原青云 孫永衛(wèi) 張希軍

(陸軍工程大學, 電磁環(huán)境效應國家級重點實驗室, 石家莊 050003)

仿真模擬是開展航天器內(nèi)帶電風險評估的重要方法之一.基于電荷守恒定律, 建立了內(nèi)帶電電位和電場三維計算模型, 給出了模型的一維穩(wěn)態(tài)和瞬態(tài)求解算法及二維和三維求解方案, 設計了迭代算法來解耦電導率與電場強度, 并分析了該迭代算法的收斂性; 運用有限元算法和局部網(wǎng)格細化, 該模型具有方便考察關鍵點處電場畸變的優(yōu)勢; 與現(xiàn)有的輻射誘導電導率模型對比分析, 新模型更適合內(nèi)帶電三維數(shù)值計算; 與實驗數(shù)據(jù)對比, 驗證了內(nèi)帶電三維計算模型的正確性.為解決航天器內(nèi)介質(zhì)帶電評估問題提供了手段.

1 引 言

航天器在軌充電事件和地面模擬試驗均表明內(nèi)帶電致靜電放電是導致航天器故障或損毀的重要原因[1,2].發(fā)生嚴重內(nèi)帶電的區(qū)域位于地球中高軌道空間.許多大型通信衛(wèi)星位于高軌(如地球同步軌道), 而我國北斗導航系統(tǒng)的絕大多數(shù)衛(wèi)星都位于中軌.經(jīng)過多年發(fā)展, 雖然已經(jīng)制定了內(nèi)帶電防護參考手冊, 但是從近幾年出現(xiàn)的航天器事故來看[3,4], 內(nèi)帶電仍對航天器的安全運行構成重大威脅.

建模仿真是航天器帶電研究的重要途徑和方法, 航天器帶電研究的每個階段都經(jīng)歷了建模仿真與在軌測試的過程.特別是對于航天器內(nèi)帶電來講, 建模仿真的意義尤其重大.一方面由于高能電子輻射環(huán)境不易實現(xiàn), 導致內(nèi)帶電的地面模擬試驗比表面充電更難開展; 另一方面內(nèi)帶電建模研究起步較表面充電晚且涉及的充電機理復雜, 在仿真方面遠沒有達到表面充電能夠采用的成熟軟件的水平.于是研究者通常采用計算機仿真與地面模擬實驗相結合的方法, 側(cè)重研究內(nèi)帶電建模仿真與得到貼近實際的仿真結果.最早的內(nèi)帶電仿真工具是著名 學 者 Jun等[5]給 出 的 NUMIT(NUMerical InTegration, NUMIT), 另一款較出名的仿真工具為 歐 空 局 的 DICTAT(dielectric internal charge threat analysis tool, DICTAT)[6], 但二者都是針對平板或圓柱等簡單幾何結構, 且涉及到電荷輸運模擬部分均采用經(jīng)驗擬合公式[7?9].文獻[10?13]在內(nèi)帶電仿真評估方面做出了許多有意義的探索.黃建國和陳東[14,15]給出平板和圓柱結構的內(nèi)帶電一維模型, 分析了介質(zhì)厚度和接地方式對充電的最大電場強度的影響.烏江等[16]嘗試對介質(zhì)材料進行摻雜改性以得到非線性電導率, 當內(nèi)電場高于某個閾值后, 電導率非線性增大有利于及時泄放電荷, 從而避免嚴重的內(nèi)帶電事件.

在表面充電中, 利用三維仿真可以探討太陽帆板處電位勢壘空間分布對充電的影響, 對于內(nèi)帶電評估, 三維仿真同樣具有不可替代的作用.盡管多年來已經(jīng)進行了不少模擬實驗和計算機仿真研究[11,15], 但遠沒有實現(xiàn)內(nèi)帶電的準確評估和預測,這是因為地面模擬和仿真計算并不能充分考慮空間多因素的作用, 如空間溫度作用和部件本身三維結構對放電的影響等.在1970年前后, 研究者基于 NASCAP (NASA charging analyzer program,NASCAP)構建了一種三維仿真模型, 用來動態(tài)仿真涂覆介質(zhì)薄層的導體結構的充電過程, 但僅是介質(zhì)薄層結構.真正的內(nèi)帶電二維或三維仿真, 只是在近幾年才出現(xiàn)的, 得益于電荷輸運模擬軟件Geant4在航天器內(nèi)帶電中的應用[17,18].國外研究者嘗試用 SPIS (spacecraft plasma interaction software, SPIS)進行內(nèi)帶電三維仿真[19], 但缺乏技術方案和結果分析; 王松等[19]利用有限差分算法開發(fā)出一個三維計算工具, 用來仿真暴露在木星輻射帶的電路板及其未接地金屬走線的充電情況,結果表明, 三維仿真得到的充電電位要顯著大于一維情況的電位.秦曉剛[20]提出了用于介質(zhì)內(nèi)帶電數(shù)值模擬的 Geant4-RIC (radiation induced conductivity, RIC)仿真方案, 其采用的 RIC 模型的控制方程是三元偏微分方程組, 但RIC模型并不便于三維計算和工程應用; 中國科學院空間中心報道了關于介質(zhì)內(nèi)帶電的二維仿真結果[21], 但是由于更多關注的是電位分布結果, 并沒有針對電場分布特征進行深入研究.王松等[22]基于Geant4開發(fā)出實用工具 ATICS (assessment tool of internal charging for satellite, ATICS), 來分析三維介質(zhì)結構的電荷輸運問題.總之, 一維仿真終究只是得到內(nèi)帶電一般規(guī)律, 比如不同屏蔽厚度或者接地方式(正面接地、背面接地或者雙面接地)對充電結果的影響[23], 卻不能考慮復雜的幾何結構, 從而容易忽視非規(guī)則接地條件下充電最嚴重的關鍵點; 而已有的三維仿真沒能合理評估局部特殊結構的充電水平, 缺乏對局部電場畸變特征的探索研究.鑒于上述問題, 本文基于電荷守恒定律建立了內(nèi)帶電三維計算模型—CCL模型(charge conservation law, CCL), 該模型實現(xiàn)了內(nèi)帶電的三維數(shù)值仿真,能夠更加準確地考慮局部電場畸變特征, 并且比原有的RIC模型計算效率更高.

2 CCL模型

2.1 CCL模型的控制方程與邊界條件

由內(nèi)帶電機理分析可知, 內(nèi)部電荷沉積率Qj是電流源, 充電過程滿足電荷守恒定律.得到的CCL模型的控制方程為

式中Je是高能電子入射導致的電流密度, 滿足?·Je= ?Qj,J為介質(zhì)的傳導電流密度和位移電流密度之和,?是 Hamilton 算子,s和e分別是介質(zhì)的電導率和介電常數(shù),E是電場強度,Qj為介質(zhì)內(nèi)單位體積電荷沉積率(單位:A/m3), 可寫成關于空間位置的表達式Qj(x),x代表空間位置坐標.利用電場強度E是電位U的負梯度(即E=??U), 控制方程(1)式實際上是關于未知變量U的單變量方程, 表達式為

(2)式是內(nèi)帶電電位計算的時域三維表達式, 式中,電導率s受溫度、輻射劑量率和電場強度三個參數(shù)的影響, 又因為這三個參數(shù)都是空間位置的表達式, 因此可以將s寫成關于位置x和時間t的形式s(x,t).一維簡化模型的控制方程為

式中s'(x,t)是s(x,t)關于x的一階導數(shù).

已知控制方程, 還需結合特定的邊界條件來得到定解.對于航天器內(nèi)帶電, 通常只考慮絕緣邊界和接地邊界條件, 其表達式為

式中Sins和Sgrd分別代表絕緣邊界和接地邊界.此處接地代表航天器結構電位U0.由于U0僅是參考電位, 不影響電場強度的計算結果, 而且內(nèi)帶電主要考察電場強度來判斷是否發(fā)生介質(zhì)擊穿放電, 所以通常設置U0= 0.對于U0≠0 的情況, 只需要在得到的充電電位基礎上疊加U0, 而電場強度并不發(fā)生改變.邊界條件(4)式對應的一維形式為

其中xins為絕緣邊界點和xgrd接地邊界點.

綜上, CCL模型是關于電位的一元偏微分方程, 適用于求解一維到三維的時域或穩(wěn)態(tài)充電問題.總結內(nèi)帶電三維仿真方案, 如圖1所示, 圖中箭頭代表前因后果的關系.介質(zhì)的三維結構對電荷輸運和電場計算都產(chǎn)生影響.該圖僅代表固定溫度下的仿真方案.進一步考慮溫度對介質(zhì)電導率的影響, 可以分析不同溫度下和存在非均勻溫度分布情況下的充電規(guī)律.

2.2 CCL模型的一維數(shù)值解法

求解CCL模型的難點在于s不僅是溫度和輻射劑量率的函數(shù), 還會隨場強增大而增大, 而電導率的增大會增強電荷泄放, 從而限制場強的進一步增大, 也就是電導率與電場強度存在耦合.首先得到電導率分布為定值情況下的穩(wěn)態(tài)與瞬態(tài)解法, 然后提出迭代算法, 解耦電場強度與電導率, 從而得到完整解.

2.2.1 一維穩(wěn)態(tài)求解

充電平衡時, 控制方程為

對(6)式積分得到

于是

式中p(x)= ?σ′(x)/σ(x) ,q(x)= ?Qj(x)/σ(x),待定系數(shù)c0,c1由邊界條件得出.

以背面接地的平板模型為例, 結構如圖2所示.

圖2 背面接地的平板內(nèi)帶電模型Fig.2.Internal charging model of back grounded planar board.

得到的邊界條件為

對應得到

從而得到模型的定解, 式中d為平板厚度.

2.2.2 一維瞬態(tài)求解—時域有限差分算法

CCL模型的一維瞬態(tài)控制方程為

初始條件U(x, 0)= 0, 邊界條件為

與穩(wěn)態(tài)解不同, (11)式難以得到解析解, 于是采用時域有限差分算法進行求解.將求解區(qū)域在空間和時間上分別離散, 得到

以橫坐標為空間, 縱坐標為時間, 離散效果見圖3.

圖3 時域有限差分計算過程的空間與時間離散Fig.3.Mesh on space and time domain in the finite difference time domain method.

代入到控制方程(11)并適當化簡得到

以上是控制方程的差分格式, 在此基礎上結合邊界條件的離散結果

就得到一維瞬態(tài)求解方程, 將其寫成矩陣形式為

式中

2.2.3 解耦電場強度與電導率－提出迭代收斂算法

當電場強度超過107V/m時, 電導率會出現(xiàn)顯著增大, Adamec 和 Calderwood[24]通過考慮外加電場對載流子濃度和遷移率的影響, 理論推導出強電場作用下電導率公式, 根據(jù)此公式得到了電場強度對電導率的增大系數(shù), 如圖4所示, 其中縱坐標代表增大倍數(shù),sET(E,T)為電場強度E和溫度T影響下的電導率.從充電過程考慮, 電場強度增大使電導率增大, 而根據(jù)歐姆定律, 在一定的入射電流密度下, 電導率增大會使得電場強度降低.利用這種反饋機理, 提出一種迭代算法[25], 如圖5所示.圖示參數(shù)是迭代求解的關鍵參數(shù), 對于其余參量如介質(zhì)厚度和介電常數(shù)等, 在迭代過程中是不變的.

圖4 電導率的強電場效應圖示 (T= 293 K)Fig.4.Schema of conductivity enhance due to intense electric field (T= 293 K).

圖5 迭代算法流程圖Fig.5.Flowchart for the iterative algorithm.

假設在已知電導率分布s(x)情況下得到了CCL模型的解, 即上述穩(wěn)態(tài)或瞬態(tài)解法.起始狀態(tài)令電場強度E= 0, 得到固定的電導率分布s(x),根據(jù)CCL模型進行求解得到對應的電場強度, 然后用新得到的電場強度更新電導率, 并再次求解.終止條件判據(jù)并不一定是嚴格相等, 而是利用二者的相對誤差(2范數(shù)意義上)進行合理判定.對于一維模型, 終止條件設置為‖E1–E‖/‖E‖ < 0.001,即前后兩次迭代計算對應的電場強度以向量2-范數(shù)為度量的相對變化 < 0.001.因為電導率與電場強度正相關, 而且電導率增大會限制電場強度的進一步增大, 所以該迭代算法是收斂的, 從而解決了電場強度與電導率的耦合計算問題.

2.3 CCL模型的二維和三維求解方案

對于二維和三維的 CCL模型, 本文采用Comsol Multiphysics軟件進行求解.Comsol采用有限元方法進行求解, 在選中軟件網(wǎng)格剖分功能后, 可根據(jù)求解對象的結構來合理設置網(wǎng)格尺寸.合理的網(wǎng)格剖分不僅有助于提高計算效率, 而且是得到可靠結果的必要條件.從發(fā)表的文獻來看, 目前實現(xiàn)內(nèi)帶電三維仿真的相關報道極少.國外學者提到三維仿真的重要性[19], 但沒有給出完整的仿真方案; 由于電場強度是判斷是否發(fā)生介質(zhì)擊穿放電的重要參數(shù), 而且場強峰值一般出現(xiàn)在介質(zhì)結構的接地邊角的地方, 所以對于二維或三維模型, 需要特別注意峰值場強附近的網(wǎng)格剖分.圖6給出了 SADM (solar array drive mechanism, SADM)介質(zhì)盤環(huán)局部結構的仿真結果.由圖可得電場強度峰值出現(xiàn)在介質(zhì)結構與導體接觸的邊界點上, 該點處在接地面的邊緣, 是內(nèi)部沉積電荷最近的泄放點, 由于介質(zhì)和導體連接處局部電荷泄放路徑的不規(guī)則性, 使得該處存在電流密度匯集的“漏斗”效應, 容易導致電場畸變放大.利用這種網(wǎng)格加密處理, 使得本文的內(nèi)帶電三維仿真具有更加準確考察特殊邊界對充電結果影響的優(yōu)勢.

圖6 關鍵點處的網(wǎng)格加密和對應的電場分布Fig.6.Mesh refinement and the corresponding enlarged electric field.

圖7 基于 Comsol平臺的內(nèi)帶電三維求解圖示Fig.7.3-D computation of internal charging on the Comsol platform.

圖8 利用插值函數(shù)導入 Geant4 的計算結果 QjFig.8.Importing Qj of Geant4 into computation by interpolation function in Comsol.

利用Comsol中的插值函數(shù)將電荷沉積率Qj代入, 如圖8所示, 并作為內(nèi)帶電電流源進行計算; 同理可以代入輻射劑量率.計算過程涉及的環(huán)境溫度和材料參數(shù)可以通過全局變量進行合理設置.

雖然內(nèi)帶電計算中通常僅考慮兩類邊界條件,但是不同幾何模型的邊界存在較大差異.以SADM介質(zhì)盤環(huán)的局部結構為例, 其充電源與邊界設置如圖9所示, 源Qj作用到整個介質(zhì)區(qū)域, 而介質(zhì)與金屬板接觸的邊界才是接地邊界, 其余為絕緣邊界.在設置好輸入條件和邊界條件后, 進行求解.圖中所示 “study” 為求解模塊, 可選擇瞬態(tài)或穩(wěn)態(tài)求解方式.穩(wěn)態(tài)解對應于充電平衡下的結果,而瞬態(tài)解可考察充電過程.

3 CCL模型與RIC模型的對比分析

GR(generation and recombination, GR)模型與RIC模型曾被用來研究介質(zhì)內(nèi)電現(xiàn)象[20], 二者的對比分析結果表明RIC模型是GR模型的合理近似[26].本文將RIC模型與CCL模型進行對比分析.為不失一般性, 選擇一維充電情況, 首先在理論和數(shù)學表達式方面將CCL模型與RIC模型進行對比分析, 然后分別采用這兩類模型進行實例仿真分析.

RIC模型的一維時域模型為

式中函數(shù)Je(x)為高能電子入射導致的介質(zhì)內(nèi)部電流密度, 其余各參數(shù)為介電常數(shù)e、電荷遷移率μ、電荷俘獲時間t和陷阱密度rm.RIC模型由泊松方程、電荷守恒定律和陷阱電荷俘獲方程組成, 是自由電荷密度rf(x,t)、俘獲電荷密度rt(x,t)和電位U(利用變換E=??U)關于空間x與時間t的非線性偏微分方程組.初始條件為U=rf=rt=0, 參考(4)式可設置電位U的邊界條件, 例如背面接地情況下有考慮到與介質(zhì)接觸的金屬或真空中電荷密度均為0, 故rf和rt的左右邊界都為0.值得注意的是:雖然RIC模型是對GR模型在一定程度上的近似, 但仍保留了諸如t和rm等微觀參量.

圖9 內(nèi)帶電數(shù)值計算設置Fig.9.Configurations of internal charging numerical simulation.

CCL模型的一維形式為:

引入空間電荷密度r, 由高斯定理得

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與 RIC 模型對比可知, 當–r=rf+rt,s=μrf+sric時, (23)式與 (21)式中第 2 式是等價的.利用E=??U, 得到關于U的單變量方程

同樣地, 電位U初始值為0, 參考(5)式可得到模型的邊界條件.

RIC模型的控制方程((21)式)包含三個待求解變量, 而CCL模型的控制方程((1)式)只有U,其余變量如電場強度和空間電荷密度是U的關聯(lián)變量.在μ= 0,s=sric且充電平衡條件下 (導數(shù)項為0), (21)式的第2式與(23)式是相同的; 對于瞬態(tài)充電方程, 假設-r=rf+rt, 那么得到的方程亦是相同的.μ≠ 0 代表本征電導率不為 0, 于是在CCL模型中增加本征電導率對s的貢獻, 即s=sric+sET.對于航天器內(nèi)帶電計算, 一方面介質(zhì)材料對應的電荷俘獲時間t(秒量級)遠小于內(nèi)帶電充電時間(小時量級), 另一方面介質(zhì)內(nèi)陷阱密度rm遠大于充電平衡后介質(zhì)中的電荷密度, 因此rf會迅速轉(zhuǎn)化為rt, 也就是沒必要考慮RIC模型中的電荷俘獲機制, 此時滿足假設“–(rf+rt)與r對應”, 且μrf→0.可見, 在二者考慮相同電導率且充電時間遠大于電荷俘獲時間情況下, CCL模型與RIC模型可得到相同的內(nèi)帶電結果; 對于內(nèi)帶電三維仿真, 采用CCL模型更容易實現(xiàn)三維數(shù)值求解.

考慮地球同步軌道惡劣電子輻射環(huán)境(利用Flumic3模型[27]評估航天器內(nèi)帶電的惡劣充電環(huán)境), 對比CCL模型與RIC模型的內(nèi)帶電計算結果.一方面, 邊界條件設置為背面接地, 正面絕緣.綜合考慮輻射誘導電導率和本征電導率的影響.取sT= 3.73 × 10–15, 并在 RIC 模型中考察取值分別為μ= 0 和μ= 10–11, 其余參數(shù)t= 1s,rm=4.0 × 103C/m3[28], 得到介質(zhì)背面電位隨時間變化結果如圖10所示.該結果表明μ的取值從0直到10–11都對結果不產(chǎn)生明顯影響, 兩種模型得到的結果是非常一致的; 另一方面, 針對正面接地和介質(zhì)雙面接地情況做出對比.令RIC模型中μ= 0且二者取相同的s, 再次得到了一致的電位分布結果,如圖11所示.比較來看, 背面接地是充電最嚴重的情況, 這與前人得到的規(guī)律是一致的[20].

圖10 時域充電電位對比 (背面接地)Fig.10.Comparison of the charging potential in time domain.

圖11 正面與雙面接地情況下的電位對比Fig.11.Comparisons in cases of front &both surfaces grounding.

CCL模型與RIC模型的對比分析結果如表1所示.因為RIC模型額外考慮了電荷俘獲機理, 涉及到介質(zhì)中電荷輸運的多個微觀機制相關參數(shù), 導致RIC模型比CCL模型數(shù)學表達式更加復雜.又因為內(nèi)帶電評估只關心電位和電場強度, 當采用相同的介質(zhì)總電導率, 在充電時間遠大于電荷俘獲時間條件下, CCL模型與RIC模型得到的結果是一致的, 所以本文構建的內(nèi)帶電三維仿真方案具有計算效率更高的優(yōu)勢.

表1 CCL 模型與 RIC 模型對比分析Table 1.Comparison of CCL model and RIC model.

4 CCL模型仿真結果的實驗驗證

采用航天器內(nèi)帶電的典型介質(zhì)結構-電路板作為研究對象, 當考慮沿深度方向的充電結果時, 可以將其近似為一維充電模型.為便于測量介質(zhì)內(nèi)部電位或電場, 采用多層電路板試樣以得到深度方向的電位和電場分布.

4.1 實驗布局

多層電路板試樣如圖12所示, 該試樣是覆銅層與FR-4(環(huán)氧玻璃布層壓板)的疊合結構, 總厚度為 3 mm, 包含 8 個厚度為 9 μm 的覆銅層.第1層和第8層分別位于電路板的上、下表面, 其余沿厚度方向等間距分布.所有覆銅層均為圓形, 從而盡量避免尖端放電.對各覆銅層引出電極, 以便測試每層的充電電位.

電路板內(nèi)帶電實驗系統(tǒng)示意圖如圖13所示.電子加速器可產(chǎn)生能量 0.1 — 2.0 MeV、束流密度 0.1 —100 pA/cm2的電子束, 真空室為圓形 (直徑 150 cm, 高度 200 cm, 真空度優(yōu)于 1.0 × 10–4Pa),內(nèi)部放置樣品臺, 通過引出電極, 采用非接觸式表面電位計 (Trek 341B, 量程 0— ± 20 kV)測量電路板中各個金屬薄層的充電電位.實驗時, 高能電子束垂直入射電路板試樣.為準確限定電子對電路板的入射范圍, 將試樣放置在單面開口的金屬殼體中, 即圖12(b)所示, 殼體材料選用航天器常用的鋁合金材料, 不會造成次級輻射效應.

4.2 仿真與實驗結果的對比分析

圖12 電路板試樣與外殼結構示意圖Fig.12.Structure diagram of PCB sample and its crust.

圖13 電路板內(nèi)帶電實驗系統(tǒng)示意圖Fig.13.Diagram of the experiment system for PCB internal charging.

圖14 實驗與仿真結果的對比Fig.14.Comparison of charging results from experiment and numerical simulation.

沿深度方向取仿真結果與實驗數(shù)據(jù)進行對比,結果如圖14所示.從圖14(a)可知, 介質(zhì)正面 (x=0)保持0電位, 滿足正面接地的邊界條件.隨著深度增大, 充電電位(幅值)逐步增大, 到介質(zhì)背面達到電位峰值; 最大電位偏差出現(xiàn)在介質(zhì)背面, 即仿真峰值的–578 V 和實驗的–737 V, 考慮到材料電導率測試和束流密度監(jiān)測存在的誤差以及試樣制備精度等不確定因素, 該偏差在可接受范圍內(nèi).

雖然電位較好的一致性決定了電場強度不會發(fā)生太大的偏差, 但是僅對比電位分布仍然是不充分的.這不僅是因為內(nèi)帶電更關注電場強度的大小以判斷是否發(fā)生介質(zhì)擊穿放電, 而且從電場分布可以更加清楚地看出內(nèi)部覆銅層對充電的影響.產(chǎn)生的局部電場畸變?nèi)鐖D14(b)所示, 由于覆銅層導致電荷輸運結果的局部波動, 最終形成局部電場畸變.除去畸變值, 場強峰值出現(xiàn)在接地邊界, 這與先前的研究結果是一致的.總體來講, 實驗與仿真的充電規(guī)律是相同的, 得到的電位和電場結果是十分接近的, 這驗證了仿真模型的正確性.

5 結 論

本文基于電荷守恒定律建立了內(nèi)帶電三維計算模型(CCL模型), 給出了該模型的一維穩(wěn)態(tài)和瞬態(tài)求解算法及二維和三維求解方案, 將它與先前的RIC模型進行了對比分析, 并從實驗上驗證了仿真結果的正確性.

由于內(nèi)帶電時間常數(shù)遠大于電荷俘獲時間且介質(zhì)內(nèi)陷阱密度遠大于充電平衡后的電荷密度, 導致自由電荷會迅速轉(zhuǎn)化為被俘獲電荷, 從而沒必要考慮RIC模型中的電荷俘獲機制; 采用CCL模型可以實現(xiàn)內(nèi)帶電評估, 且具有更高的計算效率.利用具體算例證實了該結論.此外, 借助有限元局部網(wǎng)格加密處理, CCL模型具有更加準確刻畫局部場強畸變的優(yōu)勢.