郝未倩 梁忠誠 ? 劉肖堯 趙瑞 孔梅梅 關建飛 張月

1) (南京郵電大學電子與光學工程學院, 南京 210023)

2) (中國空間技術研究院北京空間機電研究所, 北京 100094)

根據(jù)分形的自相似性理論提出一種分形稀疏孔徑陣列結(jié)構(gòu).該陣列是以Golay-3為分形結(jié)構(gòu)單元, 按自相似方式擴展構(gòu)成的一種多層分形陣列結(jié)構(gòu).采用無量綱約化參數(shù)對其結(jié)構(gòu)進行表征, 給出光瞳函數(shù)和調(diào)制傳遞函數(shù)解析表達式.通過數(shù)值計算分形結(jié)構(gòu)在不同填充因子和不同外層旋轉(zhuǎn)角下的調(diào)制傳遞函數(shù)、實際截止頻率和中頻特性, 比較分析了當孔徑數(shù)分別為 N= 3, N= 9, N= 18 陣列的 MTF 及特性參數(shù).結(jié)果表明,當填充因子為 0.0952

1 引 言

空間遙感對于高分辨率圖像的要求不斷提高.對于單孔徑(主鏡)望遠鏡而言, 越高的空間分辨率需要越大的孔徑[1?3].光學系統(tǒng)的角分辨率d正比于工作波長l與入瞳口徑D之比[4], 增大光學系統(tǒng)的孔徑是提高空間分辨率的傳統(tǒng)方法.但是光學系統(tǒng)的重量、體積和制造檢測的難度, 也會隨著口徑的急劇增大而無法承受[4,5].于是綜合孔徑成像技術應運而生[6].綜合孔徑成像又稱稀疏孔徑成像, 它通過多個子孔徑光學系統(tǒng)的合理排布, 以達到增加系統(tǒng)孔徑、提高成像質(zhì)量的目的.由于子鏡系統(tǒng)的體積和重量相對較小, 綜合系統(tǒng)的制造和檢測難度也相應降低[7,8].因為稀疏孔徑成像有較大的中頻損失, 所以子鏡陣列結(jié)構(gòu)的優(yōu)化設計和中頻補償是綜合孔徑成像系統(tǒng)的關鍵技術之一[9?11].

1971年, Golay[12]最先提出一種稀疏孔徑結(jié)構(gòu), Golay結(jié)構(gòu)因有較高緊密性和較小冗余度而被廣泛應用.1988年, Cornwell[13]對二維圓周陣列進行優(yōu)化, 給出3—12個子孔徑在圓周上最優(yōu)的無冗余布局.目前, 國際上在陣列結(jié)構(gòu)優(yōu)化和中頻補償方面已有廣泛的研究[14,15].國內(nèi)對稀疏孔徑成像也有較多的研究.蘇州大學曾提出了一種復合三子鏡稀疏孔徑結(jié)構(gòu)[16].北京工業(yè)大學提出一種建立在典型光學稀疏孔徑陣型基礎上的復合孔徑陣列結(jié)構(gòu)[3,17].北京航天航空大學在均勻圓周陣列的基礎上提出一種多圓周陣列的稀疏孔徑結(jié)構(gòu)[18,19].此外, 北京航天航空大學[20,21]、南京理工大學[22]、中國科學院西安精密研究所[10]和本課題組[23]都陸續(xù)對稀疏孔徑系統(tǒng)進行了優(yōu)化和仿真成像分析[24].

分形是具有自相似性、無標度性和自仿射性的一類結(jié)構(gòu)[25].典型的分形如康托集、柯赫曲線和皮亞諾曲線.分形結(jié)構(gòu)通常在不同尺度上有著某種自相似的性質(zhì), 也就是局部形態(tài)和整體形態(tài)的相似.根據(jù)分形結(jié)構(gòu)的自相似和多尺度特點, 本文提出一種基于分形結(jié)構(gòu)的稀疏孔徑陣列, 用于綜合孔徑成像系統(tǒng), 并分析此陣列結(jié)構(gòu)的性能指標.

2 分形結(jié)構(gòu)陣列

本節(jié)給出一種基于Golay-3為單元的分形結(jié)構(gòu)陣列的設計分案.Golay-3是一種最小的非冗余稀疏孔徑結(jié)構(gòu), 其子孔徑圓心位于正三角形頂點,正三角形邊長D是該結(jié)構(gòu)的特征長度.特征長度的層層遞增可以構(gòu)成自相似結(jié)構(gòu), 達到擴展陣列口徑的目的.設陣列結(jié)構(gòu)的層數(shù)為n,D1,D2,D3,···,Dn分別為各層的特征長度, 其中D1稱為分形單元基線.從第二層開始, 各層正三角形中心均位于同一點.在各層三角形頂點處均放置一個分形單元依次層層嵌套, 向外拓展.分形陣列結(jié)構(gòu)層數(shù)n與子孔徑總數(shù)N遞推關系為

在圖1 中,R1,R2,R3,···,Rn分別為各層外接圓半徑, 子孔徑直徑為D0, 各層外接圓半徑與特征長度的關系由(2)式給出.

圖1 分形陣列結(jié)構(gòu)Fig.1.Fractal array configuration.

考慮各層方位的相對變化情況, 第n層相對于X軸的旋轉(zhuǎn)角稱為n層旋轉(zhuǎn)角θn.本文考慮n=3,θ1=0,θ2=0,θ3=θ的 情 況, 通 過 改 變D1,D2,D3的大小及第三層旋轉(zhuǎn)角θ3=θ, 分析其結(jié)構(gòu)和性能特征.為了保證旋轉(zhuǎn)時各層子孔徑不重疊, 對特征長度做如下約束:

此時, 孔徑的光瞳結(jié)構(gòu)如圖1所示, 光瞳函數(shù)可以表示為

其中circ()為圓函數(shù), *表示卷積.

為了使得計算結(jié)果具有普適性, 現(xiàn)以D1為單位將特征長度無量綱化, 得到以下約化參數(shù)

n=3時, 獨立的特征長度有 4 個 (D0?D3) , 約化后的特征長度有3個 (d0,d2,d3).在(3)式的約束下, 獨立的特征長度僅剩下一個d0, 且取值范圍為0

該分形結(jié)構(gòu)陣列的幾何特征包括填充因子和包圍圓半徑.填充因子F定義為稀疏孔徑通光面積(子孔徑通光面積之和)與包圍孔徑面積的比值.下式是n=3 時的填充因子表達式

由此可知, 填充因子的改變僅由子孔徑直徑d0決定.當d0=1 時, 填充因子達到最大值

圖2(a)是子孔徑直徑d0與填充因子F的關系圖.由圖可見, 隨著d0的增大, 填充因子F單調(diào)增大.

在(2)式約束條件下分形陣列結(jié)構(gòu)的包圍圓半徑Rn與d0的關系為

圖2(b)是包圍圓半徑與層數(shù)n的關系.如果取消(2)式的限制, 系統(tǒng)口徑將隨著層數(shù)的增加而迅速增加.

3 分形結(jié)構(gòu)成像特性研究

3.1 調(diào)制傳遞函數(shù)

設稀疏孔徑系統(tǒng)每一個子孔徑均為無遮攔圓形光瞳, 則任意結(jié)構(gòu)的調(diào)制傳遞函數(shù)(modulation transfer function, MTF) 為[4]

式中 M TFd為與子孔徑相同大小的單孔徑非衍射受限系統(tǒng)的MTF, 表達式為

式中 (xj?xk,yj?yk) 表示子孔徑的相對位置.顯然, 稀疏孔徑的MTF由子調(diào)制傳遞函數(shù)分布在二維頻率域內(nèi)的不同位置決定, 子孔徑中心點陣的二維相關點陣決定二維頻率點的位置.故可以調(diào)節(jié)子孔徑的相對位置, 使之達到實際使用時對傳遞函數(shù)的要求.填充因子F取22.46%時, 分形結(jié)構(gòu)對應的MTF如圖3.從圖中可知, 與全孔徑系統(tǒng)相比,分形陣列結(jié)構(gòu)的MTF的旁瓣增多, 中高頻區(qū)域有很大的衰減.其MTF總體上呈六角邊形分布, 在60°的整數(shù)倍方向取到最大截止頻率.

圖2 結(jié)構(gòu)特征 (a)子孔徑直徑與填充因子曲線圖; (b)結(jié)構(gòu)層數(shù)與包圍圓半徑關系Fig.2.Configuration characteristics:(a) Sub-aperture diameter and fill factor curve; (b) the relationship of the number of fractal configuration and the radius of aperture.

圖3 分形陣列 MTF(F= 22.46%) (a)三維 MTF; (b) MTF 俯視圖Fig.3.MTF of fractal array (F= 22.46%):(a) There-dimensional MTF; (b) top-view MTF.

3.2 子孔徑直徑變化對MTF的影響

采用無量綱方法將孔徑參數(shù)約化后, 子孔徑直徑d0的變化通過填充因子F(d0) 表現(xiàn)出來.一般的稀疏孔徑結(jié)構(gòu)多采用較大的填充因子, 以實現(xiàn)沒有零點和提高中頻特性.圖4給出分形結(jié)構(gòu)隨填充因子變化的MTF曲線, 圖4(a)為沿fx的歸一化截止空間頻率, 圖4(b)為沿fy的歸一化截止空間頻率.當d0=0.5 時, MTF 低頻部分有很大起伏, 且在 0.52 附近出現(xiàn)零點.當d0>0.5 時, MTF 曲線平緩且連續(xù), 有較好的中頻特性, 是分形結(jié)構(gòu)特點的反映.雖然分形結(jié)構(gòu)填充因子的改變會導致MTF 曲線發(fā)生變化, 但在 0.5

實際截止頻率ρR為MTF第一次出現(xiàn)零值時所對應的空間頻率.在陣列設計時, 應盡可能地最大化ρR, 使其接近包圍圓所確定的截止頻率[4].

中頻特性 M TFmidfreq定義為子孔徑截止頻率和包圍圓孔徑截止頻率范圍內(nèi)MTF的平均值, 表征綜合孔徑系統(tǒng)在中高頻區(qū)域內(nèi)的響應能力.高分辨成像系統(tǒng)要求具有很好的MTF中高頻特性.計算公式如下[11]:

由表1可見, 當填充因子為0.0952時其實際截止頻率較低, MTF 起伏較大, 中頻特性較差.隨著填充因子的增大, 系統(tǒng)實際截止頻率增大, 且在一定數(shù)值范圍內(nèi)波動, 體現(xiàn)了分形陣列結(jié)構(gòu)的自相似特征.填充因子的降低并沒有明顯改變MTF曲線波動和實際截止頻率, 在實際應用中, 可以選取較小的填充因子來降低制造難度.

表1 分形陣列在不同填充因子下的特性指標Table 1.Characteristics of fractal array with different fill factors.

圖4 分形結(jié)構(gòu)隨填充因子變化MTF曲線 (a)沿fx歸一化頻率方向; (b)沿fy歸一化頻率方向Fig.4.MTF curves of fractal array with different fill factor:(a) Normalized frequency along fx - axis; (b) normalized frequency along fy - axis.

3.3 外層旋轉(zhuǎn)角對MTF的影響

當θ1=0,θ2=0 時, 第三層旋轉(zhuǎn)角θ3=θ稱為外層旋轉(zhuǎn).外層旋轉(zhuǎn)角度的變化會對MTF出現(xiàn)周期性影響, 變化周期為 π /3.取d0=1 的情況.圖5為分形孔徑陣列外環(huán)分別旋轉(zhuǎn) 0°, 15°, 30°和 45°時, 旋轉(zhuǎn)前后 MTF 沿fx和fy方向的截面圖.稀疏孔徑系統(tǒng)的MTF隨空間頻率的增大在中低頻部分下降比較快, 在中高頻比較平坦, 但有適當起伏;在fx和fy方向, 分形結(jié)構(gòu)MTF在截止頻率內(nèi)無零點, 且比較平緩.外層旋轉(zhuǎn)會導致系統(tǒng)的MTF沿不同方向的分布產(chǎn)生變化.

圖6給出實際截止頻率隨外層旋轉(zhuǎn)角的變化曲線.此時子孔徑直徑d0=1 , 填充因子為22.46%.可以看出, 隨著外環(huán)旋轉(zhuǎn), 系統(tǒng)實際截止頻率雖有下降趨勢, 但總體沒有太大變化, 影響甚小.總之,外層旋轉(zhuǎn)對MTF和實際截止頻率的影響不是很大.

圖5 分形陣列隨外環(huán)旋轉(zhuǎn)角度變化 MTF 曲線 (a)沿fx歸一化頻率方向; (b)沿fy歸一化頻率方向Fig.5.MTF curves of fractal array with different outer layer rotational angles:(a) Normalized frequency along fx - axis; (b) normalized frequency along fy - axis.

圖6 實際截止頻率隨外層旋轉(zhuǎn)角的變化曲線Fig.6.The curve of the practical frequency with outer layer rotational angles.

3.4 自相似結(jié)構(gòu)效應

為了進一步分析自相似結(jié)構(gòu)效應, 對N= 3,N= 9,N= 18 時的陣列進行比較,N= 3,N=9時陣列結(jié)構(gòu)如圖7所示.采用填充因子F=0.2246的情況, 三種陣列的MTF曲線如圖8所示.在歸一化頻率fx方向,N= 3時分形陣列結(jié)構(gòu)在歸一化頻率為0.28處出現(xiàn)零值,N= 9時分形陣列結(jié)構(gòu)在0.31處出現(xiàn)一個低谷.在整個頻率范圍內(nèi)有較大波動, 隨頻率呈起伏式下降.N= 18 時結(jié)構(gòu)MTF曲線平緩且截止頻率高, 在MTF截止頻率范圍內(nèi)沒有零點.在歸一化頻率fy方向,N= 3,N= 9時結(jié)構(gòu)的MTF曲線差別不大, 出現(xiàn)較多的頻率缺失.N= 18時結(jié)構(gòu)的MTF有些起伏但在中高頻趨于平穩(wěn), 在0.64處趨于零值.

由實際截止頻率定義和(11)式計算分析可得3 種陣列的特性指數(shù), 如表2 所示.N= 3,N=9時陣列結(jié)構(gòu)實際截止空間頻率很低.綜合分析三種陣列結(jié)構(gòu)的特性指數(shù), 在F不變的條件下, 隨著分形陣列結(jié)構(gòu)孔徑數(shù)的增加, 實際截止頻率和中頻特性數(shù)值都顯著增加.在相同的填充因子情況下,增加子孔徑數(shù)可以改善中高頻平穩(wěn)性, 提高系統(tǒng)的實際截止頻率.

圖7 N= 3, N= 9 陣列結(jié)構(gòu)Fig.7.N= 3, N= 9 array configuration.

圖8 3 種陣列的 MTF 曲線 (F= 22.46%) (a)沿 fx歸一化頻率方向; (b)沿 fy歸一化頻率方向Fig.8.MTF curves of three kinds of array configuration (F= 22.46%):(a) Normalized frequency along fx - axis; (b) normalized frequency along fy - axis.

表2 3 種陣列的特性指數(shù)Table 2.Characteristics of three kinds of array configuration.

4 結(jié) 論

本文利用分形自相似性, 研究了一種以Golay-3結(jié)構(gòu)為單元的分形綜合孔徑陣列.給出子孔徑直徑d0與MTF曲線的關系, 計算了實際截止頻率和中頻特性.在 0.5