平均數(shù)教學(xué)的實(shí)踐與思考
2019-10-31 06:52:48臺(tái)州學(xué)院丁虹尹
小學(xué)時(shí)代 2019年3期
臺(tái)州學(xué)院 丁虹尹
平均數(shù)作為一組數(shù)據(jù)整體情況集中趨勢(shì)的代名詞，應(yīng)用于數(shù)學(xué)的方方面面。雖然不是實(shí)質(zhì)的數(shù)字，但又的確來(lái)源于個(gè)體數(shù)據(jù)，反應(yīng)真實(shí)情況。平均數(shù)算法的多樣化，其算理和算法作為知識(shí)起點(diǎn)衍生出的內(nèi)容，以及平均數(shù)與個(gè)體數(shù)之間的聯(lián)系，都是值得思考的地方。
本文的靈感來(lái)源于錦園小學(xué)兩位老師分別執(zhí)教的《平均分》和《平均數(shù)》，聽(tīng)完后我對(duì)于“平均數(shù)”進(jìn)行了一些思考，并將自己的想法整理記錄下來(lái)。文章將圍繞“平均數(shù)”與“個(gè)體數(shù)”，對(duì)它們的兩種計(jì)算方法（移多補(bǔ)少、總數(shù)均分）以及相互關(guān)系進(jìn)行討論。
一、個(gè)體數(shù)與平均數(shù)在不同學(xué)段的呈現(xiàn)方式
（一）低段教學(xué)，出現(xiàn)平均數(shù)概念，但不突顯
在小學(xué)階段，學(xué)生初次接觸到平均的概念是二年級(jí)學(xué)習(xí)“平均分”的時(shí)候。平均分意味著把總數(shù)分成若干份，使得每份都一樣。舉一個(gè)例子：“將15個(gè)桃子平均分給3個(gè)小朋友，每人可以得到幾個(gè)桃子？”我們知道答案是每個(gè)小朋友都可以得到5個(gè)桃子，然而我覺(jué)得，這5個(gè)桃子還有一個(gè)更深層次的作用，它應(yīng)該讓小朋友意識(shí)到，這樣的分法的的確確做到了公平公正、數(shù)量一樣，所以這個(gè)5不單是每人分到的桃子的個(gè)數(shù)，即我們稱之為“個(gè)體數(shù)”，它還體現(xiàn)了每個(gè)小朋友都是分到一樣多，是平均的，所以這個(gè)5也是這些小朋友所擁有的桃子數(shù)量的“平均數(shù)”。因此，在平均分的過(guò)程當(dāng)中，個(gè)體數(shù)和平均數(shù)在數(shù)值上是相等的。與平均數(shù)類似性質(zhì)的還有在高年級(jí)的時(shí)候會(huì)學(xué)到的分?jǐn)?shù)，例如1/3，就是把1平均分成3份，1/5就是把1平均分成5份，每份都是一樣多的。而大部分的學(xué)生為什么都會(huì)有這樣的感覺(jué)：1/3+1/5的結(jié)果應(yīng)該不是把分子和分子相加，分母和分母相加，即得到2/8，就是因?yàn)檫@樣的加法違背了“平均”的概念，兩個(gè)個(gè)體數(shù)之間不存在直接的關(guān)系，由此想到把1/3和1/5都分得再細(xì)一些，再小一些，而且使得每一份的數(shù)量都要一樣，因此把個(gè)體數(shù)都變成1/15，1/30,1/45，…，使得兩個(gè)分?jǐn)?shù)的分?jǐn)?shù)單位達(dá)到“平均一致化”，然后再相加，即得出方法：異分母分?jǐn)?shù)相加，應(yīng)該先通分。
（二）高段教學(xué)，突顯“平均數(shù)”的意義
學(xué)生初次接觸到“平均數(shù)”的概念是在四年級(jí)下冊(cè)第90頁(yè)例一：小紅、小蘭、小亮、小明各收集了 14、12、11、15 個(gè)瓶子，整個(gè)小隊(duì)平均每人收集了多少個(gè)？在剛才低年級(jí)的情境中我們可以知道：“5”這個(gè)數(shù)字既可以代表每個(gè)小朋友分得的桃子數(shù)量，也可以用來(lái)表示他們每人分得桃子的整體情況；而在這個(gè)情境當(dāng)中，想要用一個(gè)數(shù)字來(lái)表示4個(gè)同學(xué)收集瓶子的整體情況，“平均數(shù)”的意義和作用就自然而然地顯現(xiàn)了出來(lái)，因?yàn)槠骄鶖?shù)是表示一組數(shù)據(jù)集中趨勢(shì)的量數(shù)，是反應(yīng)數(shù)據(jù)集中趨勢(shì)的一個(gè)指標(biāo)，形象地說(shuō)，是很多不同個(gè)體數(shù)形成集合的“法人代表”。正因?yàn)槠骄鶖?shù)在數(shù)學(xué)中有著廣泛的應(yīng)用，由此也衍生出了“算術(shù)平均數(shù)”、“幾何平均數(shù)”、“調(diào)和平均數(shù)”、“加權(quán)平均數(shù)”、“平方平均數(shù)”、“指數(shù)平均數(shù)”等，每一種平均數(shù)都有著其獨(dú)特的計(jì)算方法和作用。而在小學(xué)數(shù)學(xué)中，我們所講的平均數(shù)一般指的是算術(shù)平均數(shù)。
二、求平均數(shù)的兩種方法的區(qū)別和聯(lián)系
這里面就涉及到了兩種求平均數(shù)的方法，一種方法是“移多補(bǔ)少”，另一種方法是利用“總數(shù)÷數(shù)量”（我們簡(jiǎn)稱“總數(shù)均分”）得到。利用這兩種方法都可以求得平均數(shù)，因此我們?cè)诮唐骄鶖?shù)的時(shí)候都會(huì)習(xí)慣性地把這兩種方法一起說(shuō)，但是仔細(xì)思考之后，我認(rèn)為兩種方法其實(shí)是不太相同的，因?yàn)榍笃骄鶖?shù)的操作有兩步，分別為“分”和“數(shù)”，兩種方法的區(qū)別也就在此體現(xiàn)。
（一）“移多補(bǔ)少”是先分后數(shù)的過(guò)程
舉一個(gè)生活中的例子，如何把一堆總數(shù)不知道的硬幣平均分成4份（假設(shè)正好能夠分完）。我們可以采用“移多補(bǔ)少”的方法：先把這堆硬幣疊起來(lái)任意分成4份，然后通過(guò)對(duì)每一堆進(jìn)行增加或者減少達(dá)到平均分配。但其實(shí)我們?cè)诜趾昧酥蟛⒉恢烂恳欢延矌诺降子袔酌?，只不過(guò)我們知道這樣的分法的確已經(jīng)使得每一堆的數(shù)量都一樣了，至于平均數(shù)到底是多少，我們還是要通過(guò)“數(shù)一數(shù)”的辦法去驗(yàn)證。因此我認(rèn)為“移多補(bǔ)少”準(zhǔn)確地來(lái)說(shuō)是先均衡個(gè)體差異，而非直接求出平均數(shù)的大小。在現(xiàn)實(shí)生活中，類似的例子還有不少，比如挑扁擔(dān)、分試卷等，這種方法比較適合于實(shí)際操作，或者能估出平均數(shù)的情況。
（二）“總數(shù)均分”是先數(shù)后分的過(guò)程
例如：求全班這一次數(shù)學(xué)測(cè)試的平均分是多少？我們肯定會(huì)選擇數(shù)全班同學(xué)的分?jǐn)?shù)相加再除以全班的人數(shù)，得到班級(jí)平均分。因?yàn)檫@時(shí)候，“移多補(bǔ)少”這樣的方法在實(shí)際中就有很大的局限性：第一，將抽象的分?jǐn)?shù)轉(zhuǎn)化成可以進(jìn)行移補(bǔ)操作的圖，需要花費(fèi)很長(zhǎng)的時(shí)間；第二，數(shù)據(jù)太復(fù)雜，平均數(shù)估不出來(lái)，而且極大可能出現(xiàn)除不盡的情況。生活當(dāng)中很多平均數(shù)的問(wèn)題都是像這樣個(gè)體數(shù)龐大、平均數(shù)又不是整數(shù)的，所以“總數(shù)均分”這種方法是求平均數(shù)最通用、最直接的辦法。和“移多補(bǔ)少”比較，它的特點(diǎn)是不需要考慮個(gè)體數(shù)之間數(shù)量、大小的差異，因此比較適合于個(gè)體數(shù)量較多，比較抽象，或者不容易直接看出平均數(shù)的時(shí)候。
（三）在不同題型中，兩種算法的優(yōu)化對(duì)比
例如：例1：甲班43人，乙班35人，那么這兩班的平均人數(shù)是幾人？
算式：①（43+35）÷2=39（人）（總數(shù)均分）
②43-35=8 8÷4=2 43-4=39（移多補(bǔ)少）
例2：甲班43人，乙班35人，丙班42人，那么這三班的平均人數(shù)是幾人？
算式：①（43+35+42）÷3=40（人）（總數(shù)均分）
②42-39=3（人）3÷3=1（人） 39+1=40（人）（移多補(bǔ)少）通過(guò)例1、例2，我們可以發(fā)現(xiàn)：在計(jì)算平均數(shù)時(shí)，“總數(shù)均分”較為簡(jiǎn)單，“移多補(bǔ)少”比較麻煩。
再例如：例3：甲、乙兩班平均39人，甲班43人，比乙班多幾人？
算式：①39×2-43=35（人）43-35=8（人）（總數(shù)均分）
②（43-39）×2=8（人）（移多補(bǔ)少）
例4：甲乙兩班平均39人，甲班新來(lái)2人，這時(shí)兩班平均幾人？
算式：①（39×2+2）÷2=40（人）（總數(shù)均分）
②2÷2+39=40（人）（移多補(bǔ)少）
通過(guò)例3、例4，我們可以發(fā)現(xiàn)：在計(jì)算個(gè)體數(shù)、局部個(gè)體數(shù)變化求平均數(shù)時(shí)，“總數(shù)均分”較為麻煩，“移多補(bǔ)少”比較簡(jiǎn)單。
因此，歸納起來(lái)就是：“移多補(bǔ)少”體現(xiàn)的是個(gè)體差異，最適應(yīng)于求個(gè)體數(shù)問(wèn)題，“總數(shù)均分”最適用于求平均數(shù)問(wèn)題。但兩個(gè)方法也可以互通，因?yàn)槠骄鶖?shù)和個(gè)體數(shù)之間存在著互相依存的關(guān)系，我們?cè)谟?jì)算中，需要根據(jù)具體情況選擇合適的方法。
另外，結(jié)合高年級(jí)的二元一次方程來(lái)看，兩種方法也有共通的地方。舉一個(gè)例子：A+B=40，A-B=18，求A,B各是多少？如果我們把（A+B），（A-B）都看成一個(gè)整體的話，那么求A的方法就是（40+18）÷2=29，也就是說(shuō)，A 就是（A+B）和（A-B）的平均數(shù)，這個(gè)求法體現(xiàn)的就是“總數(shù)均分”的方法；那么求B的最簡(jiǎn)方法呢？應(yīng)該是用（40-18）÷2=11，這個(gè)方法在實(shí)質(zhì)上體現(xiàn)了“移多補(bǔ)少”的思想，B就是（A+B）需要取出來(lái)補(bǔ)給（A-B）的那部分。
（四）對(duì)于“平均數(shù)”起始課的一點(diǎn)想法
實(shí)習(xí)期間曾經(jīng)聽(tīng)兩位不同年級(jí)的班主任聊起她們兩班的人數(shù)：老師甲：“我們班 35 人，你們班呢？”老師乙：“43?！比绻菑膬晌话嘀魅蔚慕嵌瘸霭l(fā)，她們自然而然想到的是“我們兩個(gè)班相差8人”，但作為一個(gè)局外人，又是一名未來(lái)的數(shù)學(xué)老師，我想到的問(wèn)題還有“那么她們兩個(gè)班的平均人數(shù)是多少？”然后腦子里面的第一反應(yīng)就是：43-35=8 8÷4=2 43-4=39，35+4=39。相信有不少的老師在遇到類似的問(wèn)題時(shí)也會(huì)有和我一樣的想法，只不過(guò)在我們的教材當(dāng)中沒(méi)有體現(xiàn)出來(lái)。因?yàn)槲覀冊(cè)诮唐骄鶖?shù)的第一節(jié)課，出現(xiàn)的就是4個(gè)個(gè)體求平均數(shù)，學(xué)生基本上會(huì)采用“總數(shù)均分”的方法。因?yàn)閭€(gè)體數(shù)量太多的原因，使得“移多補(bǔ)少”變成了只是讓學(xué)生體會(huì)“用平均數(shù)可以表示這4個(gè)數(shù)據(jù)的整體情況”這個(gè)概念，但在真正計(jì)算的時(shí)候卻沒(méi)有將算理轉(zhuǎn)化成算法，弱化甚至消除了“移多補(bǔ)少”算法的可行性。
因此結(jié)合學(xué)生的認(rèn)知起點(diǎn)和學(xué)情分析，我在實(shí)習(xí)過(guò)程中嘗試上了一節(jié)技能練習(xí)課，內(nèi)容是《利用移多補(bǔ)少方法求3個(gè)數(shù)的平均數(shù)》，感覺(jué)對(duì)于學(xué)生思維的拓展有一定好處。所以有個(gè)想法就是，在四年級(jí)學(xué)生剛開(kāi)始學(xué)習(xí)平均數(shù)的時(shí)候，是不是可以先從個(gè)體數(shù)為2個(gè)的開(kāi)始教起，這樣在不影響學(xué)習(xí)“平均數(shù)”意義的基礎(chǔ)上，更能讓學(xué)生在學(xué)習(xí)的過(guò)程中，感悟兩種計(jì)算方法的思維邏輯區(qū)別。
聯(lián)系以后要學(xué)的很多數(shù)學(xué)內(nèi)容，我們會(huì)發(fā)現(xiàn)很多知識(shí)都是在研究2個(gè)個(gè)體和它們的平均數(shù)之間的關(guān)系。舉幾個(gè)例子：①求等差數(shù)列的平均數(shù)：例如1、2、3…99、100的平均數(shù)，實(shí)質(zhì)上就是求1和100或者2和99…這些由2個(gè)數(shù)組成的數(shù)組的平均數(shù)；②濃度問(wèn)題：甲瓶酒精溶液濃度為50%，乙瓶酒精溶液濃度為30%，混合后溶液的酒精濃度為35%，請(qǐng)問(wèn)甲乙兩瓶溶液的體積之比是多少？其中混合液濃度的實(shí)質(zhì)也就是兩瓶酒精溶液濃度的平均值；③函數(shù)對(duì)稱：若點(diǎn)（x1，y1）和點(diǎn)（x2，y2）關(guān)于直線y=kx+b對(duì)稱，那么x1，和x2的平均數(shù)x0以及y1，y2的平均數(shù)y0肯定落在這條直線上；④解二元一次方程：對(duì)于ax2+bx+c=0，利用十字相乘法進(jìn)行因式分解其實(shí)就是以b作為平均數(shù)，然后調(diào)節(jié)a和c這兩個(gè)系數(shù)的因數(shù)，使其符合要求。
三、個(gè)體數(shù)與平均數(shù)相互依存的對(duì)應(yīng)關(guān)系
（一）個(gè)體數(shù)對(duì)平均數(shù)的影響
1.從大小上看，個(gè)體數(shù)對(duì)平均數(shù)的影響是相同的
若一組數(shù)據(jù) 1、2、3、…n，不管當(dāng)中的某個(gè)數(shù)據(jù)增加 a，則平均數(shù)也會(huì)增加，增加的大小為a/n；反之，某個(gè)數(shù)據(jù)變小b，平均數(shù)也會(huì)變小b/n，即六年級(jí)將會(huì)初步接觸到的反比例函數(shù)。
2.從數(shù)量上看，個(gè)體數(shù)會(huì)影響平均數(shù)的穩(wěn)定性
個(gè)體數(shù)越多則單個(gè)個(gè)體對(duì)平均數(shù)造成的影響就越少；反之，個(gè)體數(shù)越少，平均數(shù)就越容易受到影響。這個(gè)也很好理解，若個(gè)體變化量為a，則平均數(shù)的變化量為a/n，當(dāng)n越大，那么a/n的值就越小。
3.從大小、數(shù)量所形成的變化來(lái)看
我們可以用一組對(duì)比題型說(shuō)明：
（1）張叔叔前一小時(shí)跑了4400m，后一小時(shí)跑了4000m，平均每小時(shí)跑了多少米？
（2）李叔叔前1小時(shí)跑了4300m，后兩小時(shí)每小時(shí)跑4100m，平均每小時(shí)跑了多少米？
題（1）只涉及到大小對(duì)于平均數(shù)的影響，題（2）還涉及到了數(shù)量對(duì)于平均數(shù)的影響，這也是很多同學(xué)容易做錯(cuò)的地方。生活當(dāng)中還有一些類似的判斷題：箱子里有20袋面包，每袋面包的凈含量為100g±5g，那么這些面包每袋的平均凈含量是100g。這道判斷題是錯(cuò)誤的，但可能會(huì)有不少學(xué)生只考慮個(gè)體大小卻沒(méi)有考慮數(shù)量而導(dǎo)致做錯(cuò)。
另外，“數(shù)量”還可以衍生到別的詞，例如百分比：商場(chǎng)一等獎(jiǎng)的得獎(jiǎng)率是5%，獎(jiǎng)金100元，二等獎(jiǎng)的得獎(jiǎng)率是15%，獎(jiǎng)金50元，三等獎(jiǎng)的得獎(jiǎng)率是25%，獎(jiǎng)金10元，我們就可以根據(jù)已知信息得到中獎(jiǎng)的期望值；此外濃度問(wèn)題也是相當(dāng)于把數(shù)量看成百分比，這里就不再舉例。
（二）平均數(shù)對(duì)個(gè)體數(shù)的反饋?zhàn)饔?/h3>
1.平均數(shù)反映了個(gè)體數(shù)集合的整體情況
在統(tǒng)計(jì)中，平均數(shù)常用于表示統(tǒng)計(jì)對(duì)象的一般水平，是描述數(shù)據(jù)集中位置的一個(gè)統(tǒng)計(jì)量。用它既可以反應(yīng)一組數(shù)據(jù)的一般情況和平均水平，更可以用來(lái)進(jìn)行比較不同組數(shù)據(jù)的比較，以看出組與組之間的差別。例如比較小明和小紅兩人的1分鐘跳繩成績(jī)平均分：小明的五次成績(jī)?yōu)椋?21、143、130、132、141，小紅因?yàn)樯∩偬淮危拇纬煽?jī)?yōu)椋?27、131、145、138。在兩人的測(cè)試次數(shù)不相同的情況下，比較平均數(shù)就成了較為公平的方法。
另外還要補(bǔ)充一點(diǎn)，就是比較平均數(shù)必須是在每一次機(jī)會(huì)均等的情況下，不然也是有失偏頗的：例如把這五次的跳繩成績(jī)看成滿分為150分的數(shù)學(xué)測(cè)試，因?yàn)闇y(cè)驗(yàn)的難度有別，假設(shè)小紅缺考的這次正好是試卷比較簡(jiǎn)單（或者比較難）的，那么單求平均數(shù)的方法就不太公平，應(yīng)該根據(jù)難度對(duì)試卷進(jìn)行權(quán)重計(jì)算求出平均數(shù)，這個(gè)計(jì)算也屬于平均數(shù)對(duì)于個(gè)體數(shù)集合的反映。
2.在數(shù)軸上，平均數(shù)使得所有個(gè)體數(shù)距離它的左趨近和右趨近之和相等
假設(shè)數(shù)軸上有兩個(gè)點(diǎn)為a和b，且a＜b，它們的平均數(shù)是c，則 a，b 是關(guān)于 c點(diǎn)對(duì)稱的，且 c-a=b-c。
（1）舉一個(gè)簡(jiǎn)單的例1：若兩個(gè)數(shù)的平均數(shù)是1008，一個(gè)數(shù)是1006，則另一個(gè)數(shù)是（1010）（括號(hào)中為題目應(yīng)該填寫(xiě)的答案）。因?yàn)樵跀?shù)軸上，1006在1008的左邊，比1008少2，那么想要使得有個(gè)數(shù)和1006相結(jié)合得到平均數(shù)1008，這個(gè)數(shù)必須在1008的右邊，而且比1008多2才行，因此是1010。
（2）接下來(lái)把兩個(gè)點(diǎn)換成三個(gè)點(diǎn)變成例2：若三個(gè)數(shù)的平均數(shù)是1008，第一個(gè)數(shù)是1006，第二個(gè)數(shù)是1005，則第三個(gè)數(shù)是（1013），因?yàn)樽筅吔蜑椋?008-1006）+（1008-1005）=5，所以右趨近之和也要等于5，即1008+5=1013。當(dāng)然用1008×3-1006-1005也是可以的，這種計(jì)算方法的特點(diǎn)是適合個(gè)體數(shù)比較大，但和平均數(shù)又比較接近的時(shí)候，中學(xué)知識(shí)里面有一塊求平均數(shù)的內(nèi)容就運(yùn)用到了與此相關(guān)的知識(shí)。
（3）例1還可以稍微變形成例3：若兩個(gè)數(shù)的平均數(shù)是1008，一個(gè)數(shù)比1006小，則另一個(gè)數(shù)（比1010大），這樣可以通過(guò)一個(gè)不等式，將所有合理的數(shù)據(jù)進(jìn)行歸納。
3.平均數(shù)無(wú)法表示個(gè)體數(shù)
盡管研究平均數(shù)對(duì)于一個(gè)整體有著非常重要的作用，但平均數(shù)的理論意義大過(guò)現(xiàn)實(shí)意義，因此單單看平均數(shù)是不夠的，不然我們就會(huì)被它“欺騙”。例如：一個(gè)池塘的平均水深是1.1m，那么小明身高1.3m是不是下去就沒(méi)有危險(xiǎn)了？我們都知道答案是否定的，因?yàn)槌靥恋淖畲笏羁梢酝耆梢猿^(guò)1.3m，例如最大水深1.6m也是合理的，盡管這個(gè)個(gè)體數(shù)值和平均數(shù)1.1m相差了很多，屬于極端數(shù)，但也是我們需要考慮的因素。這就有些類似“價(jià)格圍繞價(jià)值上下波動(dòng)”，但也不妨礙有些產(chǎn)品因?yàn)樘厥獾脑蛸u(mài)出天價(jià)。我們要根據(jù)實(shí)際的情況進(jìn)行極端數(shù)的取舍，例如剛才的問(wèn)題，我們需要通過(guò)平均數(shù)去思考極端數(shù)，而在一些比賽打分上，可能會(huì)用去掉“最大最小數(shù)”的方法來(lái)消弭極端數(shù)對(duì)于平均數(shù)的影響。
綜上所述，“平均數(shù)”涵蓋的方面很廣泛，是很多知識(shí)的起點(diǎn)，其中涉及到了數(shù)據(jù)計(jì)算、函數(shù)圖像、解方程、概率分析等。在我看來(lái)，平均即一種“平衡感”和“公正感”，每個(gè)人都會(huì)有這樣的感覺(jué)，而我們需要做的就是不斷讓學(xué)生在不同的年齡層次深化這種感覺(jué)，加強(qiáng)數(shù)感，提升數(shù)學(xué)思維和精細(xì)化的計(jì)算能力。目前平均數(shù)的教學(xué)到了四年級(jí)就戛然而止，因此學(xué)生只習(xí)慣了利用“總數(shù)均分”求平均數(shù)，但是對(duì)于“移多補(bǔ)少”方法的學(xué)習(xí)，以及反過(guò)來(lái)利用平均數(shù)求個(gè)體數(shù)的能力比較缺乏，這種只會(huì)套用公式計(jì)算以及從“個(gè)體數(shù)”到“平均數(shù)”的單向性思考模式使得兩者間形成了因果而不是雙向聯(lián)系。而正如上面所說(shuō)，“平均數(shù)”與“個(gè)體數(shù)”之間的關(guān)系應(yīng)該是互相依存的，它們的計(jì)算方法也是很多數(shù)學(xué)思維的載體。在提倡培養(yǎng)學(xué)生核心素養(yǎng)的大環(huán)境下，基于學(xué)生的認(rèn)知和學(xué)情分析，我覺(jué)得我們更應(yīng)該有的放矢，不單要在四年級(jí)引導(dǎo)學(xué)生體會(huì)“平均數(shù)”的本質(zhì)涵義，也要在更高的學(xué)段圍繞這個(gè)概念，對(duì)于“平均數(shù)”、“個(gè)體數(shù)”之間的換算問(wèn)題找到多樣化的解決方法。
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