楊旭 曾麗

［摘 ? ? ? ? ? 要］ ?悖論的產(chǎn)生可能引起數(shù)學(xué)危機(jī)，但是通過解決數(shù)學(xué)危機(jī)得以促進(jìn)數(shù)學(xué)的發(fā)展。結(jié)合芝諾悖論中的“二分法”與莊子的無限分割思想闡述有限與無限之間的辯證關(guān)系。

［關(guān) ? ?鍵 ? 詞］ ?芝諾悖論；二分法；一尺之錘；無限

［中圖分類號］ ?O173 ［文獻(xiàn)標(biāo)志碼］ ?A ? ［文章編號］ ?2096-0603（2019）23-0172-02

悖論通常是指它的結(jié)論實際上違背客觀實際，但其推理過程卻看似合情合理。數(shù)學(xué)中某個悖論的提出在很長時期困擾著一些數(shù)學(xué)家及數(shù)學(xué)愛好者，但在其不斷推理的過程中卻推動了數(shù)學(xué)的發(fā)展。如芝諾提出的“二分法”“追龜論”“飛矢不動”“二倍等于一半”四大悖論，其結(jié)果荒謬，但推理過程卻又似乎合乎邏輯，引起廣泛的爭論。

根據(jù)亞里士多德的記載，芝諾四個悖論的主要內(nèi)容有以下幾點：

1.“二分法”悖論是指運動不存在。芝諾認(rèn)為一位運動者要想從起點到達(dá)終點，在這一運動過程中，他必須要先走到原來路程的一半，才有可能抵達(dá)終點，而原來路程的一半還會有它的一半，這樣每個一半都有它的一半，如此類推下去，以至無窮，那么運動者連動也不能動。

2.“追龜論”是指阿基里斯（古希臘神話中跑步非常快的人）永遠(yuǎn)都追不上他前方爬的較慢的烏龜。芝諾提出，阿基里斯要想追上他前面慢跑的烏龜，必須要先追到烏龜爬行的起始位置，每一次當(dāng)他追到烏龜?shù)钠鹗嘉恢?，烏龜又爬到了下一個起始位置，周而復(fù)始，縱使阿基里斯速度很快，他卻永遠(yuǎn)追不上烏龜。

3.“飛矢不動悖論”是指射出去的箭矢是不動的。芝諾介紹道，射出去的箭矢在某一瞬間，它占據(jù)著一個固定的位置，并且每一個瞬間它都占據(jù)著一個固定的位置。運動是位置的變化，而箭矢在飛出之后由于任何時刻都待在一個固定的位置，因而飛矢不運動即飛矢在每個時刻都是靜止的。

4.“二倍等于一半”：假定時空由最小不可分單位“瞬時”與“此地”組成有兩個物體，一物體在瞬時向左移一個單位，另一物體在這瞬時向右移動一個單位，這樣，在這瞬間兩物體相距了兩個單位。設(shè)問，當(dāng)兩物僅僅相距一個單位距離時，它們經(jīng)歷了多少時間呢？回答也只能是一個“瞬時”，結(jié)果導(dǎo)致“二倍等于一半”。

本文試圖對芝諾悖論中的“二分法”作一些簡要的剖析。

芝諾提出的“二分法”就是指出運動是不存在的，推理過程如下：

（a）時空可以無限分割。

（b）AB間存在中點C，AC間存在中點D，以此類推，以至無窮。

（c）為了從A到B，必須通過前面這些越來越小的差距，……■，■，■。

（d）有限的時間內(nèi)不能通過無窮多個小的差距（這一點為芝諾那個時代的學(xué)者所認(rèn)同）。

（e）運動者動也不能動。

由于（a）—（d）的推理過程是嚴(yán)密的，可以說是無懈可擊，由此可以嚴(yán)格地得出結(jié)論（e）運動者只能一動不動了。顯然結(jié)論是荒謬的，與芝諾同一個年代的隱士哲學(xué)家第歐根尼聽到芝諾這個闡述之后，一反常態(tài)，走出長期隱居的大桶，用行動來駁斥芝諾推理中的結(jié)論。可以很輕松地用行動反駁芝諾，可是卻不能用理論推翻這個結(jié)論。那問題出在哪里呢？在上述推理過程中，有兩個前提條件：第一個是（a），而（b）（c）是（a）的直接推論，如果（a）錯誤，則會推出芝諾的的另外兩個悖論即“飛矢不動”和“二倍等于一半”；第二個是（d），那問題應(yīng)該就出現(xiàn)在這里，也就是說，在特定的條件下，有限的時間內(nèi)是可以通過無窮多個越來越小的差距。假設(shè)運動者是勻速運動的，若他走完總路程一半的時間是t，那他走完余下一半路程的一半的時間是■，以此類推，運動者走完總路程的時間為：

T=t+■+■+■+…=t（1+■+■+■+…）

很明顯這是一個對無窮多項等比數(shù)列求和問題，可以利用等比數(shù)列求和公式求出“有限項”的和，然后再對其求和，由此可以求出精確值。即根據(jù)a1=1，q=■，可得前n項為：

Tn=■=2t（1-■）

對上式進(jìn)行求極限可以得出：

T=■Tn=■2t（1-■）=2t

無窮多項的和竟然是有限數(shù)，這個式子將有限和無窮兩者辯證地統(tǒng)一起來。

無獨有偶，一百多年后在遙遠(yuǎn)的中國，著名的思想家莊子在《莊子·天下篇》提出“一尺之錘，日取其半，萬世不竭”，可以看出他對無窮思想的認(rèn)識非常深刻。整個分割過程實際上是構(gòu)造了一個無窮遞減的等比數(shù)列：■，■，■，…■…，分割之前與分割之后的總長度是相等的，因而下面式子顯然成立；1=■+■+…+■+…

多么直觀、清晰地讓人們認(rèn)識到無窮多項的和可以是有限數(shù)，然而若要求■+■+…+■+…的和，同樣可以通過先求有限項的和再取極限的方法得出精確值，但很難通過經(jīng)驗或者直觀想象得出該式子的精確值。這也就是芝諾那個時代的學(xué)者公認(rèn)為有限時間內(nèi)不能通過無窮個小差距的原因。當(dāng)然并不是所有的無窮級數(shù)之和都會等于一個有限數(shù)，這需要考慮級數(shù)的斂散性。如■+■+■+…的和不是等于有限數(shù)。

悖論的產(chǎn)生可能引起數(shù)學(xué)危機(jī)，但是通過解決數(shù)學(xué)危機(jī)得以促進(jìn)數(shù)學(xué)的發(fā)展。本文通過對芝諾悖論中“二分法”的推理過程進(jìn)行剖析及對“一尺之錘”的分割過程的分析，意識到不能人為地割裂有限和無窮之間的辯證關(guān)系。一個整體可以進(jìn)行無限的分割，而進(jìn)行無限分割之后的整體在特定的條件下又可以收斂。

參考文獻(xiàn)：

［1］鄭偉宏.“阿基里斯追龜”辨析［J］.邏輯與語言學(xué)習(xí)，1982（14）：19-20.

［2］郭龍先，劉秀.“尺棰命題”的悖論何在［J］.廣西民族大學(xué)學(xué)報（自然科學(xué)版），2012（18）：7-11.

［3］劉二中.解析芝諾悖論內(nèi)含的邏輯漏洞［J］.自然辯證法研究，2005，21（11）：1-4.

［4］韓銳鋒，馮炎，郝自軍.芝諾悖論分析及極限解釋［J］.寧夏師范學(xué)院學(xué)報（自然科學(xué)版），2016，37（6）：106-109.

［5］黃華新.芝諾悖論淺析［J］.邏輯研究文集，2000：142-150.

［6］呂濯纓，曹秀娟.無窮級數(shù)概念教學(xué)中兩個悖論引例的對比思考［J］.河南教育學(xué)院學(xué)報（自然科學(xué)版），2013（4）：54-56.

［7］羅契，鄭偉宏.為芝諾悖論一辯［J］.復(fù)旦學(xué)報（社會科學(xué)版），1982（1）：100-105.

［8］洪辛.芝諾悖論與數(shù)學(xué)危機(jī)［J］.自然辯證法研究，1986，2（2）：39-48.

［9］柳燕.芝諾悖論中的無窮思想［J］.科技信息，2012（4）：160.

編輯 馮永霞