黃麗君

摘 要 逆向思維是一種重要的思考能力，個人的逆向思維能力，對于全面人才的創(chuàng)造以及問題解決能力具有非常重大的意義.科學(xué)研究的方法盡管千差萬別，但有一個通法，那就是將未知轉(zhuǎn)化為已知，將復(fù)雜的問題轉(zhuǎn)化成簡單的問題，而數(shù)學(xué)的研究也基本按照這種方法，這是原則也是方向，違背了這個方向研究工作就會受阻，但在大方向不變的情況下，也常常倡導(dǎo)“回頭看”的逆向思維方式.它鼓勵人們進行思考時不再固守在問題的一個方面，鼓勵嘗試從問題的多方面進行思索和推敲，從而得出問題解決的最佳答案.

關(guān)鍵詞 數(shù)學(xué);逆向思維

中圖分類號：C931.1?????????????????????????????????????????????????? 文獻標識碼：A????????????????????????????????????????????????? 文章編號：1002-7661（2019）19-0059-02

相信看到“逆向思維”，很多人都會覺得指的就是反證法。其實嚴格意義上來說，逆向思維并不等同于人們平時所說的反證法，反證法是逆向思維的一種方法，但逆向思維同時還應(yīng)包括人們平時不太熟悉的分析法，剔除法，反例法，待定法等方法，本章將介紹典型的逆向思維方法（也稱反向思考方法）。

作為逆向思維的典型方法，反證法，是指從結(jié)語入手的一種逆向思維解題法，它是從否定結(jié)語開始推理，直至推得與已知條件或事實矛盾?？偟脑瓌t就是：對所要論證的論題，若A則B，沒有直接證明的根據(jù)，此時運用反證法證明，只需證明其反論題（若A則不B）的謬誤即可。

例題1：已知：x+y+z=1，xyz=xy+yz+xz，求證：x、y、z中至少有一個等于1。

分析：本題結(jié)語反面情況是、、都不等于1，即將左邊展開后再與條件比較，發(fā)現(xiàn)矛盾。即得原題的結(jié)語。

證明：設(shè)x、y、z都不等于1，則x-1≠0，y-1≠0，z-1≠0，因為（x-1）（y-1）（z-1）≠0，即xyz-（xy+yz+xz）+x+y+z-1≠0（1）又因為x+y+z=1，xyz=xy+yz+xz（2）所以xyz-（xy+yz+xz）+x+y+z-1=0（3）因為（1）、（3）式發(fā)生矛盾，所以原結(jié)語成立。

完成這個證明過程后，我們又可以從中得到啟發(fā)，即若我們從條件出發(fā)，用正向思維完全可以推得，即得 、x、y、z、中至少有一個等于1。

由以上例題，可見，當問題條件明確指明，而結(jié)語的逆方向所得出的結(jié)果與問題所提出的條件明顯相悖逆時，運用反證法可以更好的將問題得以解決。但是當條件與結(jié)語的關(guān)系比較隱晦時，直接從條件到結(jié)語，常常因為方向不明而無從下手，由于這時條件與結(jié)語關(guān)系隱晦，反證法無法起到很好的效果。而這時候若從結(jié)語入手開始向條件推導(dǎo)，問題往往會迎刃而解。分析法就是從結(jié)語入手進行推證，推得符合的條件或者容易證明的命題的一種逆向思維方法。它使推證的每一步均可逆，從而使原命題得證。

例題2：證明：3（1+a²+a⁴）≥（1+a+a²）²。

分析：這道題看似容易，但是實際運算起來計算量還是比較大的，因此，需考慮是否可以換種思維角度解決問題。像先前所討論的反證法明顯沒辦法進行，因為問題中沒有進行反證的條件。因此，可以思考是不是能從問題的結(jié)語出發(fā)，對這道題目的結(jié)語進行逆推，也就是本節(jié)所要講述的分析法.

證明：要證明3（1+a²+a⁴）≥（1+a+a²）²，只需證明3[（1+a^）2-a⁴]≥（1+a+a²）²，即是3（1+a²+a）（1+a²-a）≥（1+a+a²）²，

，所以只需證3（1+a²-a）≥1+a+a²，展開得2-4a+2a²≥0，即2（1-a）²≥0。

因為顯然成立，所以成立。

由以上例題可以看出，當問題中只給出了大致的問題，而沒有給出太多的條件時，這個時候就可以嘗試用分析法，從結(jié)語著手，層層推進到條件根本去解決數(shù)學(xué)問題。

根據(jù)題目所給出的條件，如從正面求解很煩瑣，可從反面思考，只須把不符合條件的先求出來，再從總體中淘汰那些不符合條件的，最后使問題得解，這種逆向思考方法叫做剔除法。剔除法又稱為淘汰法，是剔除干擾從而得到正確答案的一種逆向思維解題方法，用此方法解一些問題往往比直接由條件導(dǎo)出正確答案更靈活和方便。接下來，可以從以下例題來加深對此方法的理解。

例題3：已知a、b、c、d四數(shù)滿足下列不等式：

（1）abcd>0;（2）a>c;（3）abd<0;（4）b+d<0則（ ）。

A.a、b、c、d都大于0

B.a、b、c、d都小于0

C.a>0，b<0，c>0，d<0

D.a<0，b>0，c<0，d>0

E.a>0，b<0，c<0，d>0

分析：此題關(guān)系復(fù)雜，頭緒較多，不易從正面入手，而由于此題是選擇題，不必直接算出結(jié)果，故可考慮使用剔除法進行求解。

解：由于abcd>0，abd<0，可知，c<0，于是可排除A、C;由于b+d<0可知，b、d中至少有一個負數(shù)，于是可以排除D;由于B、E中知b、c、d都小于零，要滿足abcd>0，必須有a<0，故可知最后應(yīng)該選B。

由此可知，在解單項選擇題或者其他類似可以明顯的剔除掉不合適的答案的數(shù)學(xué)問題時，用剔除法解決問題能夠收到比正面解決問題更好的效果，這種解題思想也是逆向思維的具體體現(xiàn).

眾所周知，證明一個命題需要嚴格的邏輯推理，而否定一個命題只需舉出一個反例即可.因此反例法也是逆向邏輯思維的一種很實用的方法.由下列例題的分析可了解：

例題4：若一個凸多邊形的對角線都相等，那么這個凸多邊形（ ）。

A.一定是四邊形

B.一定是五邊形

C.是四邊形或者五邊形

D.是各邊都相等的多邊形或各內(nèi)角都相等的多邊形

分析：由于題中只給出了兩個條件，故無法綜合起來用正面分析或者采用剔除法將問題得到解決.因此現(xiàn)在可以從選項入手，考慮它們的反例情況，也就是說將選項通過反例推翻從而選出最佳的答案。

解：因為正五邊形是對角線相等的多邊形，但并不是四邊形，因此可以否定A選項;正方形是對角線相等的多邊形，但不是五邊形，因此可以否定B選項;等腰梯形的對角線也相等，然而它的各邊不都相等，各個角也不都相等，因此可以否定D選項，所以應(yīng)該選的是C選項。

通過以上例題的分析，可以知道，反例法也適用在選擇題中，并且與剔除法有異曲同工之妙.所不同的是，此時不再是根據(jù)條件剔除選項，而是根據(jù)選項的反例進行選項的一個個排除.此外，還可以知道，有時候證明一個命題是假命題，不必舉很多的反例，只要能舉出一個符合條件但又與結(jié)語不相符的例子就可以了。在數(shù)學(xué)問題的解決過程中，有時候問題的證明并不是都要證明真命題，當遇到需要證明假命題時，鼓勵運用反例法，舉出反例，將問題得以解決。

所謂的待定法就是先設(shè)后定，在解題中，受結(jié)語啟發(fā)?？上仍O(shè)某個未定形式，然后根據(jù)已知條件加以確定，這種“先設(shè)后定”的方法也是一種逆向思維，如中學(xué)數(shù)學(xué)中的函數(shù)解析式的求解問題，就是先設(shè)函數(shù)的表達式，進行未定系數(shù)的待定，然后根據(jù)已知條件進行求解，從而求得待定系數(shù)的解.

例題5：已知二次函數(shù)y=ax²+bx+c過點A（1，0），B（3，0），C（0，-1），求該二次函數(shù)的解析式？

分析：由于題目中給的條件過少，且直接從問題已知條件深入較有難度，因此可以考慮從問題的逆向進行思索，先設(shè)后定，先設(shè)二次函數(shù)與點之間唯一可以涉及的關(guān)系，從而利用方程求出問題的解.從而得到解析式。

解：∵二次函數(shù)y=ax²+bx+c過點A（1，0），B（3，0），C（0，3），

∴a+b+c=0，

9a+3b+c=0

c=3

∴a=1，

? ?b=-4，

c=3

∴y=x²-4x+3

這用的就是比較典型的待定法。

俄羅斯著名教育家加里寧說：“數(shù)學(xué)是思維的體操”.正如體操鍛煉可以改變?nèi)说捏w質(zhì)一樣，通過數(shù)學(xué)思維的恰當訓(xùn)練，逐步掌握數(shù)學(xué)思維方法和規(guī)律，是可以改變?nèi)说闹橇湍芰?，也可以培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新精神和創(chuàng)新意識.

在數(shù)學(xué)教學(xué)的過程中，作為一位教師，應(yīng)該要注意引導(dǎo)學(xué)生打破傳統(tǒng)思維定勢的束縛，在正向無法解決問題的情況下，靈巧的運用逆向思維方法，將問題靈活簡便地解決。教師在平時的教學(xué)中應(yīng)該要注重學(xué)生“反向變題”能力的培養(yǎng)，注重反常規(guī)運算的可能，幫助學(xué)生更好地理解與掌握數(shù)學(xué)知識，提高他們的知識應(yīng)用能力與逆向思維能力.

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