陳國慧

(海南師范大學 數學與統(tǒng)計學院, 海南 ?？?571158)

0 引 言

二階線性遞推數列和式的計算問題在數學的理論學習及科研應用中占有十分重要的位置,引發(fā)了不少數學家的重視和興趣,并取得了很多有意義的研究成果[1-4]。其中,Fibonacci數列和Lucas數列在一些著名數論問題的研究中有著重要的應用,有關其各類性質的研究也是近年的熱點問題[5-6]。Duncan[7]和Kuipers[8]研究了關于Fibonacci數的均勻分布及其應用；Zhang等[9-10]研究了Fibonacci多項式的性質,并證明了一系列包含F(xiàn)ibonacci多項式，F(xiàn)ibonacci數及Lucas數的恒等式。Ma等[11]利用xn所定義的Chebyshev 多項式的表達式給出了Fibonacci數和Lucas數的相關恒等式。Wang等[12]探討了Fibonacci多項式及Lucas多形式的冪和,獲得了不少有趣的等式,并用所得結果對Melham所提出猜想[13]的驗證做了進一步推進。其他關于Fibonacci的研究結果參見文獻[14-16]。Chen[17],LYU[18-19]，Wang[20]及Song[21]等關于Chebyshev多項式及其應用也給出了眾多結果。

這就是著名的Fibonacci數列及Lucas數列。

Xn=Ln(x)=αn(x)+βn(x)

分別為Fibonacci多項式及Lucas多項式。

本文主要討論對和式

(1)

的計算問題, 其中k∈N+,n∈N,求和號表示對所有滿足方程a1+a2+…+ak=n的非負整數組 (a1,a2,…,ak)求和。

關于式(1)的求和問題,尚未見到研究,主要原因可能在于這類數列的生成函數中沒有階乘,因而只考慮不帶階乘的其他形式。事實上如果A=B=1, 那么這類數列的生成函數形式非常簡單,即

然而,隨著Xn取值的變化,式(1)包含一系列不同形式的數列或多項式。從而，可以獲得許多數列或多項式的新的恒等式。因此，式(1)的計算問題是有意義的。

1 主要結果

利用初等方法以及指數函數的冪級數展開的唯一性研究了式(1)的計算問題,并給出具體的計算公式。為方便闡述,假定在Xn表達式中取A=B=1，則有如下的結果：

定理1設n∈N+,對任意正奇整數k, 有恒等式

定理2設n∈N+,對任意偶數2h, 有恒等式

可以推出關于Lucas數的恒等式：

推論1設n∈N+,對任意正奇整數k及m∈N+, 有恒等式

推論2設n∈N+,對任意正偶數k及m∈N+, 有恒等式

推論3設n∈N+,對任意正奇整數k及m∈N+, 有恒等式

推論4設n∈N+,對任意正偶數k=2h及m∈N+, 有恒等式

特別當k=3,m=1時,注意到L1=1及T1(x)=2x, 有如下推論:

推論5?n∈N+,有恒等式

推論6?n∈N+,有恒等式

當h=2,m=1時,注意到L1=1及T1(x)=2x, 得到下述推論:

推論7?n∈N+,有恒等式

推論8?n∈N+,有恒等式

2 定理的證明

2.1定理1的證明

由二項式定理可知,當k為奇數時，有

(2)

(3)

另一方面,注意到恒等式

則有

(4)

應用式(3)及式(4)并比較冪級數的系數可得

于是定理1得證。

2.2 定理2的證明

如果k是偶數,不妨設k=2h, 那么由二項式定理有恒等式

(5)

應用式(5)以及定理1的證明方法，易推出恒等式

于是定理2得證。