馮玲 紀(jì)婉妮

(福州大學(xué)經(jīng)濟(jì)與管理學(xué)院,福州 350002)

采用量子力學(xué)中的費(fèi)曼路徑積分方法,推導(dǎo)出了更符合市場一般化情形的隨機(jī)波動(dòng)率股指期權(quán)定價(jià)模型.在此基礎(chǔ)上,以恒指期權(quán)為例進(jìn)行實(shí)證研究預(yù)測(cè)30天的期權(quán)價(jià)格,同時(shí)將Heston模型作為對(duì)照組,并進(jìn)行穩(wěn)健性檢驗(yàn).研究結(jié)果表明,本文構(gòu)建的股指期權(quán)定價(jià)模型通過求解費(fèi)曼定價(jià)核的數(shù)值解,進(jìn)而在線性算法上直接實(shí)現(xiàn)股指期權(quán)價(jià)格的預(yù)測(cè),相比于Heston模型利用特征函數(shù)的方法,不論是在相同到期日不同執(zhí)行價(jià)格下還是在相同執(zhí)行價(jià)格不同到期日下,定價(jià)精度顯著提高.費(fèi)曼路徑積分作為量子金融的主要方法,本文的研究將為其進(jìn)一步應(yīng)用于金融衍生品定價(jià)提供參考.

1 引 言

2018年8 月31 日,證監(jiān)會(huì)對(duì)《關(guān)于上市股指期權(quán)、助力資本市場風(fēng)險(xiǎn)防范的提案》做出答復(fù),表示其將繼續(xù)指導(dǎo)中金所推進(jìn)股指期權(quán)的研發(fā)工作,并于合適時(shí)機(jī)推出股指期權(quán).傳統(tǒng)的期權(quán)定價(jià)模型主要有Black-Scholes (BS)期權(quán)定價(jià)模型和Heston模型.BS期權(quán)定價(jià)模型雖然形式上較為簡潔,但其僅適用于波動(dòng)率為常數(shù)時(shí)的歐式期權(quán)的定價(jià),而對(duì)股指期權(quán)進(jìn)行準(zhǔn)確定價(jià)是發(fā)揮其風(fēng)險(xiǎn)管理功能的重要前提.Heston期權(quán)定價(jià)模型雖然考慮了波動(dòng)率為隨機(jī)的情形下的期權(quán)定價(jià)問題,但其在求解過程中多次利用偏微分方程,這些偏微分方程是在假設(shè)了特征函數(shù)解的形式的基礎(chǔ)上,經(jīng)過推演得到相應(yīng)微分方程組,而偏微分方程的求解技術(shù)性要求較高,且不少學(xué)者在研究過程中發(fā)現(xiàn)該模型存在許多無法克服的不足[1-3],本文在實(shí)驗(yàn)過程中就發(fā)現(xiàn)其在價(jià)格預(yù)測(cè)中出現(xiàn)缺失值.Heston模型適用于歐式期權(quán)的定價(jià),但其并不是為股指期權(quán)量身定制的模型.當(dāng)前,關(guān)于隨機(jī)波動(dòng)率股指期權(quán)的定價(jià)研究主要有參數(shù)方法與非參數(shù)方法.參數(shù)方法主要是圍繞BS期權(quán)定價(jià)模型對(duì)股指期權(quán)定價(jià)展開研究,側(cè)重于股指運(yùn)動(dòng)變化的刻畫方面,比如在股指服從的分布中加入跳躍過程、利用廣義自回歸條件異方差模型(generalized autoregressive conditional heteroskedasticity model,GARCH)或時(shí)變波動(dòng)率模型對(duì)BS期權(quán)定價(jià)公式進(jìn)行修正[4-7].此外,也有學(xué)者試圖用一般均衡模型分析股指期權(quán)的定價(jià)問題[8].但是參數(shù)方法難以避開參數(shù)設(shè)定所帶來的誤差與人為影響,隨著計(jì)算機(jī)算法的飛快發(fā)展,非參數(shù)方法可以避開求解參數(shù)受到的限制,因此受到諸多學(xué)者的青睞.其一般都是基于計(jì)算機(jī)模擬得到數(shù)值解,諸如神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型,遺傳算法[9-11]等.然而非參數(shù)方法不能給出具體期權(quán)定價(jià)公式,也無法給出合理的經(jīng)濟(jì)解釋.因此,更符合市場一般化情形的股指期權(quán)定價(jià)模型亟待提出.本文基于費(fèi)曼路徑積分方法研究股指期權(quán)定價(jià)問題,旨在探尋用跨學(xué)科的量子金融方法構(gòu)建一個(gè)更符合市場實(shí)際情形的股指期權(quán)定價(jià)模型.

1942 年,費(fèi)曼基于量子物理的角度提出路徑積分方法(path integral method),用于解決傳統(tǒng)量子物理求解過程的繁瑣及不易理解的問題.費(fèi)曼路徑積分就物理問題的求解給出全局函數(shù),從而為導(dǎo)出解析近似和數(shù)值解提供了強(qiáng)大的分析工具.費(fèi)曼路徑積分已被證明在解決金融問題上的有效性.1988年,Dash[12]首次提出并闡述了路徑積分方法用于解決期權(quán)定價(jià)的思路.隨后其還分別對(duì)單因子期限模型和多因子期限模型給出了路徑積分的分析框架.然而,其缺少對(duì)具體應(yīng)用和數(shù)值算法的進(jìn)一步研究.1997年,Baaquie等[13-19]進(jìn)一步對(duì)費(fèi)曼路徑積分在金融衍生品定價(jià)上的應(yīng)用展開更為深入的研究,并提供了一系列新的數(shù)值算法,從而大大簡化了數(shù)值分析的工作量.2015年,Kakushadze[20]用量子力學(xué)“半經(jīng)典”近似方法給出了對(duì)債券定價(jià)的顯式函數(shù),并且指出根據(jù)費(fèi)曼圖可以將微擾量子力學(xué)技術(shù)應(yīng)用于“半經(jīng)典”近似之外.2017年,Issaka和Sengupta[21]采用費(fèi)曼路徑積分方法對(duì)受列維過程驅(qū)動(dòng)的金融市場的期權(quán)定價(jià)進(jìn)行研究,得到轉(zhuǎn)移概率密度函數(shù)的閉式解.2018年,Ma等[22]提出了一般分?jǐn)?shù)下的分?jǐn)?shù)穩(wěn)定過程路徑積分期權(quán)定價(jià)模型.2018年,Paolinelli和Arioli[23]基于二次路徑積分采用一種不同的作用量,得到了參數(shù)較少的股票價(jià)格動(dòng)態(tài)模型.雖然上述研究已經(jīng)對(duì)費(fèi)曼路徑積分在金融市場上的應(yīng)用展開了大量的討論,但是該方法在股指期權(quán)價(jià)格的定價(jià)研究上并不深入.2003年,陳澤乾[24]基于對(duì)沖的視角對(duì)量子金融的金融意義進(jìn)行闡述,解釋了金融資產(chǎn)價(jià)格行為用量子規(guī)律刻畫較經(jīng)典統(tǒng)計(jì)規(guī)律刻畫的優(yōu)越性.2007年,陳黎明和邱菀華[25]基于陳澤乾提出的二項(xiàng)式期權(quán)定價(jià)的量子模型,構(gòu)建了實(shí)物期權(quán)估值算法.然而,該算法還存在一些不足,如階段劃分的問題以及模型參數(shù)的確定問題.2014年,王鵬和魏宇[26]指出“金融物理學(xué)”在金融市場上眾多異象(anomalies)的解釋上較經(jīng)典理論具有優(yōu)勢(shì),從而闡釋了金融物理興起的原因.上述研究雖然從量子金融的理論意義與應(yīng)用意義進(jìn)行了解釋,但在具體的定價(jià)問題的解決上顯得相對(duì)淺顯.

在我國股指期權(quán)亟待推出的背景下,對(duì)股指期權(quán)定價(jià)模型展開研究具有重要的理論意義與應(yīng)用意義,本文基于風(fēng)險(xiǎn)中性定價(jià)框架,旨在應(yīng)用量子金融的主要方法--費(fèi)曼路徑積分,構(gòu)建一個(gè)更符合市場實(shí)際的隨機(jī)波動(dòng)率股指期權(quán)定價(jià)模型.本文的創(chuàng)新之處在于：首先,利用費(fèi)曼定價(jià)核將一維情形(常數(shù)波動(dòng)率)拓展到二維情形(隨機(jī)波動(dòng)率),從而同時(shí)考慮股指價(jià)格及其方差的變動(dòng)以包含豐富的價(jià)格運(yùn)動(dòng)信息,最終得到基于量子金融視角的股指期權(quán)定價(jià)模型; 其次,在計(jì)算機(jī)算法的處理上基于費(fèi)曼路徑生成原理與大數(shù)定律的關(guān)系,運(yùn)用Matlab模擬得到均值定價(jià)核,從而優(yōu)化股指期權(quán)價(jià)格的求解過程并大大提高定價(jià)精度,既可以保留參數(shù)方法在經(jīng)濟(jì)解釋上的優(yōu)越性,也可以充分實(shí)現(xiàn)數(shù)值算法在逼近市場價(jià)格上的優(yōu)勢(shì).

本文的第2節(jié)對(duì)相關(guān)模型理論展開描述; 第3節(jié)構(gòu)建了隨機(jī)波動(dòng)率費(fèi)曼路徑積分股指期權(quán)定價(jià)模型; 第4節(jié)對(duì)費(fèi)曼路徑積分股指期權(quán)定價(jià)模型進(jìn)行算法設(shè)計(jì),以恒指期權(quán)的歷史數(shù)據(jù)進(jìn)行實(shí)證研究,并將Heston模型作為對(duì)照組以說明隨機(jī)波動(dòng)率費(fèi)曼路徑積分股指期權(quán)定價(jià)模型的有效性、探討本文構(gòu)建的模型的適用性; 第5節(jié)為結(jié)論.

2 模型描述

2.1 Heston模型

諸多學(xué)者針對(duì)經(jīng)典BS模型下所產(chǎn)生的波動(dòng)率微笑與波動(dòng)率皺眉展開了研究,其中較為經(jīng)典的是1993年Heston[27]提出的用特征函數(shù)的方法求解偏微分方程(26).假定其中k為常數(shù),V為方差.首先猜測(cè)(26)式具有和BS公式相似的解,

其中,右邊第一項(xiàng)是即期資產(chǎn)在最優(yōu)執(zhí)行時(shí)的現(xiàn)值,第二項(xiàng)是執(zhí)行價(jià)格的現(xiàn)值; P1,P2又可以看成是價(jià)內(nèi)期權(quán)的條件概率分布.令 x=lnS(t) ,則 P1,P2必須滿足偏微分方程：

P1,P2的特征函數(shù) f1(x,V,T;?) 和 f2(x,V,T;?) 均需滿足偏微分方程(2),且終端條件為

特征函數(shù)的解為

其中,

概率密度函數(shù) Pj(x,V,T;lnK) 可通過對(duì)特征函數(shù)的逆變換進(jìn)行積分得到,

由(8)式求出概率密度 P1,P2,代入(1)式即可得歐式看漲期權(quán)的價(jià)格.

Heston模型顯著改善了BS模型在價(jià)格預(yù)測(cè)上的不足,能夠同時(shí)考慮標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格以及標(biāo)的資產(chǎn)收益率方差的變動(dòng).

2.2 費(fèi)曼路徑積分

費(fèi)曼路徑積分(Feynman path integral)是量子力學(xué)在薛定諤波動(dòng)力學(xué)和海森伯的矩陣力學(xué)之外的第三種表示形式.在路徑積分理論中,微觀粒子處于某一時(shí)刻 tb的運(yùn)動(dòng)狀態(tài) ψ(xb,tb) ,完全由過去的某一時(shí)刻 ta(＜tb) 的所有可能的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)ψ(xa,ta)所決定,即

傳播函數(shù)為

其中,const表示常數(shù),? 為普朗克常量.

作用泛函為

費(fèi)曼路徑積分理論認(rèn)為：粒子由 (xa,ta) 到(xb,tb)的各種路徑都是可能的,并且每條路徑 [x(t)]均具有概率幅 ～const×e?iS[x(t)].傳播函數(shù)K(xb,tb;xa,ta)是從 x(ta)=xa運(yùn)動(dòng)到 x(tb)=xb的所有運(yùn)動(dòng)路徑[x(t)]的概率幅的疊加,而對(duì)所有路徑的求和可以表達(dá)為無窮維積分(泛函積分)的形式,稱為費(fèi)曼路徑積分.

2.3 費(fèi)曼路徑積分定價(jià)理論

將費(fèi)曼路徑積分方法應(yīng)用于期權(quán)定價(jià)研究時(shí),最為關(guān)鍵的是關(guān)于期權(quán)定價(jià)公式的費(fèi)曼核的求解,借鑒諸多學(xué)者的研究[12-18],本文稱其為費(fèi)曼定價(jià)核.費(fèi)曼定價(jià)核包含了期權(quán)定價(jià)所需的全部信息.令 p(x,y,τ,x′,y′) 為風(fēng)險(xiǎn)中性的條件概率,其中τ=T-t ,x和y分別代表 τ=T-t 時(shí)有價(jià)證券的價(jià)格和波動(dòng)率,x′和 y′分別代表 τ=0 時(shí)有價(jià)證券的價(jià)格和波動(dòng)率.在 τ=0 時(shí),定價(jià)核用狄拉克δ函數(shù)(Dirac delta function)表示為

當(dāng) t≤T 時(shí),由Feynman-Kac公式得看漲期權(quán)的價(jià)格為

其中,g(x′,y′) 為貼現(xiàn)到時(shí)間t的支付函數(shù),C(τ;x,y)為看漲期權(quán)在時(shí)間t的價(jià)格,則終值條件為 C(0,x′,y′)=g(x′,y′).

運(yùn)用費(fèi)曼路徑積分求解模型定價(jià)核時(shí),首先需要尋找哈密頓量H的本征函數(shù).為此,在對(duì)角化的哈密頓量H中引入動(dòng)量作為基矢,這可以簡單地使用狄拉克函數(shù)和傅里葉變換得到,

由標(biāo)積 〈x|p〉=eipx,〈p|x′〉=e-ipx′,得

由此得到動(dòng)量空間基矢 |p〉 的完備性方程為

費(fèi)曼路徑積分的思想在于將τ拆成許多更小的時(shí)間段ε,估計(jì) e-εH,并把這些更小時(shí)間段內(nèi)的所有估計(jì)得到的矩陣 e-εH進(jìn)行連乘運(yùn)算,這在概率論上相當(dāng)于把所有可能的運(yùn)動(dòng)路徑的概率考慮進(jìn)去,因此費(fèi)曼路徑積分可以考慮所有可能的運(yùn)動(dòng)路徑,這就為將費(fèi)曼路徑積分應(yīng)用于期權(quán)定價(jià)以得到更為精確的期權(quán)價(jià)格提供了理論支撐.為了分析的簡便,假設(shè)將τ拆分成N個(gè)相同的ε,則 τ=Nε ,令 N→∞ ,則 ε→0 ,則

邊界條件為

由Feynman公式得

路徑積分測(cè)度(the path-integration measure)為

由此,得離散時(shí)間下的費(fèi)曼路徑積分

在許多情形下,歸一化的 Ni(ε) 與積分變量xi是獨(dú)立的,這種情形下,歸一化的常數(shù) Ni(ε) 可以忽略不計(jì),此時(shí) N→∞ ,并由邊界條件可以得到連續(xù)時(shí)間下的費(fèi)曼路徑積分,

(22)式即為定價(jià)核的費(fèi)曼路徑積分形式.

3 隨機(jī)波動(dòng)率費(fèi)曼路徑積分股指期權(quán)定價(jià)模型構(gòu)建

3.1 隨機(jī)波動(dòng)率分布形式設(shè)定

1987 年,Scott[28]提出波動(dòng)率可能服從均值回復(fù)過程,并用蒙特卡羅模擬算出了期權(quán)價(jià)格的數(shù)值解.1989年,Merville和Pieptea[29]使用S&P 500指數(shù)期貨看漲期權(quán)進(jìn)行研究,并給出了市場波動(dòng)率服從帶噪聲均值回復(fù)過程的證明.1993年,Heston[27]假定即期資產(chǎn)在時(shí)間t服從幾何布朗運(yùn)動(dòng),

其中,V(t) 是方差,dW1(t) 是維納過程,假定波動(dòng)率服從形如Stein和Stein[30]提出的均值回復(fù)過程,并借鑒Cox等[31]1985年提出的平方根過程,得到方差服從平方根過程,

其中,V(t)=σ2(t) ,θ是方差的長期均值,α是均值回復(fù)速度,ξ是反映方差過程的波動(dòng)率,dW1和dW2為相關(guān)系數(shù)為ρ的高斯白噪聲.

可見,Heston模型的平方根過程,本質(zhì)上是均值回復(fù)過程的改進(jìn).且鑒于諸多學(xué)者的研究,指出波動(dòng)率服從均值回復(fù)過程更符合市場的實(shí)際情形[27-31].因此,本文采用Heston的平方根過程刻畫方差的運(yùn)動(dòng)過程.

3.2 隨機(jī)波動(dòng)率費(fèi)曼路徑積分股指期權(quán)定價(jià)模型

由于紅利支付會(huì)使得股指的實(shí)際價(jià)值減少,借鑒Shreve在《金融隨機(jī)分析》[32]關(guān)于連續(xù)支付股息的股價(jià)模型,取股指模型為

其中,q為股息率,為分析的簡便,假定股息率為常數(shù); V(t)=σ2(t) ; μ為股指的期望收益率,θ是方差的長期均值,α是均值回復(fù)速度,ξ是反映方差過程的波動(dòng)率,μ,α,θ,ξ 均為常數(shù); dW1和 dW2為相關(guān)系數(shù)為ρ的高斯白噪聲.由二次變分原理得,(dI)2=I2Vdt ,(dV)2=ξ2Vdt ,dIdt=dVdt=0 ,dIdV=ρξIVdt.

假定波動(dòng)率風(fēng)險(xiǎn)的市場價(jià)格為λ,根據(jù)風(fēng)險(xiǎn)中性定價(jià)原理,股指的期望收益率μ等于無風(fēng)險(xiǎn)利率r,由Black和Scholes及Merton指出的任意資產(chǎn)價(jià)格滿足的偏微分方程[27],可得

令 I=ex,V=ey,則 x=lnI ,y=lnV ,-∞＜x＜+∞,-∞＜y＜+∞ ,則

得帶隨機(jī)波動(dòng)率的哈密頓量 HSV如下：

由 〈x|p〉=eipx,〈y|p〉=eipy,可將(28)式轉(zhuǎn)化為量子場論下的哈密頓量,

則,費(fèi)曼定價(jià)核

其中,

令

進(jìn)行變量替換,并由量子場論下的二維高斯積分,則可得

其中,

由 LSV的公式可知,ASV是 xi的二次型和 yi的非線性函數(shù),因此原理上可以精確地對(duì)股指價(jià)格xi進(jìn)行路徑積分,

令

則

通過高斯積分求解并借鑒Heston的處理方式,假定波動(dòng)率風(fēng)險(xiǎn)的市場價(jià)格僅與 V(t) 相關(guān),基于風(fēng)險(xiǎn)中性的分析框架下,投資者不要求風(fēng)險(xiǎn)補(bǔ)償,令 λ=0.則,隨機(jī)波動(dòng)率下費(fèi)曼定價(jià)核的解為

其中,

A1是 DX 路徑積分的結(jié)果.

將費(fèi)曼定價(jià)核與支付函數(shù)的乘積在 x′的所有可能取值范圍內(nèi)進(jìn)行積分,可得歐式股指看漲期權(quán)價(jià)格為

至此,本文推導(dǎo)得到隨機(jī)波動(dòng)率費(fèi)曼路徑積分股指期權(quán)定價(jià)模型(38)式.費(fèi)曼定價(jià)核包含了從時(shí)間T到t的股指的所有價(jià)格可能運(yùn)動(dòng)路徑的信息,是風(fēng)險(xiǎn)中性條件下股指期權(quán)定價(jià)的條件概率.從費(fèi)曼路徑積分原理以及隨機(jī)波動(dòng)率費(fèi)曼路徑積分股指期權(quán)定價(jià)模型的推導(dǎo)過程可以看到,隨機(jī)波動(dòng)率下的費(fèi)曼定價(jià)核是股指價(jià)格以及方差從時(shí)間T到t的所有可能運(yùn)動(dòng)路徑的總的幾率幅.從(38)式可以看到,費(fèi)曼路徑積分股指期權(quán)定價(jià)模型的核心在于求解隨機(jī)波動(dòng)率定價(jià)核 pSV.

4 基于恒指期權(quán)的實(shí)證研究

由于滬深300股指期權(quán)的仿真交易不夠活躍,數(shù)據(jù)存在諸多異常值,不適合做實(shí)證研究.鑒于滬港通和港股通的相繼實(shí)施,香港金融市場與上海金融市場之間的相關(guān)性越來越明顯,因此,本文采用恒生指數(shù)期權(quán)的歷史數(shù)據(jù)進(jìn)行實(shí)證研究.

4.1 樣本數(shù)據(jù)選取及數(shù)據(jù)來源

為檢驗(yàn)?zāi)Ｐ皖A(yù)測(cè)效果,以2016年1月1日至2018年11月9日為樣本內(nèi)數(shù)據(jù),以2018年11月10日至2018年12月23日為樣本外數(shù)據(jù).本文預(yù)測(cè)30 d的價(jià)格,主要是考慮到有些期權(quán)即將到期,其時(shí)間價(jià)值的衰減速度隨著到期日的臨近逐漸加快,這會(huì)對(duì)定價(jià)產(chǎn)生非常大的影響.為分析模型效果,將Heston模型作為對(duì)照組,所有參數(shù)和市場數(shù)據(jù)都一致.

鑒于期權(quán)價(jià)格與其標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格之間是一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系,而本文采用恒指期權(quán)的歷史收盤價(jià)數(shù)據(jù)檢驗(yàn)?zāi)Ｐ偷倪m用性,對(duì)應(yīng)地采用恒生指數(shù)日收盤價(jià)的對(duì)數(shù)作為x的代理變量,并以方差的對(duì)數(shù)作為y的代理變量.考慮到歷史波動(dòng)率的不足,本文采用指數(shù)移動(dòng)加權(quán)平均模型(exponential weighted moving average,EWMA)重新計(jì)算方差.以香港銀行同業(yè)拆借利率(Hongkong inter bank offered rate,HIBOR)作為無風(fēng)險(xiǎn)利率的代理變量.恒指日收盤價(jià)、恒指股息率、香港銀行同業(yè)拆借利率HIBOR、恒指期權(quán)日收盤價(jià)數(shù)據(jù)均來自Wind金融終端.

4.2 模型的參數(shù)估計(jì)

由于傳統(tǒng)參數(shù)估計(jì)方法需要的前提條件較多,且隨機(jī)波動(dòng)率模型中存在不可觀測(cè)變量,模型的似然函數(shù)涉及高維積分[33],馬爾可夫鏈蒙特卡羅模擬方法(Markov chain Monte Carlo,MCMC)較傳統(tǒng)的參數(shù)估計(jì)方法而言,在盡量納入市場數(shù)據(jù)的同時(shí)可以免去似然函數(shù)的推導(dǎo)過程.對(duì)于某個(gè)分布π(θ),一般情況下,無論初始狀態(tài) θ0取何種分布,在經(jīng)過足夠的迭代次數(shù)后,馬爾可夫鏈將逐漸忽略其初始狀態(tài),基于細(xì)致平衡條件(detailed balance condition)[34]θn將收斂到平穩(wěn)分布.因此,本文將采用易于實(shí)現(xiàn)的MCMC參數(shù)估計(jì)方法,運(yùn)用Winbugs軟件進(jìn)行參數(shù)估計(jì).

由于歷史波動(dòng)率的計(jì)算公式賦予計(jì)算周期內(nèi)的所有時(shí)間距離等權(quán)重,使得波動(dòng)率與實(shí)際值存在偏差.恒指期權(quán)屬于現(xiàn)貨期權(quán),其交易不如期貨期權(quán)活躍,難以滿足GARCH模型對(duì)參數(shù)估計(jì)的需要,而指數(shù)移動(dòng)加權(quán)平均(EWMA)模型(EWMA模型為其中,σ 為波動(dòng)率,u為變化率,w為介于0與1之間的某一常數(shù).當(dāng)l很大時(shí),項(xiàng)趨于零,而對(duì)應(yīng)于u的權(quán)重以w速度遞減)對(duì)價(jià)格的連續(xù)性要求較弱.鑒于摩根在1994年發(fā)表的RiskMetrics數(shù)據(jù)中采用 w=0.94 ,并且研究表明這一權(quán)重所預(yù)測(cè)得到的方差與實(shí)際方差非常接近.因此,本文取權(quán)重為 w=0.94 ,時(shí)間窗口為 l=150 ,計(jì)算恒指收盤價(jià)自1964年7月31日至2018年12月21日的方差,作為恒指方差的代理變量.以所有計(jì)算得到的方差的均值作為方差的長期均值的代理變量,可得θ=0.0857.雖然從方差的歷史走勢(shì)(見圖1)來看,有不少方差數(shù)值較大,但均迅速調(diào)整到較小的值.

圖1 EWMA模型得到的日方差圖Fig.1.Daily variance diagram from EWMA model.

至此,待估計(jì)參數(shù)只剩下α,ξ,ρ.令x(t)=lnI(t),(25)式經(jīng)伊藤引理變換,并進(jìn)行歐拉離散化后,得

其中 Z1,Z2均服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布.假設(shè)α～N(5.5,0.01),ρ～Γ(2.5,0.1) ,ξ～N(1,0.0625).為了獲取穩(wěn)定的參數(shù)估計(jì)結(jié)果,本文通過設(shè)置兩組初始值形成兩個(gè)迭代鏈,迭代100000次,并舍棄前4000次迭代值,通過觀察各參數(shù)的核密度圖(見圖2)均呈單峰情形,可見參數(shù)估計(jì)結(jié)果是穩(wěn)定的.

迭代100000次,舍棄前面4000次,樣本量為192000,參數(shù)估計(jì)結(jié)果列于表1,α,ρ,ξ參數(shù)估計(jì)結(jié)果依次為3.393,0.4201,1.574.

至此,得到隨機(jī)波動(dòng)率費(fèi)曼路徑積分股指期權(quán)定價(jià)模型所需的所有參數(shù),分別為 θ=0.0857 ,α=3.393,ρ=0.4201 ,ξ=1.574.接下來,本文將基于該組參數(shù)進(jìn)行價(jià)格預(yù)測(cè).

圖2 核密度圖Fig.2.Kernel density.

表1 參數(shù)估計(jì)結(jié)果Table 1.Parameter estimates.

4.3 費(fèi)曼路徑積分股指期權(quán)定價(jià)模型的算法設(shè)計(jì)

令 y=lnV ,則(25)式的方差的平方根過程由伊藤引理可得

將(40)式進(jìn)行歐拉離散化,可得

其中,Z～N(0,1) ,δyi=yi-yi-1,由于 τ=T-t ,而預(yù)測(cè)的是t時(shí)刻的期權(quán)價(jià)格,所以,時(shí)間步長為-ε.由此可見,δyi為正態(tài)隨機(jī)變量,并且其均值為方差為 ξ2e-yiε ,且其概率密度函數(shù)的表達(dá)式如下：

離散化過程的聯(lián)合概率密度為

設(shè)Y為由變量 yi構(gòu)成的數(shù)組,因此Y為N維矩陣,則其概率密度函數(shù)為

從(44)式可以看到,概率密度函數(shù) p(Y) 雖然看起來較為復(fù)雜,但其實(shí)質(zhì)為 yi隨機(jī)游走的概率分布.

設(shè)pSV(x,y,τ;x′)=p(Y)·g(Y),則

費(fèi)曼定價(jià)核重述為

如圖3所示,將剩余到期日平均地分成N個(gè)ε,對(duì)應(yīng)地插入 N-1 個(gè)隔板,在每個(gè)隔板上隨機(jī)地取盡可能多的點(diǎn)(圖中只呈現(xiàn)了8個(gè)點(diǎn)).在每個(gè)隔板上隨機(jī)地各取一個(gè)點(diǎn)相連接起來,即可生成一條路徑,如圖3中有3條相互獨(dú)立的路徑.可見,我們無法知道具體的路徑走勢(shì),唯一可以確定的是,根據(jù)大數(shù)定律得到的在每個(gè)隔板上所有隨機(jī)點(diǎn)的平均值.在費(fèi)曼路徑積分中,假定每條路徑都是等可能的,那么對(duì)于模擬得到的所有的 yi可以由大數(shù)定律得到確定的均值.基于此,本文在算法設(shè)計(jì)上做了簡化處理：路徑的隨機(jī)生成是無法預(yù)知的,但可以確定的是在每個(gè)預(yù)測(cè)點(diǎn)的逼近的均值,而這個(gè)均值是所有可能的路徑共同決定的結(jié)果,因此可以得到取均值后的費(fèi)曼定價(jià)核.

圖3 路徑圖Fig.3.Path diagram.

2000 年Baaquie等[35]指出,在路徑積分期權(quán)定價(jià)中,時(shí)間步長不宜過小.為此,借鑒其做法,步數(shù)設(shè)為N=128步,時(shí)間步長 ε=τ/128 ,其中τ為剩余交易日.

δyi的分布已知為正態(tài)分布,因此可以用蒙特卡羅模擬在每個(gè)時(shí)間步長各模擬10000個(gè) δy 的值,并分別取均值得到則其中,yt為EWMA模型所得的方差的對(duì)數(shù).

計(jì)算

4.4 基于算法設(shè)計(jì)的模型效果比較

4.4.1 相同到期日不同執(zhí)行價(jià)格下的價(jià)格預(yù)測(cè)

在到期日均為2019年3月時(shí),從圖4至圖6可以看到,不論是實(shí)值期權(quán)(K ＜ 25800)、平值期權(quán)(K=25800)還是虛值期權(quán)(K＞25800),費(fèi)曼路徑積分股指期權(quán)定價(jià)模型與Heston模型都能較好地刻畫市場價(jià)格的走勢(shì).但是,從定價(jià)精度來看,費(fèi)曼路徑積分股指期權(quán)定價(jià)模型對(duì)于市場價(jià)格的擬合曲線都較Heston模型更為準(zhǔn)確.

圖4 實(shí)值期權(quán)(以K=25200為例)Fig.4.In-the-money option (K=25200 as an example).

圖5 平值期權(quán)(K=25800)Fig.5.At-the-money option (K=25800 as an example).

圖6 虛值期權(quán)(以K=26400為例)Fig.6.Out-of-the-money option (K=26400 as an example).

4.4.2 相同執(zhí)行價(jià)格不同到期日下的價(jià)格預(yù)測(cè)

由于平值期權(quán)的交易更為活躍,對(duì)其進(jìn)行價(jià)格預(yù)測(cè)更具有應(yīng)用價(jià)值.因此,本文采用執(zhí)行價(jià)格為25800的平值期權(quán),對(duì)到期日分別為2019年2月、2019年3月、2019年6月、2019年9月的恒指期權(quán),進(jìn)行價(jià)格預(yù)測(cè).為了保持前后對(duì)比的一致性,仍然以2018年11月10日至2018年12月23日為樣本外數(shù)據(jù),預(yù)測(cè)恒指期權(quán)30天的價(jià)格.由于到期日不同,剩余到期日也發(fā)生了改變,本文在實(shí)證的基礎(chǔ)上發(fā)現(xiàn)步數(shù)取128步的時(shí)候模型是較為穩(wěn)定的,這與Baaquie等[35]2000年的研究結(jié)果一致.通過調(diào)整對(duì)應(yīng)的時(shí)間單位長度,發(fā)現(xiàn)在時(shí)間步長為0.001-0.002時(shí),模型的預(yù)測(cè)效果較好.

可以看到在到期日為2019年2月(圖7)、2019年3月(圖5)、2019年9月(圖8)時(shí),費(fèi)曼路徑積分股指期權(quán)定價(jià)模型的定價(jià)精度明顯較Heston模型更為精確.在到期日為2019年6月(圖9)的時(shí)候,兩種模型的定價(jià)效果基本持平.

4.5 穩(wěn)健性檢驗(yàn)

為進(jìn)一步增強(qiáng)實(shí)證結(jié)果的說服力,接下來對(duì)隨機(jī)波動(dòng)率下費(fèi)曼路徑積分股指期權(quán)定價(jià)模型以及Heston模型的股指期權(quán)定價(jià)效果進(jìn)行穩(wěn)健性檢驗(yàn).本文使用均方根誤差(root mean squared error,RMSE)和Theil不等系數(shù)(Theil inequality coefficient)兩個(gè)評(píng)價(jià)指標(biāo)對(duì)這兩個(gè)模型的定價(jià)效果進(jìn)行評(píng)價(jià).兩個(gè)評(píng)價(jià)指標(biāo)的計(jì)算公式分別為(47)和(48)式.

圖7 到期日為2019年2月時(shí)兩模型的平值期權(quán)價(jià)格對(duì)比圖Fig.7.A comparison of the two models with maturity date of February 2019.

圖8 到期日為2019年9月時(shí)兩模型的平值期權(quán)價(jià)格對(duì)比圖Fig.8.A comparison of the two models with maturity date of September 2019.

圖9 到期日為2019年6月時(shí)兩模型的平值期權(quán)價(jià)格對(duì)比圖Fig.9.A comparison of the two models with maturity date of June 2019.

均方根誤差又稱為標(biāo)準(zhǔn)誤差,用于衡量預(yù)測(cè)的絕對(duì)誤差,一般而言,誤差值越小說明預(yù)測(cè)準(zhǔn)確度越高.其對(duì)誤差的極端情況的反映極為敏感,因此能夠較好地反映模型預(yù)測(cè)的精確度.均方根誤差是有量綱的評(píng)價(jià)指標(biāo),對(duì)于費(fèi)曼路徑積分股指期權(quán)定價(jià)與Heston模型期權(quán)定價(jià)的效果比較來說,在單位為港幣的情況下,可以直觀地看到其在經(jīng)濟(jì)意義上與市場價(jià)格的標(biāo)準(zhǔn)誤差.Theil不等系數(shù)介于0和1之間,數(shù)值越小說明模型的預(yù)測(cè)效果越好.Theil不等系數(shù)剔除了單位的影響,是一種無量綱的評(píng)價(jià)指標(biāo).因此,結(jié)合這兩個(gè)評(píng)價(jià)指標(biāo)可以從有量綱與無量綱這兩種情形,對(duì)費(fèi)曼路徑積分定價(jià)模型及Heston模型的定價(jià)效果進(jìn)行評(píng)價(jià).

從圖10以及圖11可以直觀地看到在期權(quán)到期日為2019年3月時(shí),不論是實(shí)值期權(quán)(K ＜25800)、平值期權(quán)(K=25800)還是虛值期權(quán)(K＞25800),費(fèi)曼路徑積分股指期權(quán)定價(jià)模型的RMSE及Theil不等系數(shù)都較Heston期權(quán)定價(jià)模型來得低.可見,在相同到期日不同執(zhí)行價(jià)格下,費(fèi)曼路徑積分股指期權(quán)定價(jià)模型在價(jià)格預(yù)測(cè)上較Heston模型有了明顯的改進(jìn).

圖10 相同到期日不同執(zhí)行價(jià)格下兩種模型的RMSE對(duì)比圖Fig.10.RMSE for the two models on the same due date.

從表2評(píng)價(jià)指標(biāo)值可以看到,在到期日為2019年6月時(shí),費(fèi)曼路徑積分股指期權(quán)定價(jià)模型與Heston模型的RMSE與Theil不等系數(shù)差別不大,但在其他到期日下,費(fèi)曼路徑積分股指期權(quán)定價(jià)模型的評(píng)價(jià)指標(biāo)值都遠(yuǎn)小于Heston模型.可見,費(fèi)曼路徑積分股指期權(quán)定價(jià)模型顯著較Heston模型準(zhǔn)確.

圖11 相同到期日不同執(zhí)行價(jià)格下兩種模型的Theil不等系數(shù)對(duì)比圖Fig.11.Theil inequality coefficients for the two models on the same maturity date.

表2 K=25800下兩種模型不同到期日下的評(píng)價(jià)指標(biāo)值Table 2.K=25800,the evaluation index values of the two models under different maturity dates.

5 結(jié) 論

從以上研究可以看到,Heston模型仍然是基于傳統(tǒng)的BS模型的思路,結(jié)合特征函數(shù)法求解原本BS模型中的 N(d1) 與 N(d2) ,其所求期權(quán)價(jià)格的閉式解基于復(fù)雜的偏微分方程求解過程.而本文所構(gòu)建的隨機(jī)波動(dòng)率股指期權(quán)定價(jià)模型僅由費(fèi)曼定價(jià)核和支付函數(shù)的無窮維積分形式構(gòu)成,費(fèi)曼定價(jià)核包含了股指期權(quán)定價(jià)所需的全部信息,通過本文的實(shí)證研究,發(fā)現(xiàn)該定價(jià)核的數(shù)值解容易通過計(jì)算機(jī)運(yùn)行模擬得到.相比于Heston模型而言,不需要其他的邊界條件.本文提出的模型,核心在于求解費(fèi)曼定價(jià)核,本文基于費(fèi)曼路徑生成原理與大數(shù)定律的關(guān)系,運(yùn)用Matlab模擬得到均值定價(jià)核,可以大大優(yōu)化股指期權(quán)價(jià)格的求解過程.基于恒指期權(quán)的實(shí)證結(jié)果表明,在相同到期日下,不論是實(shí)值、平值還是虛值期權(quán),費(fèi)曼路徑積分股指期權(quán)定價(jià)模型在定價(jià)精度上顯著優(yōu)于Heston模型.在平值期權(quán)下,對(duì)不同到期日的期權(quán)進(jìn)行價(jià)格預(yù)測(cè),費(fèi)曼路徑積分股指期權(quán)定價(jià)模型仍然較Heston模型來得精確.可見,隨機(jī)波動(dòng)率費(fèi)曼路徑積分股指期權(quán)定價(jià)模型在價(jià)格預(yù)測(cè)上是穩(wěn)健的,并且可以帶來較好的預(yù)測(cè)效果.

基于以上研究,可以看到費(fèi)曼路徑積分股指期權(quán)定價(jià)模型在定價(jià)處理上具有很大的靈活性.根據(jù)大數(shù)定律以及費(fèi)曼路徑的生成原理,通過蒙特卡羅模擬方差運(yùn)動(dòng)路徑.在得到均值定價(jià)核的基礎(chǔ)上,將均值定價(jià)核與支付函數(shù)的乘積對(duì) x′進(jìn)行離散化處理,求均值定價(jià)核與支付函數(shù)的乘積的曲線面積以得到期權(quán)價(jià)格的數(shù)值解,從而優(yōu)化了期權(quán)價(jià)格計(jì)算過程,并大大提高了股指期權(quán)的定價(jià)精度.

采用費(fèi)曼路徑積分方法構(gòu)建股指期權(quán)定價(jià)模型,相比于傳統(tǒng)的期權(quán)定價(jià)模型(如BS,Heston模型),其顯著的優(yōu)點(diǎn)體現(xiàn)在：首先,路徑積分在解決多變量問題上具有優(yōu)越性,費(fèi)曼定價(jià)核代表所有的定價(jià)信息,對(duì)其展開變形可以將一維情形拓展到多維情形,因此可以用路徑積分的方法將股指收盤價(jià)和標(biāo)的股指波動(dòng)率的變動(dòng)同時(shí)考慮進(jìn)去,進(jìn)而可以改進(jìn)經(jīng)典B-S-M模型; 其次,基于費(fèi)曼路徑生成原理與大數(shù)定律之間的關(guān)系,通過Matlab軟件得到均值定價(jià)核,不僅優(yōu)化了計(jì)算過程也顯著提高了定價(jià)精度.

本文構(gòu)建的費(fèi)曼路徑積分股指期權(quán)定價(jià)模型,對(duì)于提高股指期權(quán)的定價(jià)精度具有重要的理論意義,豐富了股指期權(quán)的定價(jià)手段,開拓了更為廣闊的研究視角.然而,本文在對(duì)波動(dòng)率風(fēng)險(xiǎn)的市場價(jià)格上的討論較為簡單,今后可以對(duì)此展開更為深入的研究.