徐梅香

(江蘇省濱海縣明達中學(xué) 224000)

解題是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)不可或缺的環(huán)節(jié)，良好的解題意識，可以開拓解題思路，優(yōu)化解題過程，提高解題的準(zhǔn)確率.在高中數(shù)學(xué)解題學(xué)習(xí)中，同學(xué)們要注意培養(yǎng)和增強解題意識，提高解題能力，從而走出解題陷阱，攻克數(shù)學(xué)解題難關(guān).

一、樹立向量意識

向量，兼具代數(shù)的嚴(yán)謹(jǐn)和幾何的直觀“雙重身份”，巧用向量解題，可以降低解題難度，提高解題速度，使解題思路清晰，簡潔而直觀.在高中數(shù)學(xué)解題學(xué)習(xí)中，同學(xué)們要樹立向量意識，形成向量思想，巧用向量法，妙解數(shù)學(xué)問題，從而提升數(shù)學(xué)思維和解題能力.

圖1

例1如圖1，拋物線y2=4px(p>0)上有兩點A、B，已知OA⊥OB,OM⊥AB,求點M的軌跡方程.

分析本題可以根據(jù)幾何特征合理建系，通過向量法使幾何問題坐標(biāo)化和代數(shù)化，從而達到解題目的.

二、提高建模意識

建模是解決應(yīng)用型問題的關(guān)鍵所在，常見的數(shù)學(xué)模型有函數(shù)、不等式、方程、等比與等差數(shù)列等模型.在高中數(shù)學(xué)解題學(xué)習(xí)中，同學(xué)們要注意掌握基本應(yīng)用模型，明晰建模方法，熟悉文字語言、符號語言、圖形語言、表格語言等各種語言的轉(zhuǎn)化，有意識地培養(yǎng)自己的建模意識，增強分析和解決實際應(yīng)用問題的能力.

圖2

例2某個體運輸專業(yè)戶，購買一輛豪華大客車投入營運，據(jù)市場分析，這輛客車營運的總利潤y(單位：10萬元)與營運年數(shù)n(n∈N*)為如圖2的二次函數(shù)關(guān)系.這輛客車應(yīng)運多少年，其營運的年平均利潤最大？( )

A.3年 B.4年 C.5年 D.6年

分析通過審題，不難發(fā)現(xiàn)本題給出的數(shù)量關(guān)系并非代數(shù)式，而是函數(shù)圖象，需要轉(zhuǎn)化語言.抓住關(guān)鍵詞“總利潤y”、“營運年數(shù)n”,先求出函數(shù)圖象解析式，即可使問題得以獲解.

三、形成糾錯意識

糾錯意識，是指在解完題后，能夠反思自己的解題過程，針對錯解深入剖析，找出其原因，及時修正，查漏補缺，歸納總結(jié)，有效調(diào)整學(xué)習(xí)策略和方法，從源頭上防止錯誤的蔓延.在高中數(shù)學(xué)解題中，由于種種原因，不可避免地會出現(xiàn)錯誤，這就要求同學(xué)們要具備糾錯意識，讓錯題成為再度思考和自主探究的學(xué)習(xí)資源，從而促進良好學(xué)習(xí)習(xí)慣的形成.

例3已知A={x|x2+4x=0},B={x|x2+2(a+1)x+a2-1=0},問是否存在實數(shù)a,使A∩B=B，若存在，求出a的取值范圍；若不存在，請說明理由.

錯解由題意可知，A={0，-4}，又A∩B=B，知B?A，所以B可能為?，{0}，{-4}，{0，-4}.①當(dāng)B=?時，即Δ=4(a+1)2-4(a-1)2<0,解得a<-1.②當(dāng)B={0}時，即x=0是方程x2+2(a+1)x+a2-1=0的根，解得a=±1.③當(dāng)B={-4}時，即x=-4是方程x2+2(a+1)x+a2-1=0的根，解得a=1或a=7. ④當(dāng)B={0，-4}時，即x=0和x=-4是方程x2+2(a+1)x+a2-1=0的根，由此解得a=1.綜上所述，實數(shù)a的取值范圍是a≤-1或a=1或a=7.

剖析此題出錯率較高，究其原因主要是對集合的概念理解不夠深刻.集合B={0}實質(zhì)上是這個集合中有且僅有一個元素0，它包含了兩個層意思，一是x=0是方程x2+2(a+1)x+a2-1=0的根；二是該方程只有一個根x=0.而上述解題忽略了第二層含義，事實上，通過驗證，當(dāng)a=1時，原方程x2+4x=0,其根是0和-4，這與集合B={0}的第二層含義中的只有一個根x=0明顯不相符合.

正解由題意可知，A={0，-4}，又A∩B=B，知B?A，所以B可能為?,{0}，{-4}，{0，-4}. .①當(dāng)B=?時，由Δ=4(a+1)2-4(a-1)2<0, 解得a<-1. ②當(dāng)B={0}時，由方程x2+2(a+1)x+a2-1=0有兩個相等的實根x1=x2=0,解得a=-1. ③當(dāng)B={-4}時，由方程x2+2(a+1)x+a2-1=0的根x1=x2=-4解得a∈?. ④當(dāng)B={0，-4}時，由方程x2+2(a+1)x+a2-1=0的根x1=0，x2=-4，可得a=1.綜上所述，實數(shù)a的取值范圍是a≤-1或a=1.

總之，在高中數(shù)學(xué)解題中，同學(xué)們要形成良好的解題意識，激活數(shù)學(xué)思維，巧用有效的解題方法，創(chuàng)造性地解決數(shù)學(xué)問題.