汪 燦，謝 進(jìn)，馬 戈，鄒 政

(西南交通大學(xué) 機(jī)械工程學(xué)院, 四川 成都 610031)

0 引言

從環(huán)境振動(dòng)中收集能量為無(wú)線(xiàn)傳感器、便攜式電子設(shè)備等低功耗設(shè)備供能成為近年的研究熱點(diǎn)[1]。由于壓電俘能器具有能量密度高及結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單的優(yōu)點(diǎn)，被廣泛用于振動(dòng)能量的收集[1]。研究表明，非線(xiàn)性壓電俘能器具有比線(xiàn)性壓電俘能器更好的俘能性能[2-7]，關(guān)于非線(xiàn)性雙穩(wěn)態(tài)壓電俘能器已有大量的研究成果[2-3]。最近研究結(jié)果表明，三穩(wěn)態(tài)壓電俘能器具有比雙穩(wěn)態(tài)更好的低頻俘能性能[4-7]。文獻(xiàn)[4-5]利用2個(gè)可旋轉(zhuǎn)的外部磁鐵與固定在懸臂梁自由端的磁鐵形成三穩(wěn)態(tài)系統(tǒng)。文獻(xiàn)[6-7]通過(guò)實(shí)驗(yàn)和仿真證實(shí)了在隨機(jī)激勵(lì)下，三穩(wěn)態(tài)系統(tǒng)也具有更好的俘能性能。

現(xiàn)有雙穩(wěn)態(tài)系統(tǒng)和三穩(wěn)態(tài)系統(tǒng)多數(shù)都是通過(guò)磁鐵來(lái)引入非線(xiàn)性恢復(fù)力。然而，在某些特殊應(yīng)用場(chǎng)合，磁鐵產(chǎn)生的磁場(chǎng)或許對(duì)周?chē)h(huán)境產(chǎn)生影響，反之，周?chē)h(huán)境也會(huì)影響到俘能器的磁場(chǎng)，進(jìn)而影響俘能器的性能[8]。因此，人們又提出了各種機(jī)械式的非線(xiàn)性俘能器結(jié)構(gòu)。文獻(xiàn)[8]將線(xiàn)性俘能器用線(xiàn)性彈簧連接起來(lái)，形成單穩(wěn)態(tài)的非線(xiàn)性俘能器；文獻(xiàn)[9]設(shè)計(jì)了一個(gè)懸臂擺的單穩(wěn)態(tài)俘能器，通過(guò)擺的運(yùn)動(dòng)，引入非線(xiàn)性恢復(fù)力。文獻(xiàn)[10]將彈簧傾斜安裝在基座上，使彈簧與質(zhì)量塊運(yùn)動(dòng)方向保持一定的角度，通過(guò)這種方式引入了非線(xiàn)性恢復(fù)力，形成雙穩(wěn)態(tài)的非線(xiàn)性俘能器。

本文利用一種具有多穩(wěn)態(tài)特性的機(jī)械結(jié)構(gòu)作為俘能器。分析了其系統(tǒng)參數(shù)與結(jié)構(gòu)穩(wěn)態(tài)間的關(guān)系，并利用數(shù)值仿真法研究了在簡(jiǎn)諧激勵(lì)和隨機(jī)激勵(lì)下系統(tǒng)的俘能特性。

1 系統(tǒng)的物理和計(jì)算模型及穩(wěn)態(tài)分析

1.1 系統(tǒng)的物理和計(jì)算模型

本文提出的多穩(wěn)態(tài)結(jié)構(gòu)俘能器的物理結(jié)構(gòu)如圖1(a)所示。2根線(xiàn)性彈簧對(duì)稱(chēng)布置于懸臂梁未發(fā)生變形時(shí)平衡位置的兩側(cè)。當(dāng)無(wú)外部激勵(lì)時(shí)，懸臂梁靜止，兩彈簧處于壓縮狀態(tài)。在懸臂梁上、下兩側(cè)各粘結(jié)一層寬度和長(zhǎng)度與懸臂梁均相同的壓電片。當(dāng)基座在外部激勵(lì)下發(fā)生振動(dòng)，使得懸臂梁產(chǎn)生變形，導(dǎo)致壓電片發(fā)生變形，由壓電片的壓電效應(yīng)可實(shí)現(xiàn)振動(dòng)能向電能的轉(zhuǎn)化。

圖1 機(jī)械式多穩(wěn)態(tài)俘能器的物理結(jié)構(gòu)及計(jì)算模型

圖1(a)所示物理結(jié)構(gòu)可利用集中參數(shù)法將懸臂梁簡(jiǎn)化成典型的彈簧阻尼系統(tǒng)，如圖1(b)所示。圖中，M、K和C分別為系統(tǒng)的等效質(zhì)量、等效剛度和等效阻尼，K1為兩線(xiàn)性彈簧的剛度系數(shù)，R為負(fù)載電阻，V為懸臂梁的輸出電壓，h為懸臂梁末端距右端基座的垂直距離，2a為兩線(xiàn)性彈簧在基座上的距離，X(τ)為懸臂梁的振動(dòng)位移，Y(τ)為外部激勵(lì)。

由壓電本構(gòu)方程、牛頓第二定律和基爾霍夫定律，可得系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)方程[11]為

MX″+cX′+KX+F1-θV=-MY″

(1)

(2)

式中：CP為等效電容；θ為機(jī)電耦合系數(shù)；F1為兩線(xiàn)性彈簧力在豎直方向上的分力；X，Y分別為X(τ)，Y(τ)；X′為X對(duì)τ的微分。

根據(jù)線(xiàn)性彈簧的位置和幾何關(guān)系可得

(3)

式中L為彈簧原長(zhǎng)。

(4)

(5)

(6)

1.2 系統(tǒng)勢(shì)能函數(shù)及穩(wěn)態(tài)分析

由式(4)可得系統(tǒng)的無(wú)量綱勢(shì)能函數(shù)為

(7)

勢(shì)能函數(shù)的最小極值點(diǎn)對(duì)應(yīng)系統(tǒng)的穩(wěn)定點(diǎn)，每個(gè)穩(wěn)定點(diǎn)對(duì)應(yīng)系統(tǒng)的一個(gè)穩(wěn)定狀態(tài)(穩(wěn)態(tài))。

由式(7)可看出，系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)數(shù)目與剛度比μ、彈簧的位置參數(shù)α、β有關(guān)。分別取μ=0.1、0.25、1、4、10，得到系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)隨著α、β的變化而變化的規(guī)律，如圖2所示。

圖2 系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)特性參數(shù)分布圖

由圖2可看出，系統(tǒng)可產(chǎn)生1個(gè)穩(wěn)定點(diǎn)的單穩(wěn)態(tài)、2個(gè)穩(wěn)定點(diǎn)的雙穩(wěn)態(tài)和3個(gè)穩(wěn)定點(diǎn)的三穩(wěn)態(tài)。隨著μ的增大，系統(tǒng)產(chǎn)生多穩(wěn)態(tài)的參數(shù)區(qū)域也將增大。

為了更直觀地了解參數(shù)μ、α、β對(duì)勢(shì)能函數(shù)及穩(wěn)態(tài)數(shù)目的影響，取α=0，β=0.8，μ=1、4、10，作出勢(shì)能函數(shù)變化圖，如圖3(a)所示。由圖可見(jiàn)，當(dāng)μ=1時(shí)，系統(tǒng)為單穩(wěn)態(tài)；當(dāng)μ=4和μ=10時(shí)，系統(tǒng)為雙穩(wěn)態(tài)，μ值越大，則勢(shì)能U的最小值與最大值之差(即勢(shì)壘)越大，兩勢(shì)能U最小值之間的間距(即勢(shì)阱間距離)略微增加。

圖3 勢(shì)能函數(shù)與系統(tǒng)參數(shù)之間的關(guān)系

再取μ=1，β=0.2，α=0.1，0.3，0.8作出勢(shì)能函數(shù)變化圖，如圖3(b)所示。由圖可見(jiàn)，當(dāng)α=0.1時(shí)，系統(tǒng)為雙穩(wěn)態(tài)；當(dāng)α=0.3，系統(tǒng)為三穩(wěn)態(tài)；當(dāng)α=0.8，系統(tǒng)為單穩(wěn)態(tài)。由圖還可看出，與雙穩(wěn)態(tài)相比，三穩(wěn)態(tài)系統(tǒng)具有更低的勢(shì)壘，這意味著三穩(wěn)態(tài)系統(tǒng)更易越過(guò)勢(shì)壘做大幅阱間運(yùn)動(dòng)。參數(shù)β對(duì)勢(shì)能函數(shù)及系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)數(shù)目的影響與參數(shù)α類(lèi)似。

2 俘能器的俘能特性

根據(jù)文獻(xiàn)[12]可知，系統(tǒng)的輸出功率與均方根電壓的平方成正比，本文以無(wú)量綱均方根電壓作為系統(tǒng)俘能效果的評(píng)價(jià)指標(biāo)，無(wú)量綱均方根電壓為

(8)

式中：vi為無(wú)量綱離散輸出電壓值；n為離散電壓取樣點(diǎn)數(shù)。

3 簡(jiǎn)諧激勵(lì)下俘能器的運(yùn)動(dòng)與俘能特性

設(shè)外激勵(lì)為簡(jiǎn)諧激勵(lì)，即

(9)

由文獻(xiàn)[5,13-14]可知，對(duì)于不同的壓電俘能器結(jié)構(gòu)，激勵(lì)幅值大小對(duì)壓電俘能器俘能性能的影響基本一致，即隨著激勵(lì)幅值的增大，壓電俘能器的輸出電壓、工作帶寬均隨之增加。故此重點(diǎn)研究激勵(lì)頻率對(duì)系統(tǒng)的影響，取無(wú)量綱激勵(lì)幅值f=0.4。

取系統(tǒng)參數(shù)ξ=0.05，γ=0.5，λ=0.05，μ=1，β=0.2。為了比較系統(tǒng)在各種穩(wěn)態(tài)下的俘能效果，取α=0.1、0.3、0.8，分別對(duì)應(yīng)系統(tǒng)出現(xiàn)雙穩(wěn)態(tài)、三穩(wěn)態(tài)和單穩(wěn)態(tài)的情況，采用龍格-庫(kù)塔法對(duì)式(6)進(jìn)行數(shù)值求解。若無(wú)特殊說(shuō)明，初始值均為[0 0 0]。

文中，我們主要介紹比特幣系統(tǒng)中涉及的相關(guān)密碼技術(shù)，包含簽名、哈希函數(shù)以及區(qū)塊鏈技術(shù)。尤其是區(qū)塊鏈技術(shù)，以鏈狀結(jié)構(gòu)存儲(chǔ)數(shù)據(jù)，以密碼技術(shù)為數(shù)據(jù)傳輸提供機(jī)密性和認(rèn)證性服務(wù)，從而形成一條分布式存儲(chǔ)、無(wú)法篡改、永無(wú)止息的數(shù)據(jù)庫(kù)。但比特幣等諸多數(shù)字貨幣在一定程度上具有匿名性，使得監(jiān)管問(wèn)題日益嚴(yán)峻，如何在保護(hù)實(shí)體隱私的同時(shí)實(shí)施有效的監(jiān)管是數(shù)字貨幣領(lǐng)域的一大挑戰(zhàn)。另一方面，由于區(qū)塊鏈技術(shù)能擺脫第三方機(jī)構(gòu)制約，使得它不再局限于數(shù)字貨幣領(lǐng)域。目前，區(qū)塊鏈技術(shù)在金融服務(wù)、公共服務(wù)和IoT等領(lǐng)域的應(yīng)用尚處于探索階段，有待進(jìn)一步發(fā)掘。

Ω=0.2時(shí)，系統(tǒng)對(duì)應(yīng)3個(gè)不同α?xí)r的時(shí)域圖和相圖，如圖4所示。由圖可見(jiàn)，當(dāng)α=0.3時(shí)，系統(tǒng)做大幅阱間運(yùn)動(dòng)，而α=0.1、0.8時(shí)系統(tǒng)只做小幅阱內(nèi)運(yùn)動(dòng)。

圖4 Ω=0.2時(shí)系統(tǒng)響應(yīng)圖

Ω=1時(shí)系統(tǒng)的時(shí)域圖和相圖如圖5所示。α=0.1、0.3時(shí)系統(tǒng)能越過(guò)勢(shì)壘保持大幅周期運(yùn)動(dòng)狀態(tài)，而α=0.8時(shí)系統(tǒng)只在其平衡點(diǎn)附近做小幅周期運(yùn)動(dòng)。

圖5 Ω=1時(shí)系統(tǒng)響應(yīng)圖

Ω=1.8時(shí)，與Ω=1時(shí)的情況相反，α=0.1、0.3時(shí)系統(tǒng)保持小幅運(yùn)動(dòng)，而α=0.8時(shí)系統(tǒng)做大幅周期運(yùn)動(dòng)，如圖6所示。

現(xiàn)對(duì)不同穩(wěn)態(tài)下系統(tǒng)的俘能特性進(jìn)行討論。

系統(tǒng)處于雙穩(wěn)態(tài)的α=0.1時(shí)，系統(tǒng)隨激勵(lì)頻率變化的Vrms和位移絕對(duì)值最大值|x|max如圖7所示。由圖可看出，在頻率較低時(shí)，盡管|x|max較大，但系統(tǒng)俘能特性不穩(wěn)定。由圖4～6可看出，此時(shí)系統(tǒng)被限制在勢(shì)阱內(nèi)做小幅阱內(nèi)運(yùn)動(dòng)，雖然振動(dòng)位移大，但俘獲電壓較小。而當(dāng)外激頻率增加時(shí)，系統(tǒng)均方根電壓出現(xiàn)波動(dòng)后平穩(wěn)增加，在頻率較高處出現(xiàn)斷崖式下跌。由圖7可看出，頻率較高時(shí)，系統(tǒng)的|x|max變化趨勢(shì)與均方根電壓類(lèi)似。

圖7 α=0.1時(shí)系統(tǒng)俘能特性的變化

系統(tǒng)處于三穩(wěn)態(tài)的α=0.3時(shí)，系統(tǒng)隨激勵(lì)頻率變化的Vrms和|x|max如圖8所示。在頻率較低處時(shí)，系統(tǒng)的俘能特性較高。與α=0.1時(shí)相比，系統(tǒng)的有效工作帶寬和低頻俘能性能均得到增強(qiáng)。此時(shí)系統(tǒng)的Vrms與|x|max基本成正比關(guān)系。

圖8 α=0.3時(shí)系統(tǒng)俘能特性的變化

圖9 α=0.8時(shí)系統(tǒng)俘能特性的變化

4 隨機(jī)激勵(lì)下俘能器的運(yùn)動(dòng)與俘能特性

本節(jié)研究高斯白噪聲隨機(jī)激勵(lì)下系統(tǒng)的俘能特性，系統(tǒng)參數(shù)與第3節(jié)相同。

根據(jù)文獻(xiàn)[15]得到由獨(dú)立單位正態(tài)隨機(jī)序列ζk模擬的高斯白噪聲信號(hào)，即

(10)

式中：D為噪聲強(qiáng)度；Δt為時(shí)間間隔；randn(1,N)為N個(gè)符合正態(tài)分布的隨機(jī)數(shù)。

將式(6)寫(xiě)成歐拉差分格式，對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行求解，研究不同噪聲強(qiáng)度對(duì)系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)特性的影響。

取噪聲強(qiáng)度D=0.008。當(dāng)α=0.1時(shí)，系統(tǒng)被限制在勢(shì)阱內(nèi)做小幅阱內(nèi)運(yùn)動(dòng)，系統(tǒng)的時(shí)域圖及相圖如圖10所示。當(dāng)α=0.3時(shí)，系統(tǒng)能越過(guò)勢(shì)壘，在3個(gè)平衡點(diǎn)間來(lái)回跳躍，做大幅阱間運(yùn)動(dòng)，系統(tǒng)的時(shí)域圖及相圖如圖11所示。當(dāng)α=0.8時(shí)，系統(tǒng)在平衡點(diǎn)附近做混沌運(yùn)動(dòng)，系統(tǒng)的時(shí)域圖及相圖如圖12所示。

圖10 α=0.1時(shí)系統(tǒng)響應(yīng)圖(D=0.008)

圖11 α=0.3時(shí)系統(tǒng)響應(yīng)圖(D=0.008)

圖12 α=0.8時(shí)系統(tǒng)響應(yīng)圖(D=0.008)

取噪聲強(qiáng)度D=0.02。當(dāng)α=0.1時(shí)，系統(tǒng)此時(shí)能越過(guò)勢(shì)壘，但其阱間運(yùn)動(dòng)發(fā)生的頻率較低，系統(tǒng)的時(shí)域圖及相圖如圖13所示。當(dāng)α=0.3時(shí)，系統(tǒng)仍能做阱間大幅運(yùn)動(dòng)，同時(shí)阱間運(yùn)動(dòng)發(fā)生的頻率比D=0.008時(shí)增加，系統(tǒng)的時(shí)域圖及相圖如圖14所示。當(dāng)α=0.8時(shí)，系統(tǒng)在平衡點(diǎn)附近仍做混沌運(yùn)動(dòng)，但大位移振動(dòng)發(fā)生的頻率也明顯增高，系統(tǒng)的時(shí)域圖及相圖如圖15所示。

圖13 α=0.1時(shí)系統(tǒng)響應(yīng)圖(D=0.02)

圖14 α=0.3時(shí)系統(tǒng)響應(yīng)圖(D=0.02)

圖15 α=0.8時(shí)系統(tǒng)響應(yīng)圖(D=0.02)

圖16為隨D變化時(shí)系統(tǒng)Vrms變化情況。由圖可知，當(dāng)D較低時(shí)，α=0.3時(shí)系統(tǒng)具有更好的俘能效果；隨著D增加，Vrms也隨之增加，α=0.1時(shí)系統(tǒng)的Vrms與α=0.3時(shí)近似相等；而α=0.8時(shí)系統(tǒng)的俘能效果較差?？傊陔S機(jī)激勵(lì)情況下，三穩(wěn)態(tài)系統(tǒng)比其他穩(wěn)態(tài)系統(tǒng)具有更好的俘能特性。

圖16 均方根電壓

5 結(jié)論

本文提出了一種機(jī)械式多穩(wěn)態(tài)壓電俘能器裝置，利用集中參數(shù)法建立了系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)方程，并對(duì)其進(jìn)行了勢(shì)能函數(shù)分析。研究了在簡(jiǎn)諧激勵(lì)和隨機(jī)激勵(lì)下此系統(tǒng)處于不同狀態(tài)下的運(yùn)動(dòng)和俘能特性，得出以下結(jié)論：

1) 彈簧的剛度和位置參數(shù)決定了系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)性能，通過(guò)調(diào)節(jié)彈簧的安裝參數(shù)，可實(shí)現(xiàn)系統(tǒng)的多穩(wěn)態(tài)轉(zhuǎn)換。

2) 簡(jiǎn)諧激勵(lì)下，當(dāng)環(huán)境的振動(dòng)頻率較低時(shí)，三穩(wěn)態(tài)系統(tǒng)具有絕對(duì)的優(yōu)勢(shì)；隨著頻率增加(Ω>1)，雙穩(wěn)態(tài)系統(tǒng)的俘能性能略高于三穩(wěn)態(tài)系統(tǒng)俘能性能，雙穩(wěn)態(tài)系統(tǒng)的峰值均方根電壓為1.272，而三穩(wěn)態(tài)系統(tǒng)的峰值均方根電壓為1.095。在高頻環(huán)境中(Ω>1.5)，單穩(wěn)態(tài)系統(tǒng)具有比較高的俘能性能。

3) 隨機(jī)激勵(lì)下，三穩(wěn)態(tài)系統(tǒng)的阱間運(yùn)動(dòng)噪聲強(qiáng)度閾值較低，而Vrms較高，且隨著噪聲強(qiáng)度D的增加，Vrms也會(huì)增加。