◎ 張 琦 馮軼騁

單元教學(xué)設(shè)計，就是要在整體思維指導(dǎo)下，以整體性的視野來整合資源、設(shè)計教學(xué)，突出數(shù)學(xué)內(nèi)容的主線以及知識之間的相互關(guān)聯(lián)。其目標(biāo)指向發(fā)展數(shù)學(xué)思維，提升核心素養(yǎng)。

“三角形的面積”在滬教版小學(xué)數(shù)學(xué)教材中是五年級第一學(xué)期的教學(xué)內(nèi)容，屬于“圖形與幾何”板塊（見圖1），而在上海市實(shí)驗學(xué)校數(shù)學(xué)課程中放在了三年級第二學(xué)期（見圖2）。課程設(shè)置的單元結(jié)構(gòu)大致相同，只是滬教版教材的平行四邊形、梯形的圖形認(rèn)識及其相關(guān)知識是放在同一單元內(nèi)集中研究的，而我校課程分散到了三年級第一學(xué)期和第二學(xué)期。三年級第一學(xué)期除了圖形的認(rèn)識，還增設(shè)了三角形與四邊形的轉(zhuǎn)化及四邊形與特殊四邊形的轉(zhuǎn)化；三年級第二學(xué)期在學(xué)習(xí)圖形面積之前還有一個單元集中學(xué)習(xí)作圖，其中包括運(yùn)用尺規(guī)作角的加減，作平行四邊形、三角形等，以及運(yùn)用三角尺作平行四邊形和三角形的高線。

圖1滬教版五年級數(shù)學(xué)教材對應(yīng)內(nèi)容

圖2上海市實(shí)驗學(xué)校三年級數(shù)學(xué)課程對應(yīng)內(nèi)容

一、課前思考

（一）教材的編排體系分析

從這個單元的編排體系來看，共有三種圖形面積計算公式的探究，以及組合圖形面積計算，其核心思想是“轉(zhuǎn)化”，將新圖形轉(zhuǎn)化為已知面積計算公式的圖形。在這里，三角形面積計算公式的推導(dǎo)具有承上啟下的作用，承上是受平行四邊形面積研究的啟發(fā)，盡管“沿高剪開”的方式不能完全照搬，但轉(zhuǎn)化的思想還是可以借鑒的，并且這些轉(zhuǎn)化的方法又可以運(yùn)用于梯形面積公式的推導(dǎo)以及組合圖形的面積計算當(dāng)中。

平行四邊形面積公式推導(dǎo)時一般只用一種思路——轉(zhuǎn)化成長方形，隨著已知面積計算公式的圖形不斷增加，轉(zhuǎn)化方法也越來越多，因此面積公式推導(dǎo)的環(huán)節(jié)是培養(yǎng)學(xué)生圖形思維很好的素材，其中方法的多樣化也是本節(jié)課要鼓勵嘗試的。

（二）學(xué)生的認(rèn)知起點(diǎn)分析

1.從知識結(jié)構(gòu)來看

在學(xué)習(xí)三角形面積之前，學(xué)生已經(jīng)認(rèn)識了平行四邊形及其特征，不僅對邊平行，而且對邊相等，并嘗試用兩組長度相等的小棒來圍平行四邊形，這其實(shí)都是為兩個大小、形狀完全相同的三角形拼出的圖形為什么是一個平行四邊形的說理提供了依據(jù)。

學(xué)生清晰地知道三角形有三組對應(yīng)的底和高，這為三角形面積計算時尋找對應(yīng)的底和高奠定了基礎(chǔ)。學(xué)生已通過平行四邊形面積公式的推導(dǎo)過程，初步了解轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法，并且通過分別沿兩條底邊上的高剪開進(jìn)行割補(bǔ)滲透對應(yīng)意識，如圖3所示。

圖3平行四邊形面積公式推導(dǎo)

在滬教版教材中，學(xué)生具有將平行四邊形沿對角線剪開得到兩個大小形狀完全相同的三角形的經(jīng)驗。在我校課程中，安排了三角形和四邊形的轉(zhuǎn)化，學(xué)生理解兩個大小、形狀完全相同的三角形可以拼成一個平行四邊形，并進(jìn)行了分類討論，這也是本節(jié)課的探究起點(diǎn)。

2.從學(xué)生學(xué)習(xí)的實(shí)際情況來看

憑借以往的教學(xué)經(jīng)驗，我們相信我校三年級的大部分學(xué)生對于三角形面積計算公式應(yīng)該不會陌生，通過自主預(yù)習(xí)、家長輔導(dǎo)，或是課外學(xué)習(xí)等途徑，多少會有一些了解，但是否真正掌握其推導(dǎo)過程、掌握到什么程度，還不能確定，因此我們在學(xué)習(xí)了平行四邊形面積公式（第一課時）之后對學(xué)生進(jìn)行了前測。數(shù)據(jù)顯示有90.3%的學(xué)生已經(jīng)掌握了三角形面積的計算方法，其中有80.6%的學(xué)生能用畫圖的方式表達(dá)其推導(dǎo)過程。學(xué)生推導(dǎo)方法基本集中為兩種：有36%的學(xué)生用兩個完全相同的三角形拼成一個平行四邊形；剩下64%的學(xué)生將一個三角形沿高剪開和另一個完全相同的三角形拼成一個長方形。沒有學(xué)生用到將一個三角形剪拼成長方形或平行四邊形的方法。

深入分析，第一種方法源于學(xué)生已有三角形與平行四邊形轉(zhuǎn)化的經(jīng)驗；第二種方法源于平行四邊形面積探究時沿高剪開轉(zhuǎn)化成長方形的思路。對于第三種方法，由于缺乏經(jīng)驗支持，所以沒有學(xué)生涉及，這也提醒我們?nèi)绻Ｍ麑W(xué)生在自主探究中能在這一方面有所突破，還需要提供適當(dāng)?shù)匿亯|或啟發(fā)。數(shù)據(jù)的支持為我們的教學(xué)設(shè)計提供了依據(jù)。

二、教學(xué)設(shè)想

基于對教材的單元編排體系的分析和對學(xué)生認(rèn)知起點(diǎn)的分析，我們厘清教學(xué)思路，確定教學(xué)目標(biāo)及教學(xué)重難點(diǎn)，并選擇合適的教學(xué)方法和教學(xué)策略。

（一）厘清教學(xué)思路

1.“兩個三角形拼”和“一個三角形剪拼”兼顧

在備課之前，筆者參考了不少文獻(xiàn)及各版本教材，除了浙教版教材是把“出入相補(bǔ)”原理作為探究內(nèi)容之外，大部分教材和案例都是將其作為一種知識拓展、知識欣賞加以了解的，但這一方法的運(yùn)用其實(shí)是為梯形轉(zhuǎn)化、組合圖形轉(zhuǎn)化開啟了大門，方法會更加多樣，思路會更加開拓?；诖?，我們確定將一個三角形的剪拼也納入教學(xué)要求當(dāng)中，希望學(xué)生在適當(dāng)材料的引導(dǎo)下，在小組合作分享的交流中受到啟發(fā)，對這一方法進(jìn)行摹仿和創(chuàng)新。

2.以三角形任何一邊都可以作底的研究取代三角形分類討論

根據(jù)我校課程的編排體系，學(xué)生在三年級第一學(xué)期已經(jīng)通過操作，對三類三角形拼平行四邊形進(jìn)行了分類討論，通過“完全歸納”得到“任意兩個大小、形狀完全相同的三角形都可以拼成一個平行四邊形”的結(jié)論，所以在這里筆者認(rèn)為把兩個完全相同的銳角三角形拼成平行四邊形的做法具有一般性，與其他兩類三角形拼成平行四邊形的過程一樣，結(jié)果也一樣，所以在喚醒學(xué)生認(rèn)知之后沒有必要再進(jìn)行分類討論。

真正值得關(guān)注的問題應(yīng)該是兩個三角形拼成平行四邊形會有三種拼法，即三角形的任意一條邊，都能作為所拼成的平行四邊形的底，所以在計算三角形的面積時，任意一條邊都能作為底，并且都能找到它對應(yīng)的高，雖然所選的底和高在變，但面積始終不變，在此也凸顯了變與不變的思想?；谶@一點(diǎn)，在給學(xué)生提供的三角形紙片上就應(yīng)該用不同顏色來標(biāo)注三角形的三條邊，便于學(xué)生觀察感知，滲透對應(yīng)思想。

（二）確定教學(xué)目標(biāo)及重難點(diǎn)

1.教學(xué)目標(biāo)

（1）通過利用方格、剪拼等方法，經(jīng)歷三角形的面積計算公式的推導(dǎo)過程。

（2）能運(yùn)用三角形面積公式直接進(jìn)行面積計算；在不同的具體圖形中理解三角形的底及對應(yīng)的高的變與不變，并能靈活運(yùn)用公式。

（3）在探究和交流中，嘗試觀察、操作、猜想、發(fā)現(xiàn)、驗證、歸納等多種數(shù)學(xué)活動，體驗并感悟“轉(zhuǎn)化”的思想方法，感受不同方法的各自特點(diǎn)。

（4）在獨(dú)立探究與合作分享中，獲得成功體驗，激發(fā)學(xué)習(xí)興趣，了解數(shù)學(xué)文化，感受民族精神。

2.教學(xué)重難點(diǎn)

（1）教學(xué)重點(diǎn)：探索三角形的面積計算方法，能計算三角形的面積。

（2）教學(xué)難點(diǎn)：通過探究三角形的面積公式，感受“轉(zhuǎn)化”思想。

（三）選擇教學(xué)策略與方法

“轉(zhuǎn)化”是本節(jié)課的重要思想方法，在學(xué)習(xí)活動中，學(xué)生會經(jīng)歷“猜想—探究—發(fā)現(xiàn)—驗證—結(jié)論”等一系列思維活動的過程。

1.自主探究，培養(yǎng)創(chuàng)新能力

在這堂課上，我們采用的是放手讓學(xué)生自主探究的方法。這樣的嘗試，相信對于獨(dú)立探究成功的學(xué)生來說，創(chuàng)新體驗較為強(qiáng)烈，當(dāng)然也存在課不太好把控、隨機(jī)性較大的問題。為了讓學(xué)生在已有認(rèn)知基礎(chǔ)上有所突破，我們在探究材料的準(zhǔn)備方面，略作了一些設(shè)計。

（1）給學(xué)生提供的材料不僅有三角形紙片、剪刀，還有水彩筆，希望有部分孩子的操作不僅是剪、拼，還能以畫草圖的方式呈現(xiàn)，從而發(fā)展空間想象能力。

（2）為了使學(xué)生能夠自己想到一個三角形剪拼的方法，我們在給學(xué)生的三角形紙片上印了淡淡的方格，希望數(shù)方格的方法會遷移到剪拼當(dāng)中，打開思維。

2. 梳理歸納，構(gòu)建認(rèn)知結(jié)構(gòu)

這堂課學(xué)生呈現(xiàn)出來的方法很多，對應(yīng)的公式也很多，需要對其進(jìn)行梳理歸納，才能更好地幫助學(xué)生建立認(rèn)知結(jié)構(gòu)，從而也讓學(xué)生在學(xué)習(xí)中逐步形成主動建構(gòu)的意識，并為后面探究時的有序架構(gòu)打下基礎(chǔ)。

三、教學(xué)實(shí)踐

（一）情境導(dǎo)入，再現(xiàn)轉(zhuǎn)化

（1）復(fù)習(xí)引入。

復(fù)習(xí)：我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了哪些平面圖形的面積計算公式？

歸結(jié)：長方形、正方形都是特殊的平行四邊形，因此可以統(tǒng)一用哪一個公式來表示？S=ah。

（2）推導(dǎo)再現(xiàn)。

提問：還記得平行四邊形的面積計算公式是怎樣推導(dǎo)的嗎？（演示兩種剪拼過程）

（3）喚醒轉(zhuǎn)化思想。

提問：這個過程中用到了什么數(shù)學(xué)思想？（轉(zhuǎn)化）

（二）初步探究，發(fā)現(xiàn)公式

（1）揭題：三角形的面積。

（2）引發(fā)猜想。

設(shè)疑：三角形的面積和什么有關(guān)？三角形能轉(zhuǎn)化成什么圖形？

（3）自主探究，合作交流。

（可以借助學(xué)具進(jìn)行剪、拼操作，也可以畫草圖探究）

（4）反饋交流，感悟方法，演繹推理，互相驗證。

①用兩個三角形拼成平行四邊形。

交流過程中引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)：

A.所拼成的平行四邊形的大小和原三角形的關(guān)系。

B.所拼成的平行四邊形與原三角形的底、高對應(yīng)關(guān)系。C.三角形的任意一條邊都可以作為底邊。

提問：你找到計算這個三角形面積的方法了嗎？

追問：是不是只有銳角三角形才可以？（說明方法的一般性）

質(zhì)疑： 剛才我們借助平行四邊形面積公式推導(dǎo)出了三角形的面積計算公式，那你們怎么知道拼出來的就一定是平行四邊形呢？

強(qiáng)調(diào)：任意兩個大小、形狀完全相同的三角形可以拼成一個平行四邊形。

②用兩個三角形剪拼成長方形（見圖4）。

圖4拼成長方形

（三）品讀史料，感悟文化

用動畫演示劉徽“出入相補(bǔ)”的過程，如圖5所示。

圖5出入相補(bǔ)

再次探究：嘗試作草圖，匯報交流，展示轉(zhuǎn)化方式，嘗試說理、推導(dǎo)面積計算公式。

【說明】“出入相補(bǔ)”原理基于學(xué)生操作的實(shí)際情況決定，若學(xué)生在探究過程中已經(jīng)發(fā)現(xiàn)這種方法，則學(xué)生自己介紹，教師輔助說明；若學(xué)生未能發(fā)現(xiàn)，則教師介紹，學(xué)生再進(jìn)一步探究。

（四）殊途同歸，總結(jié)歸納

呈現(xiàn)學(xué)生探究的所有結(jié)果，如圖6所示。

圖6學(xué)生的探究結(jié)果

【小結(jié)】通過不同方法推導(dǎo)三角形的面積計算公式，都運(yùn)用了轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想，得到的公式都可以用S=ah÷2來表示。

（五）練中探究，發(fā)現(xiàn)規(guī)律

【練習(xí)1】計算下列三角形的面積，如圖7所示。

圖7練習(xí)1

動畫演示，體會同底等高的三角形面積相等；等底同高的三角形面積相等。

【練習(xí)2】如圖8所示，兩個平行四邊形的面積都是50平方厘米，兩個涂色三角形的面積相等嗎？為什么？

（六）拓展提升

【拓展練習(xí)】請你用今天學(xué)過的知識，在方格紙上構(gòu)造一個面積為12平方厘米的三角形，看誰畫得多。

圖8練習(xí)2

四、反思與啟示

本單元教學(xué)的重點(diǎn)，不僅在于公式的發(fā)現(xiàn)、掌握和運(yùn)用，更重要的是數(shù)學(xué)思想方法的滲透和數(shù)學(xué)思維能力的培養(yǎng)，以及圖形之間的相互轉(zhuǎn)化和內(nèi)在聯(lián)系。在教學(xué)中有四個問題是值得特別關(guān)注的。

(一)重視認(rèn)知起點(diǎn)，巧用有效策略

學(xué)生的認(rèn)知起點(diǎn)，是教學(xué)設(shè)計的依據(jù)，不僅決定了教學(xué)內(nèi)容的取舍，更為教學(xué)策略的選擇提供幫助。在本節(jié)課中，根據(jù)教材分析，關(guān)注到學(xué)生已經(jīng)具備了將兩個大小形狀完全相同的三角形拼成一個平行四邊形的經(jīng)驗，所以將分類討論一筆帶過，而將重點(diǎn)放在了兩個三角形拼成平行四邊形的三種拼法上，強(qiáng)調(diào)對應(yīng)思想；通過學(xué)情分析，發(fā)現(xiàn)學(xué)生缺乏將一個三角形剪拼成平行四邊形或長方形的經(jīng)驗支持，所以在學(xué)具提供時考慮給學(xué)生一些“暗示”，在三角形紙片及練習(xí)紙上均印了方格，希望受到“數(shù)方格”的遷移，能夠幫助學(xué)生打開“思維”。實(shí)踐證明，可視化材料的提供確實(shí)提高了學(xué)生的可操作性，在第一次自主探究中就有學(xué)生實(shí)現(xiàn)了將一個三角形剪拼成長方形的轉(zhuǎn)化，并推導(dǎo)出三角形面積計算公式。

(二)抓住數(shù)學(xué)本質(zhì)，培養(yǎng)創(chuàng)新能力

在探究學(xué)習(xí)中要鼓勵方法多樣化，無論用哪種方法進(jìn)行探究，都是在積累基本活動經(jīng)驗。鼓勵學(xué)生用自己喜歡的方法進(jìn)行研究，可以滿足學(xué)生個性化學(xué)習(xí)的需求，最后殊途同歸，感悟不同方法的各自特點(diǎn)，激發(fā)學(xué)習(xí)興趣和創(chuàng)新思維。

在操作中要重視關(guān)注數(shù)學(xué)本質(zhì)，比如只有兩個大小、形狀完全相同的三角形才能拼成平行四邊形；一個三角形的轉(zhuǎn)化，只有找準(zhǔn)了“沿兩腰中點(diǎn)剪開”這一基本策略，轉(zhuǎn)化才能實(shí)現(xiàn)。在首次探究中，有學(xué)生就發(fā)現(xiàn)了這一秘密，又通過師生互動揭示本質(zhì)，到再次探究時，明顯產(chǎn)生了更多的創(chuàng)新思路，甚至是教師沒有預(yù)設(shè)到的，相信靈活的轉(zhuǎn)化思想也必定會遷移到后面的梯形轉(zhuǎn)化當(dāng)中。

(三)啟發(fā)思辨說理，引發(fā)高階思維

小學(xué)階段，學(xué)生的思維以形象思維為主，逐步向抽象思維過渡。而我校則強(qiáng)調(diào)形象思維與抽象思維同步發(fā)展、運(yùn)用合情推理來發(fā)現(xiàn)規(guī)律，又通過演繹推理來驗證規(guī)律。因此，在教學(xué)中，對于兩個大小、形狀完全相同的三角形為什么可以拼成一個平行四邊形、一個三角形剪拼成的圖形為什么是長方形等一系列問題進(jìn)行了追問、質(zhì)疑，由于平時的思考習(xí)慣，學(xué)生在課堂上運(yùn)用已有知識輕松化解，在交流互動中思維碰撞，在合作探究中互助分享。對于小學(xué)生來說，直觀感知固然重要，但也離不開理性思考，經(jīng)常說理，能讓學(xué)生的表達(dá)能力、思辨能力不斷提升，從而改善思維的嚴(yán)謹(jǐn)性、邏輯性，引發(fā)高階思維。

（四）建構(gòu)知識體系，形成思維習(xí)慣

在我校數(shù)學(xué)課程的實(shí)施過程中，比較關(guān)注發(fā)展學(xué)生自主建構(gòu)知識體系的意識和能力，因此最后小結(jié)時，通過圖6對三角形面積的探究方法進(jìn)行了梳理和歸納：第一行全部都是轉(zhuǎn)化成平行四邊形，第二行是轉(zhuǎn)化成長方形；第一列全都是ah÷2，三角形面積是平行四邊形或長方形面積的一半；第二列，底一半，高相等；第三列，高一半，底相等，最后殊途同歸，都可以歸到ah÷2這個公式。雖然不急于要讓學(xué)生完全明白其中的奧秘，但相信經(jīng)常幫助學(xué)生對知識進(jìn)行梳理，必定會對其學(xué)習(xí)方法、思維習(xí)慣產(chǎn)生影響。在梯形學(xué)習(xí)中，又增加了轉(zhuǎn)化為三角形的思路，因此會產(chǎn)生三行三列。有序架構(gòu)，多而不亂，也是給學(xué)生提供暗示，提醒他們?nèi)ニ伎几嗟霓D(zhuǎn)化方式，打開創(chuàng)新思維的大門。

一堂課的設(shè)計，不能只關(guān)注這堂課，而是要整體布局，瞻前顧后，上串下聯(lián)，找準(zhǔn)基點(diǎn)，立體架構(gòu)，站在單元甚至更遠(yuǎn)的立場去思考，既要有意識地去適當(dāng)挖掘更深一層次的數(shù)學(xué)本質(zhì)或內(nèi)涵，也要為接下來的學(xué)習(xí)作好鋪墊，尤其是一些思維習(xí)慣、思維能力的培養(yǎng)，不僅能優(yōu)化學(xué)生思維發(fā)展路徑，更能遷移到學(xué)生生活、學(xué)習(xí)的其他領(lǐng)域，這也正是數(shù)學(xué)的育人價值之所在。