一項(xiàng)。

引申：已知（x-2015）2＋（x-2017）2=34，則（x-2016）2的值是（ ）

解題過程：

解：設(shè)x-2016=y則x-2015=y＋1，x-2017=y-1

∴ (y＋1)2＋(y-1)2=34 ∴y2=16

∴ (x-2016)2=16

例2：將 (x2-4x＋6) (x2-4x＋2) ＋4進(jìn)行因式分解

分析：條件兩項(xiàng)多項(xiàng)式中均含有x2-4x，可以把它看成一個(gè)整體，利用整體換元法進(jìn)行運(yùn)算。

解題過程：解：設(shè)x2-4x=y

二、整體代換法的應(yīng)用

在數(shù)學(xué)的求解過程中，特別是代數(shù)式求值中，題目所給的條件無(wú)法直接利用到問題中進(jìn)行求解?？梢愿鶕?jù)所求問題的條件和結(jié)論，選擇條件或者問題的中的某一個(gè)或者幾個(gè)代數(shù)式作為一個(gè)整體，去觀察尋找問題與條件的關(guān)聯(lián)并進(jìn)行靈活的變通，從而達(dá)到簡(jiǎn)化求解的效果。

例1：已知x2＋x-5=0，則代數(shù)式（x-1）2-x（x-3）＋（x＋2）（x-2）的值為.

分析：條件問題無(wú)直接聯(lián)系，所以先利用乘法公式展開，原式=x2＋x-3.此時(shí)可以發(fā)現(xiàn)所求代數(shù)式與條件的聯(lián)系：將x2＋x=5整體代入可以較為容易的求出答案。

解題過程：原式=x2-2x＋1-x2＋3x＋x2-4=x2＋x-3

∵x2＋x-5=0 ∴x2＋x=5 ∴原式=5-3=2

例2：a2-3b=4，則6b-2a2＋2019=______

分析：觀察問題中6b-2a2與條件存在-2倍的關(guān)系，及6b-2a2=-2（a2-3b）。將a2-3b=4整體代入進(jìn)行求解。

解題過程：∵6b-2a2＋2019=-2(a2-3b) ＋2019

又∵a2-3b=4 ∵原式=-2x4＋2019=2011

三、整體變形法的應(yīng)用

在本章的學(xué)習(xí)過程中，要理解字母“a”、“b”所代表的是一個(gè)項(xiàng)，一個(gè)代數(shù)式。在練習(xí)過程中，有意識(shí)的將題目中的部分作為一個(gè)整體進(jìn)行處理，從而使得問題呈現(xiàn)出一定的規(guī)律或者熟知的的公式定理，達(dá)到簡(jiǎn)化計(jì)算過程，減少運(yùn)算量的效果。

例1：計(jì)算（a＋2b-3c）（a-2b-3c）.

分析：從題目來(lái)看與所學(xué)的平方差公式地形式相仿，但又有不同之處。平方差公式是兩項(xiàng)和乘兩項(xiàng)差，因此需要將題目中的某兩項(xiàng)看成一個(gè)整體，從而利用公式進(jìn)行求解。

在找平方差公式中的“a”與“b”需要注意，對(duì)于此類題型，只要將各括號(hào)內(nèi)的符號(hào)相同項(xiàng)看成一個(gè)整體，作為公式中的“a”，再將符號(hào)相反項(xiàng)作為一個(gè)整體，看作公式中的“b”，就可以利用平方差公式進(jìn)行求解。

例2：因式分解：（a2-4a）2＋8（a2-4a）＋16

分析：根據(jù)條件，其符合完全平方公式的基本特征。利用完全平方公式去進(jìn)行因式分解，學(xué)生需理解a2-4a作為一個(gè)整體項(xiàng)，也就是公式里的“a”。

四、整體配方法的應(yīng)用

在數(shù)的練習(xí)過程中，利用整體配方法也是解決問題的一種常用方式。就目前學(xué)習(xí)而言，學(xué)生需要對(duì)完全平方公式地有一個(gè)徹底的認(rèn)識(shí)。能夠根據(jù)已給的條件中，進(jìn)行適當(dāng)?shù)钠礈悾怪疂M足完全平方公式的基本結(jié)構(gòu)，從而達(dá)到簡(jiǎn)化問題，減少計(jì)算，簡(jiǎn)化答題的目的。

例1：若a2＋b2＋4a-2b＋5=0，求a、b的值。

分析：條件出現(xiàn)a2＋4a，那么根據(jù)完全平方式的基本結(jié)構(gòu)，a2作為首平方，4a作為首尾項(xiàng)的2倍，可得出尾項(xiàng)平方為22即整體配方為(a＋2)2，同理得b2-2b可配方為(b-1)2。解析過程：

∵ a2＋4a＋4＋b2-2b＋1=0 ∴ (a＋2)2＋(b-1)2=0

∵ (a＋2)2≥0且(b-1)2≥0 ∴a＋2=0，a=-2 b-1=0，b=1

延伸：若4a2＋b2＋c2-2ab-3b＋6c＋12=0，求a＋b＋c的值

分析：從條件來(lái)看，出現(xiàn)了c2＋6c，根據(jù)整體配方需要在加上32構(gòu)造成完全平方公式。同理，由4a2-2ab兩項(xiàng)，需要再加上一項(xiàng)整體構(gòu)造。解題過程如下：

例2：已知a，b是一個(gè)等腰三角形的兩邊長(zhǎng)，且滿足a2＋b2-4a-6a＋13=0，求這個(gè)等腰三角形的周長(zhǎng)。

分析：根據(jù)a2-4a整體構(gòu)造完全平方公式需要加上另一項(xiàng)22，同理b2-6b需要加上第三項(xiàng)32。解題過程如下：

解：∵a2＋b2-4a-6b＋13=0

∴（a2-4a＋4）＋（b2-6b＋9）=0

∴（a-2）2＋（b-3）2=0 ∴a=2，b=3

所以當(dāng)腰長(zhǎng)為2時(shí)，等腰三角形的周長(zhǎng)是2＋2＋3=7；當(dāng)腰長(zhǎng)為3時(shí)，等腰三角形的周長(zhǎng)為2＋3＋3=8；綜上，該等腰三角形的周長(zhǎng)是7或8

總結(jié)：整體求解思想是初中數(shù)學(xué)主要的解題思想之一，在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中占有重要的地位。在整式乘法與因式分解這一章中，整體求解思想有著充分地體現(xiàn)。整體換元方法、整體代換法、整體變形法、整體配方法在本章節(jié)有著重要的應(yīng)用，是解決乘法公式及因式分解的重要方法。整體求解思想的貫徹與理解，不僅提高學(xué)生解決問題的能力，而且有助于學(xué)生的創(chuàng)造性思維及邏輯思維的培養(yǎng)，對(duì)于學(xué)生的發(fā)展有著重要地意義。