劉紅玉

微分中值定理和積分中值定理是微積分理論的最主要內(nèi)容.近年來(lái)，對(duì)于中值定理“中間點(diǎn)”漸進(jìn)性的研究，得到了一些重要結(jié)果［1-7］.文獻(xiàn) ［1］ 利 用 輔 助 函 數(shù)推廣了 Cauchy中值定理，得到了一個(gè)廣義積分形式并對(duì)該定理中中間點(diǎn)ξ的漸近性進(jìn)行了討論.文獻(xiàn)［2］利用Taylor多項(xiàng)式，把微分中值定理和積分中值定理進(jìn)行了統(tǒng)一，并得到了一些更一般的結(jié)果.文獻(xiàn)［3］通過對(duì)廣義Cauchy中值定理的研究與討論，得到了廣義Cauchy中值定理“中間點(diǎn)”漸進(jìn)性的結(jié)果，并進(jìn)行了一些推廣.文獻(xiàn)［4］對(duì)一類積分型中值定理做了進(jìn)一步的研究，減弱了定理的條件并加強(qiáng)了定理的結(jié)論，得到了一個(gè)更加一般的結(jié)果，并對(duì)該定理“中間點(diǎn)的漸進(jìn)性”做了討論，推廣了已有的成果.文獻(xiàn)［5］對(duì)一類積分型Cauchy中值定理做了進(jìn)一步的研究，得到了一個(gè)更加一般的結(jié)果，并對(duì)該定理“中間點(diǎn)的漸進(jìn)性做了討論 ，推 廣 了 已 有 的 成 果文獻(xiàn)［6］研究了廣義的Cauchy型Taylor公式中間點(diǎn)的漸近性.得到了廣義Cauchy型Taylor公式“中間點(diǎn)”漸進(jìn)性的兩個(gè)表達(dá)式.文獻(xiàn)［7］研究了廣義的Cauchy型Taylor公式中中值點(diǎn)的漸近性，得到結(jié)果

本文通過構(gòu)造輔助函數(shù)H(x)=在已有結(jié)果的基礎(chǔ)上，研究了廣義積分型Cauchy中值定理中間點(diǎn)ξ的漸近性，得到了中間點(diǎn)ξ的漸近性表達(dá)式為并進(jìn)行了推廣，得到更一般的結(jié)果，即中間點(diǎn)ξ的漸近性 表 達(dá) 式 為

1 預(yù)備知識(shí)

引 理 1［7］若 ①f(k)(x)(k=1,2,…,n)與g(k)(x)(k=1,2,…,m)在a的某鄰域U(a)內(nèi)連續(xù)；②f(n+1)(x)與g(m+1)(x)在U(a)內(nèi)存在，且?x∈U(a),g(m+1)(x)≠0，則至少存在一點(diǎn)ξ，使得ξ介于a與x之間.

定理1若f(x)與g(x)在a的某鄰域U(a)連續(xù)；對(duì)?x∈UO(a),g(x)≠0，則對(duì)?n,m∈N且n≥m，至少存在一點(diǎn)ξ，使得介于a與x之間.

同理，

將以上式子代入引理1，得

2 主要結(jié)果

定理2若f(x)與g(x)在a的某鄰域U(a)連 續(xù) ，存 在α≥0,β≥0 ，且 ?x∈UO(a),有，則由引理1所確定的“中間點(diǎn)”ξ滿足

證明 構(gòu)造輔助函數(shù)H(x)=由 于f(x)與g(x)在a的某鄰域U(a)連續(xù)，利用積分上限函數(shù)的求導(dǎo)公式，連續(xù)使用n+1次洛比達(dá)法則可得

連續(xù)使用m+1次洛比達(dá)法則可得

由（2）式、（3）式得

另一方面，

定理3若f(x)與g(x)在a的某鄰域U(a)連續(xù)；對(duì)，且φ(x)在a的某鄰域U(a)嚴(yán)格單調(diào)遞增，存在不等于零，又存在α≥0,β≥0，?x∈UO(a),有A≠0 ，， 則 對(duì)?n,m∈N且n≥m，由引理1所確定的“中間點(diǎn)”ξ滿足

3 結(jié)論

本文通過構(gòu)造輔助函數(shù)，研究了廣義積分型Cauchy中值定理中間點(diǎn)的漸近性，得到了“中間點(diǎn)”ξ滿足的兩個(gè)主要表達(dá)式.