李涵

摘要：中心差分法、紐馬克法、威爾遜-法是結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)中常用的三種方法，為了系統(tǒng)的比較其優(yōu)缺性，本文針對(duì)一個(gè)雙自由度的體系，首先根據(jù)已知條件計(jì)算出振動(dòng)微分方程，運(yùn)用Matlab計(jì)算出可求出12個(gè)步長(zhǎng)內(nèi)相應(yīng)的位移值，即精確解。然后分別運(yùn)用中心差分法，紐馬克法，威爾遜-法求出其近似解;最后通過(guò)三種方法的近似解與精確解相對(duì)比，進(jìn)而分析出三種計(jì)算方法的優(yōu)缺性，為結(jié)構(gòu)動(dòng)力計(jì)算提供依據(jù)。

關(guān)鍵詞：動(dòng)力計(jì)算、中心差分法、紐馬克法、威爾遜-法

1、動(dòng)力體系概況

2、精確解推導(dǎo)

針對(duì)該雙自由度體系，理論推導(dǎo)出系統(tǒng)的位移表達(dá)式，通過(guò)代入各時(shí)刻周期得出位移在各時(shí)刻的具體數(shù)值，即位移精確解。

對(duì)位移方程求一階導(dǎo)數(shù)得出速度方程，求二階導(dǎo)數(shù)求出加速度方程。代入各時(shí)刻的周期值，通過(guò)Matlab計(jì)算得出位移、速度、加速度的數(shù)值如下：

3、三種數(shù)值計(jì)算方法

3.1、中心差分法

中心差分法是基于用有限差分代替位移對(duì)時(shí)間的求導(dǎo)，對(duì)位移一階求導(dǎo)得到速度，對(duì)位移二階求導(dǎo)得加速度。通過(guò)Matlab計(jì)算出前4個(gè)步長(zhǎng)所對(duì)應(yīng)的位移響應(yīng)。

3.2、紐馬克法

紐馬克-β法是一種將線(xiàn)性加速度方法普遍化的方法。通過(guò)Matlab計(jì)算出前4個(gè)步長(zhǎng)所對(duì)應(yīng)的位移響應(yīng)。

3.3威爾遜-法

通過(guò)Matlab計(jì)算出前4個(gè)步長(zhǎng)所對(duì)應(yīng)的位移響應(yīng)。

4、近似解與精確解對(duì)比分析

從上述結(jié)構(gòu)的位移、速度、加速度可以看出，三種方法都能大致表示該體系大體運(yùn)動(dòng)趨勢(shì)，并且誤差較小。其中，在描述物體位移時(shí)，中心差分法較后兩種方法更為精確。然而在描述速度和加速度時(shí)，中心差分法表現(xiàn)出了較大的誤差，而紐馬克和威爾遜法則能更詳盡的表征物體速度和加速度。

5、結(jié)論

中心差分法、紐馬克法和威爾遜-θ法均是結(jié)構(gòu)動(dòng)力計(jì)算中的常用方法。本文針對(duì)具體的計(jì)算實(shí)例，分別計(jì)算出三種方法的動(dòng)力響應(yīng)結(jié)果，并與精確解進(jìn)行對(duì)比。經(jīng)過(guò)分析，中心差分法能更精確的表示物體位移響應(yīng)，而紐馬克和威爾遜法在表征物體速度和加速度方面相較于中心差分法更為精確，三種方法，各有其優(yōu)缺點(diǎn)，應(yīng)視具體情況采用相應(yīng)的計(jì)算方法。

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