黃賢峰，史亳徽

（阜陽師范學院數(shù)學與統(tǒng)計學院，安徽阜陽 236037）

泰勒展式是數(shù)學中一個極為重要的概念，是微分學理論的最一般情形，具有化繁為簡、化難為易的功能。同時，其在多元函數(shù)逼近、計算機圖像學及工程近似計算等領域具有較為廣泛的應用。其中，一元函數(shù)泰勒展開式的研究已相當成熟，如利用一元函數(shù)泰勒公式求解極限、利用泰勒展開式巧解行列式以及利用泰勒展開式求函數(shù)圖像的漸近線等。而多元函數(shù)泰勒展開式的問題研究想對較少，而多元函數(shù)的研究更加具有實際價值，因此該文將在一元函數(shù)泰勒展開式的基礎上，對多元函數(shù)的泰勒展開式展開研究。首先，對多元泰勒展開式的基本知識進行了歸納和總結(jié)。其次，由于多元泰勒展開式在展開時比較復雜，因此該文將借助MATLAB 實現(xiàn)這一過程。再次，借助張量與張量積運算為泰勒展開式引入一種新的表現(xiàn)形式，使其更加簡潔直觀，便于理解和記憶。最后，借助多元泰勒展開式在數(shù)學、物理學及經(jīng)濟學中的實際問題說明其巨大的應用價值。

1 預備知識

下面將給出多元函數(shù)和多元函數(shù)泰勒展開式的定義。

定義1（二元函數(shù)） 設D 是平面點集，R 為實數(shù)集，f 是一個對應規(guī)則，若對于D 中的每一個（x，y），通過對應規(guī)則f，在R 中有唯一的點與之對應，則稱f 是定義在D 上的一個二元函數(shù)。它在的值為z，記為：

z=f（x，y），（x，y）∈D?R2

也可以說是從到的一個映射，記作：

f:D→R，（x，y）→z=f（x，y），

其中，稱D 為該二元函數(shù)f 的定義域，像集f（D）{z|z=f（x，y），（x，y）∈D}稱為值域。

定義2（n 元函數(shù)）設D 是Rn的一個非空子集，f 是一個對應規(guī)則，若對于D 中的每一個點P，通過對應規(guī)則f，在R 中有唯一的點u 與之對應，則稱f 是定義在D 上的一個n 元函數(shù)。它在P 點的值為u，記為u=f（P），P∈D?Rn

也可以說是從D 到R 的一個映射，記作：

定義3 設函數(shù)f:Rn→R，x∈Rn，f 在點x 的某個以δ為半徑的鄰域內(nèi)S=U（x，δ）?Rn具有直到（n+1）階的連續(xù)偏導數(shù)，則對Ax'∈S，有

其中，δ=（δ1，δ2，···，δn）T

=（x1，x2，···，xn）-（x'1，x'2···x'n），

公式（1）稱為以（x-x'）的冪展開的帶有拉格朗日型余項的n 階泰勒公式，Rn（x）稱為拉格朗日余項，且有

其中，（3）式稱為佩亞諾型余項。

此時若取x'=0，則ξ 在0 與x 之間，故可令ξ=θx（0＜θ＜1），使泰勒公式變?yōu)楦鼮楹唵蔚男问?，即帶有拉格朗日余項的麥克勞林公式?/p>

當Rn（x）要求不大精確時，n 階泰勒公式亦可表示為

公式（5）稱為以（x-x'）的冪展開的帶有佩亞諾型余項n 的階泰勒公式。若取x'=0，則得到帶有佩亞諾型余項的麥克勞林公式

由（4）或（6）可得到近似公式

2 多元函數(shù)泰勒展式的張量表示

從功能上說，張量[5]可以理解為多維數(shù)組，其中零階張量表示標量（數(shù)量），一階張量表示向量，也就是一維數(shù)組；n 階張量可以視為為一個n 維數(shù)組。

該文為了問題說明的方便，以三元函數(shù)的三階泰勒展式為例展開說明?，F(xiàn)假設函數(shù)f (x, y, z)在點p0（x0，y0，z0）的某個以δ 為半徑的鄰域U(p0，δ)內(nèi)具有三階連續(xù)偏導數(shù)。對于Ap(x, y, z)∈U(p0，δ)，做差分計算得到：

Δx=x-x0；Δy=y-y0；Δz=z-z0.即Δp=（x-x0，y-y0，z-z0）T.

代入三元函數(shù)，則可得泰勒展式的基本形式為：

同理，我們可以得出n 元函數(shù)的泰勒展式的一種比較簡潔和直觀的表達形式，只是過程相對來說比較復雜，但是仍然可以實現(xiàn)。

3 多元泰勒展式的實際應用

由于泰勒展式在數(shù)學、物理學及經(jīng)濟學等領域應用較多，所以下面以多元泰勒展式為例

對于三元函數(shù)f（x，y，z）在點

x=a，y=b，z=c 鄰域的泰勒展式為：

ρ 稱為體系的電偶極矩[6]，張量Dij稱為體系的電四極矩。

綜上，得電荷體系激發(fā)的在遠處的多極展開式為

通過對多元泰勒展式在物理學領域這一實例的分析,足見其應用價值。

4 結(jié)語

在分析多元泰勒展開式的基礎上，本文給出了元函數(shù)帶有拉格朗日型余項與帶有佩亞諾型余項兩種形式的泰勒公式； 同時也給出了元函數(shù)帶有拉格朗日型余項與帶有佩亞諾型余項兩種形式的麥克勞林公式。利用MATLAB 軟件直觀分析了一個多元函數(shù)與其泰勒展開式之間的區(qū)別和聯(lián)系。并借助張量知識給出了多元泰勒展開式的另一種較為簡潔、直觀的表現(xiàn)形式。最后，具體分析多元泰勒展開式在實際生活中的應用，展示其重大的應用價值。因此，該文一方面可以促進泰勒展開式相關理論知識的學習；另一方面，對于實際的生產(chǎn)生活具有一定的應用價值和指導意義。