(合肥工業(yè)大學(xué) 電氣與自動(dòng)化工程學(xué)院，安徽 合肥 230009)

線性調(diào)頻信號是一種特殊的非平穩(wěn)信號，廣泛應(yīng)用于通信、雷達(dá)、聲吶和地震勘探等系統(tǒng)中[1]。對于非平穩(wěn)信號，時(shí)頻分析能清楚地描述信號頻率隨時(shí)間變化的關(guān)系。目前，常用的時(shí)頻分析方法有短時(shí)傅里葉變換[2-3]、魏格納-維爾分布(Wigner-Ville Distribution,WVD)[4-5]、分?jǐn)?shù)階傅里葉變換(Fractional Fourier Transform,FRFT)[6-7]等。

WVD因其具有良好的時(shí)頻聚集性和時(shí)頻邊緣特性成為重要的時(shí)頻分析方法之一。多分量線性調(diào)頻信號WVD存在交叉項(xiàng)干擾，不利于對信號的時(shí)頻分析。因此，多分量線性調(diào)頻信號WVD的交叉項(xiàng)抑制是時(shí)頻分析的研究熱點(diǎn)之一[8-9]。文獻(xiàn)[10]在實(shí)際信號分析過程中提出了一種自適應(yīng)核時(shí)頻分析方法抑制交叉項(xiàng)，但其中的時(shí)窗寬度和核函數(shù)體積這兩個(gè)關(guān)鍵參數(shù)難以確定。文獻(xiàn)[11]根據(jù)自項(xiàng)和交叉項(xiàng)在頻域上的差異及FRFT時(shí)頻旋轉(zhuǎn)性，在旋轉(zhuǎn)變換域上對多分量線性調(diào)頻信號低通濾波處理，消除交叉項(xiàng)，該方法在信號參數(shù)未知時(shí)需要提前估計(jì)多個(gè)參數(shù)。文獻(xiàn)[12]提出了一種基于變分模態(tài)分解的WVD交叉項(xiàng)抑制方法，該方法需知被分解信號的頻域特性才能完成信號頻帶的自適應(yīng)分解，不適合頻域特性未知的多分量線性調(diào)頻信號。

為了抑制多分量線性調(diào)頻信號WVD存在的交叉項(xiàng)，本文提出在FRFT域上對信號進(jìn)行分解，將多分量信號分解為多個(gè)單分量信號，疊加各單分量信號的WVD即可抑制交叉項(xiàng)。所提出的方法不僅可以抑制交叉項(xiàng)對時(shí)頻分析的影響，而且在保持較高的時(shí)頻分辨率的同時(shí)具有一定的抗噪能力。

1 線性調(diào)頻信號的WVD和FRFT

1.1 線性調(diào)頻信號的WVD

WVD具有很好的時(shí)頻聚集性，可得到時(shí)頻域的局部特征，多用于非平穩(wěn)信號的分析處理。信號的WVD定義為信號x(t)的局部相關(guān)函數(shù)Rx(t,τ)做關(guān)于時(shí)延τ的傅里葉變換[4-5]，即

(1)

雖然WVD方法比其他的時(shí)頻分布更適合線性調(diào)頻信號，但是WVD變換的雙線性導(dǎo)致多分量信號存在交叉項(xiàng)干擾。例如，兩分量的線性調(diào)頻信號x(t)=x1(t)+x2(t)的WVD為

Wx(t,f)=Wx1(t,f)+Wx2(t,f)+Wx1,x2(t,f)+Wx2,x1(t,f)

(2)

式中，等號右邊前兩項(xiàng)Wx1(t,f)、Wx2(t,f)稱為自項(xiàng)，即x1(t)、x2(t)理想的時(shí)頻分布；后兩項(xiàng)Wx1,x2(t,f)、Wx2,x1(t,f)稱為交叉項(xiàng)，即WVD雙線性引起的干擾。

1.2 線性調(diào)頻信號的FRFT

信號x(t)的FRFT的定義[6]為

(3)

其中，F(xiàn)RFT的變換核Kp(t,u)為

Kp(t,u)=

(4)

Xp(u)的逆變換為[6]

(5)

單分量線性調(diào)頻信號的時(shí)頻分布如圖1所示，線性調(diào)頻信號在最佳分?jǐn)?shù)階域中呈現(xiàn)出能量聚集[13]。

圖1 線性調(diào)頻信號的時(shí)頻分布

2 基于FRFT的WVD交叉項(xiàng)抑制方法研究

由于多分量信號的WVD存在交叉項(xiàng)，提出了基于FRFT的WVD交叉項(xiàng)抑制方法，此方法的流程如圖2所示，具體實(shí)現(xiàn)過程見本節(jié)內(nèi)容。

圖2 基于FRFT的WVD交叉項(xiàng)抑制方法流程圖

2.1 多分量信號FRFT的最佳變換階次

線性調(diào)頻信號的FRFT在能量聚集時(shí)的變換階次p和在FRFT域中位置u由對Xp(u)的能量的最大似然估計(jì)得到。

(6)

式(6)是二維搜索，計(jì)算量大,采用由粗略到精確的最大幅值算法[14]可以減少其計(jì)算量。對原信號進(jìn)行最佳變換階次p1的FRFT，如式(7)所示。

Xp1(u)=Sp1(u)+Wp1(u)

(7)

式中，Sp1(u)為線性調(diào)頻信號的FRFT;Wp1(u)為噪聲的FRFT。單分量信號的能量絕大部分集中在p1階次FRFT域以u1為中心的窄帶內(nèi)，而噪聲和其他信號分量不會呈現(xiàn)出明顯的能量聚集[13]。

在分?jǐn)?shù)階為p1的FRFT域內(nèi)使用窄帶濾波器濾除單分量信號，即

=Sp1(u)M(u)+Wp1(u)M(u)

(8)

式中，M(u)為中心頻率為u1的窄帶帶阻濾波器。

若剩余信號的幅值不低于設(shè)定的閾值，重復(fù)上述過程，直到剩余信號的幅值低于設(shè)定的閾值，即求得多分量線性調(diào)頻信號的每一個(gè)分量的最佳變換階次為p={p1,p2,…,pN}，及其在相應(yīng)的FRFT域中u軸的值為u={u1,u2,…,uN}。

2.2 多分量信號WVD交叉項(xiàng)抑制方法

提出一種多分量線性調(diào)頻信號的WVD交叉項(xiàng)抑制方法，首先將多分量線性調(diào)頻信號在FRFT域中使用窄帶帶通濾波器提取固定調(diào)頻斜率的信號，得到多個(gè)單分量線性調(diào)頻信號；再計(jì)算單分量線性調(diào)頻信號的WVD；最后將結(jié)果線性疊加即可得到抑制交叉項(xiàng)后的信號時(shí)頻分布。

多分量線性調(diào)頻信號WVD交叉項(xiàng)抑制方法具體步驟如下：

① 根據(jù)2.1節(jié)獲得的多分量線性調(diào)頻信號的最佳變換階次估計(jì)方法估計(jì)p={p1,p2,…,pN}、u={u1,u2,…,uN}；

② 分別對原多分量線性調(diào)頻信號進(jìn)行pi階次的FRFT，得到Xpi(u)；

⑤ 分別對單分量信號xi(t)進(jìn)行WVD，再線性疊加即可得到原信號的WVD。

(9)

3 仿真驗(yàn)證以及改進(jìn)處理

3.1 仿真驗(yàn)證

在Matlab中對多分量線性調(diào)頻信號進(jìn)行仿真，驗(yàn)證本文方法的有效性和適用性。選擇平行多分量線性調(diào)頻信號和非平行多分量線性調(diào)頻信號作為仿真對象。

仿真實(shí)驗(yàn)通過與Choi-Williams分布(CWD)[2]、自適應(yīng)核時(shí)頻分布[10]方法對比，驗(yàn)證所提出的基于FRFT的WVD方法抑制交叉項(xiàng)的效果。

多分量線性調(diào)頻信號模型為

(10)

式中，fi為線性調(diào)頻信號的起始頻率；ki為調(diào)頻斜率；w(t)為噪聲信號；信噪比(Signal Noise Ratio， SNR)為6 dB；信號總長度為10 ms；采樣頻率為50 MHz。

3.1.1 平行多分量線性調(diào)頻信號

平行多分量線性調(diào)頻信號仿真參數(shù)設(shè)置如表1所示，時(shí)頻曲線對比圖如圖3所示。

表1 平行多分量線性調(diào)頻信號仿真參數(shù)表

圖3 平行多分量線性調(diào)頻信號時(shí)頻曲線對比圖

圖3中，WVD時(shí)頻曲線(圖3(a))信號之間存在明顯的交叉項(xiàng)；CWD時(shí)頻曲線(圖3(b))仍存在部分交叉項(xiàng)，且時(shí)頻分辨率較差，信號時(shí)頻分析可讀性差；自適應(yīng)核時(shí)頻分析方法的時(shí)頻曲線(圖3(c))抑制了部分交叉項(xiàng)，但是時(shí)頻分辨率仍然不高；基于FRFT的WVD時(shí)頻曲線(圖3(d))中，交叉項(xiàng)得到抑制，時(shí)頻分辨率高，時(shí)頻分析可讀性好。通過與CWD、自適應(yīng)核時(shí)頻分析方法對比可知，所提出的方法可對平行多分量線性調(diào)頻信號進(jìn)行時(shí)頻分析，且抑制WVD的交叉項(xiàng)的效果明顯。

3.1.2 非平行多分量線性調(diào)頻信號

非平行多分量線性調(diào)頻信號仿真參數(shù)設(shè)置如表2所示，時(shí)頻曲線對比圖如圖4所示。

表2 非平行多分量線性調(diào)頻信號仿真參數(shù)表

圖4中，WVD時(shí)頻曲線(圖4(a))交叉項(xiàng)嚴(yán)重；由CWD時(shí)頻曲線(圖4(b))可知，CWD只抑制了部分交叉項(xiàng)，無法抑制信號在時(shí)頻平面上間隔較小時(shí)出現(xiàn)的交叉項(xiàng)，信號的時(shí)頻分析可讀性差；由自適應(yīng)核時(shí)頻分析方法的時(shí)頻曲線(圖4(c))可知，無法抑制交叉點(diǎn)處的交叉項(xiàng)；基于FRFT的WVD的時(shí)頻曲線(圖4(d))中，充分抑制交叉項(xiàng)的干擾，時(shí)頻分析可讀性好。通過與CWD、自適應(yīng)核時(shí)頻分析方法對比可知，所提出的方法可對非平行多分量線性調(diào)頻信號進(jìn)行時(shí)頻分析，抑制WVD的交叉項(xiàng)的效果明顯。

圖4 非平行多分量線性調(diào)頻信號時(shí)頻曲線對比圖

3.2 改進(jìn)過程

當(dāng)仿真信號為調(diào)頻連續(xù)波信號時(shí)，采用所提出的方法仍存在交叉項(xiàng)干擾。根據(jù)所提出的方法理論推理及調(diào)頻連續(xù)波信號的周期特性，分析得到分解后的單分量信號周期之間存在影響。針對這一問題，先估計(jì)調(diào)頻連續(xù)信號的周期，再將分解后的信號在時(shí)域按周期遮蔽處理，避免其他周期對本周期的信號影響。經(jīng)過改進(jìn)，有效解決了調(diào)頻連續(xù)波的WVD時(shí)頻分布交叉項(xiàng)的問題。

調(diào)頻連續(xù)波信號模型為

(11)

式中，mod(·)為取余運(yùn)算；T為周期。

調(diào)頻連續(xù)波信號以鋸齒波為例，仿真取3個(gè)周期的鋸齒波。參數(shù)設(shè)置為：調(diào)頻斜率為1 MHz·s-1，周期T為10 ms，SNR為6 dB,采樣頻率為50 MHz。

鋸齒波線性調(diào)頻信號時(shí)頻曲線對比如圖5所示。其中，CWD時(shí)頻曲線(圖5(a))雖然交叉項(xiàng)得到了抑制，但是犧牲了時(shí)頻分辨率；自適應(yīng)核時(shí)頻曲線(圖5(b))受到了信號的周期干擾并且時(shí)頻分辨率不高；基于FRFT的WVD時(shí)頻曲線(圖5(c))中，交叉項(xiàng)得到了抑制，并且時(shí)頻分辨率高，但是受到了信號的周期干擾；改進(jìn)的基于FRFT的WVD時(shí)頻曲線(圖5(d))無交叉項(xiàng)干擾、時(shí)頻分辨率高，并且消除信號的周期干擾。

圖5 鋸齒波線性調(diào)頻信號時(shí)頻曲線對比圖

3.3 抗噪性能

為了研究所提出的基于FRFT的WVD時(shí)頻分布抗噪性能，在高斯白噪聲環(huán)境下，以仿真實(shí)驗(yàn)中的平行多分量線性調(diào)頻信號為對象，采用WVD、CWD、自適應(yīng)核時(shí)頻分析和基于FRFT的WVD方法估計(jì)調(diào)頻斜率，并計(jì)算其均方誤差(Mean Square Error,MSE)，MSE的計(jì)算公式為

(12)

在不同SNR情況下進(jìn)行500次Monte-Carlo實(shí)驗(yàn)，隨SNR變化的曲線如圖6所示。

圖6 估計(jì)調(diào)頻斜率k的均方誤差

從圖6可知，由于WVD方法對信號以及噪聲間產(chǎn)生的交叉項(xiàng)不具有抑制作用，其MSE小于CWD、自適應(yīng)核時(shí)頻分析和本文方法。CWD、自適應(yīng)核時(shí)頻分析與本文方法相比，所提出的基于FRFT的WVD具有更強(qiáng)的抑制交叉項(xiàng)的能力，在低信噪比情況下仍可取得不錯(cuò)的估計(jì)精度。

4 結(jié)束語

針對多分量線性調(diào)頻信號WVD存在交叉項(xiàng)和噪聲干擾問題，提出了一種基于FRFT的多分量線性調(diào)頻信號WVD的交叉項(xiàng)抑制方法。通過多分量線性調(diào)頻信號在FRFT域的時(shí)頻聚集性將其分解為多個(gè)單分量信號，線性疊加每一個(gè)單分量信號WVD，即可抑制交叉項(xiàng)。仿真結(jié)果表明,對于多分量線性調(diào)頻信號，該方法能夠有效抑制交叉項(xiàng)，且具有一定的抗噪性能。在實(shí)際過程中，例如雷達(dá)的發(fā)射信號為調(diào)頻連續(xù)波信號，受信號周期性影響無法濾除周期間的交叉項(xiàng)，本文進(jìn)一步提出在基于FRFT的WVD中增加周期遮蔽處理，改進(jìn)后可以有效解決該問題。本文的研究對提取多分量線性調(diào)頻信號的調(diào)制域的特征信息具有積極的意義。