于哲， 陳淑江， 馬金奎， 路長厚， 李昊

(山東大學(xué) 高效潔凈機(jī)械制造教育部重點(diǎn)實驗室，山東,濟(jì)南 250061)

超精密加工技術(shù)在國防建設(shè)與國民經(jīng)濟(jì)發(fā)展中具有不可替代的作用，它是現(xiàn)代高技術(shù)戰(zhàn)爭的重要支撐技術(shù)，也是現(xiàn)代基礎(chǔ)科學(xué)技術(shù)發(fā)展的重要保障[1]. 加工誤差的產(chǎn)生因素應(yīng)該與機(jī)床本身的加工精度、刀具磨損、熱變形等眾多因素相關(guān)[2]. 迄今為止，提高加工精度的方法有很多，如在數(shù)控機(jī)床中實行實時補(bǔ)償控制方法、均化原始誤差法、轉(zhuǎn)移原始誤差法、分化原始誤差法等.

轉(zhuǎn)子的主動控制方面，針對電磁軸承的研究居多，它具有無接觸、無摩擦磨損、無需潤滑和壽命長等優(yōu)點(diǎn)[3]，但是同時也存在一些不可忽視的缺點(diǎn)，開環(huán)控制、承載力低、成本高. Das等[4]在柔性轉(zhuǎn)子軸承系統(tǒng)中使用電磁致動器對主軸的耦合撓曲-扭轉(zhuǎn)振動進(jìn)行主動控制. 數(shù)值擬合結(jié)果顯示了該方法的有效性. Gaurav Kumar等[5]提出一種激勵為交流電的包含12個節(jié)點(diǎn)的徑向主動電磁軸承(AMB)不平衡響應(yīng)控制系統(tǒng)，該系統(tǒng)通過轉(zhuǎn)換AMB極點(diǎn)的激勵電流來產(chǎn)生與不平衡力同頻但相位相反的旋轉(zhuǎn)力. 吳超等[6]利用超磁致伸縮驅(qū)動器控制滑動軸承的軸瓦位置進(jìn)而改變油膜厚度，以達(dá)到控制軸承的目的，并取得了一定的進(jìn)展. 馬金奎等[7-9]提出了通過合成橢圓形運(yùn)動軌跡的方法，并且對軸承主動控制以達(dá)到加工非圓異形孔進(jìn)行了大量研究. 李昊等[10-11]研發(fā)了一種新型的動靜壓柔性鉸鏈可傾瓦軸承，并利用傳遞函數(shù)法進(jìn)行控制，在抑制轉(zhuǎn)子不平衡振動，限制轉(zhuǎn)子振幅方面取得了一定的突破.

文中針對動靜壓柔性鉸鏈可傾瓦軸承-轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的振動主動控制進(jìn)行了研究. 動靜壓柔性鉸鏈可傾瓦軸承除了傳統(tǒng)可傾瓦軸承所具備的優(yōu)點(diǎn)外，它以柔性鉸鏈代替了傳統(tǒng)鉸鏈，結(jié)構(gòu)簡單，更易加工. 在每個瓦塊上各開一個靜壓腔，在主軸啟動前對其進(jìn)行恒壓供油可以防止主軸的摩擦和磨損，同時具有足夠的徑向剛度和較高的穩(wěn)定性.

1 轉(zhuǎn)子系統(tǒng)運(yùn)動建模

軸承轉(zhuǎn)子系統(tǒng)及其運(yùn)動狀態(tài)如圖1～2所示. 這類結(jié)構(gòu)的主軸在如車床、鏜床、磨床中應(yīng)用較廣. 在鏜床中，主軸前端安裝鏜刀；在車床中，主軸前端位置為三爪卡盤固定工件的加工位置；在磨床中，主軸前端安裝砂輪. 為了簡化系統(tǒng)模型，所研究轉(zhuǎn)子認(rèn)為是剛性軸. 該剛性主軸由兩個軸承作為支撐，右端為動靜壓柔性鉸鏈可傾瓦軸承，左端為高精度的滾動軸承.

轉(zhuǎn)子系統(tǒng)在啟動后，由于滾動軸承的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，滾動軸承處轉(zhuǎn)子的振幅在很大程度上受到自身結(jié)構(gòu)的影響，如滾動體精度，軸承內(nèi)圈和外圈精度，滾動體差異，主軸質(zhì)量偏心等. 本文假設(shè)滾動軸承支座剛度足夠大，并且滾動軸承經(jīng)過充分預(yù)緊，滾動軸承的運(yùn)轉(zhuǎn)只受滾動軸承各部件加工精度的影響. 故在這里假設(shè)可傾瓦軸承處的轉(zhuǎn)子振動對滾動軸承處轉(zhuǎn)子的振動不產(chǎn)生影響，或產(chǎn)生很小的影響. 而滾動軸承處的轉(zhuǎn)子振動會對主軸前端的轉(zhuǎn)子回轉(zhuǎn)精度產(chǎn)生較大影響.

圖1 剛性軸-可傾瓦軸承轉(zhuǎn)子系統(tǒng)Fig.1 Rigid shaft-TPJB rotor system

圖2 轉(zhuǎn)子系統(tǒng)運(yùn)動示意圖Fig.2 Diagram of rotor system motion

(1)

V=0.5mg(x1-x2)-

Fy(y1-y2)-Fx(x1-x2)，

(2)

L=T-V.

(3)

式中:Iz為剛性軸繞z方向的旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)動慣量;Ix，y為剛性軸繞x和y方向轉(zhuǎn)動的轉(zhuǎn)動慣量；α為剛性軸繞x方向的轉(zhuǎn)動角度;β為剛性軸繞y方向的轉(zhuǎn)動角度. 由拉格朗日方程，

(4)

得出轉(zhuǎn)子系統(tǒng)運(yùn)動微分方程

(5)

2 主軸運(yùn)動軌跡計算及運(yùn)動分析

圖3為動靜壓柔性鉸鏈可傾瓦軸承. 該軸承為文獻(xiàn)[11]中所使用的軸承，該軸承共4塊軸瓦，每個瓦塊上各有一個靜壓腔. 且每個瓦塊上各有一個細(xì)長圓孔，該細(xì)長圓孔的長徑比大于20，起到毛細(xì)管節(jié)流作用.

根據(jù)毛細(xì)管節(jié)流器的流量公式及流經(jīng)控制體的流量平衡有

(6)

式中：qVin為流經(jīng)毛細(xì)管節(jié)流器的流量；d為毛細(xì)管直徑；L為毛細(xì)管長度；μ為潤滑油黏度；Ps為供油壓力；Pi為靜壓腔壓力.

(7)

圖3 動靜壓柔性鉸鏈可傾瓦軸承模型Fig.3 Model of dynamic and static pressure flexible hinge TPJB

軸承的供油為恒壓供油. 在有限差分法求解雷諾方程時，靜壓壓力作為動壓壓力的壓力邊界.假設(shè)一個靜壓力初始值作為求解雷諾方程的邊界條件之一，來求得油膜壓力，并計算流出靜壓腔的潤滑油流量. 再通過迭代，當(dāng)流出靜壓腔的流量等于通過毛細(xì)管節(jié)流器流量時，就可以得到靜壓腔的壓力和動壓區(qū)的壓力場. 邊界劃分如圖3(b)，邊界條件如下：

P|l=±L/2=0；P|θ=α1,α2=0；

P|l=l1,l2=Pstatic；P|θ=φ1，φ2=Pstatic.

(8)

(9)

(10)

(11)

式中：M為油膜反力關(guān)于鉸支點(diǎn)的力矩；I為瓦塊的轉(zhuǎn)動慣量；C和K分別為鉸鏈的擺動阻尼和擺動剛度；φ為瓦塊繞鉸支點(diǎn)的擺角.

為了更好地分析轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的運(yùn)動狀況了，進(jìn)行剛性軸-可傾瓦軸承轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的運(yùn)動仿真，所需參數(shù)見表1.

表1 轉(zhuǎn)子系統(tǒng)參數(shù)Tab.1 Rotor system parameters

圖4是轉(zhuǎn)子系統(tǒng)運(yùn)動軌跡圖. 主軸前端軌跡可以通過空間直線程求得. 可傾瓦軸承處的轉(zhuǎn)子軌跡振幅最小. 轉(zhuǎn)子振幅經(jīng)過可傾瓦軸承在主軸前端的振幅被放大了很多. 取主軸前端轉(zhuǎn)子穩(wěn)定后的軌跡，計算后得主軸前端的平均振幅的量綱一的值為0.060 9，有量綱值為5.721 7 μm. 然而可傾瓦軸承處的轉(zhuǎn)子軌跡的平均振幅量綱一的值為0.027 7，有量綱值為2.608 3 μm. 轉(zhuǎn)子振幅被放大了2倍以上. 取可傾瓦軸承轉(zhuǎn)子軌跡的中心點(diǎn)如圖4所示位置(-0.108 0，-0.179 0). 計算出兩個位置的相位如圖5所示.

圖4 轉(zhuǎn)子系統(tǒng)軌跡圖(量綱為一)Fig.4 Track diagram of rotor system(dimensionless)

由兩個軸承處的轉(zhuǎn)子相位變化圖可知，前后兩個軸承處轉(zhuǎn)子相位變化的周期基本相同. 但是兩軸承的相位不同，這也是造成主軸前端的振幅被放大很多的原因. 前后兩軸承轉(zhuǎn)子相位差如圖6所示.

圖5 前后軸承相位變化圖Fig.5 Phase diagram of front and rear bearings

可以看出前后軸承轉(zhuǎn)子相位差基本穩(wěn)定在100°左右. 如圖7所示，在剛性軸轉(zhuǎn)子系統(tǒng)中，前后軸承的相位差的大小會對主軸前端轉(zhuǎn)子振幅有很大程度的影響.

圖6 兩軸承轉(zhuǎn)子相位差Fig.6 Rotor phase difference between two bearings

圖7 軸承轉(zhuǎn)子相位對主軸前端振幅的影響Fig.7 Influence of bearing rotor phase on amplitude of spindle front end

如圖7(a)所示，當(dāng)前后軸承轉(zhuǎn)子的相位角分別為α和β且α=β，此時轉(zhuǎn)子相位差為0，主軸前端的振幅很小，接近于0. 而當(dāng)轉(zhuǎn)子的相位差為α-β=π時，主軸前端的振幅被放大很多，其振幅已經(jīng)明顯大于可傾瓦軸承處轉(zhuǎn)子的振幅了. 如圖7(b)當(dāng)相位差為0或接近于0時，主軸前端的振幅很小. 當(dāng)相位差在180°左右時，振幅達(dá)到最大.

3 主動控制算例

當(dāng)轉(zhuǎn)子軸心在做圓周運(yùn)動或者接近圓周運(yùn)動時，轉(zhuǎn)軸心子存在兩個方向的加速度，分別為切向加速度和法向加速度. 切向加速度會改變轉(zhuǎn)子的運(yùn)動速度，但是不會影響轉(zhuǎn)子軸心的運(yùn)動半徑；法向加速度垂直于切向加速度，它的大小會影響轉(zhuǎn)子軸心運(yùn)動半徑，但不會對轉(zhuǎn)子軸心的運(yùn)動速度產(chǎn)生影響. 利用電磁致動器對轉(zhuǎn)子施加控制，調(diào)節(jié)軸心的切向加速度和法向加速度來減小轉(zhuǎn)子相位差. 通過切向加速度調(diào)節(jié)轉(zhuǎn)子運(yùn)動速度，通過法向加速度調(diào)節(jié)轉(zhuǎn)子運(yùn)轉(zhuǎn)半徑. 由于前軸承轉(zhuǎn)子相位領(lǐng)先于后軸承的相位接近100°，要控制前軸承的相位使相位差減小必須先令前軸承轉(zhuǎn)子先減速后加速.其運(yùn)動情況如圖8～11所示.

3.1 軸心運(yùn)動減速階段

令A(yù)q=-0.018 5，Af=v2/r，v為轉(zhuǎn)子軸心運(yùn)動過程中的瞬時速度. 令減速時長為60t，即減速到轉(zhuǎn)子軸心運(yùn)動的第421點(diǎn)處.

3.2 軸心運(yùn)動加速階段

令A(yù)q=0.049 9，Af=v2/r，減速時長為20t，即加速到轉(zhuǎn)子軸心運(yùn)動的第441點(diǎn)處停止加速. 轉(zhuǎn)子此時刻的運(yùn)動速度已經(jīng)與后軸承轉(zhuǎn)子的軸心運(yùn)動速度大致相同，而相位差已經(jīng)變得很小了，相位差在0°附近波動.

圖8 位差(主動控制)Fig.8 Phase difference (active control)

圖9 前后軸承轉(zhuǎn)子相位變化(主動控制)Fig.9 Phase diagram of front and rear bearings (active control)

在主動控制后轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的運(yùn)動軌跡如下圖所示. 該圖是實價控制后的剛性主軸三個位置的轉(zhuǎn)子運(yùn)動軌跡. 其中可傾瓦軸承軌跡收斂成圓. 主軸前端軌跡由于相位波動等原因并沒有收斂成一個完整的圓，但是振幅已經(jīng)得到了大幅度的抑制，由最初比前軸承還大的振幅減小到最比前軸承還小一些.

在施加主動控制后主軸前端的振幅得到了明顯的抑制.主軸前端在主動控制施加之前的量綱一平均振幅為A1=0.060 9，有量綱值為5.721 7 μm. 主動控制施加后量綱一的平均振幅為A2=0.024 2，有量綱值為2.273 2 μm. 主動控制力施加后振幅減小了.

(A1-A2)/A1=60.26%.

且主動控制后，主軸前端的振幅要小于可傾瓦軸承轉(zhuǎn)子的平均振幅2.608 3 μm.

圖10 主動控制后轉(zhuǎn)子系統(tǒng)軌跡圖(量綱一)Fig.10 Track diagram of rotor system after active control (dimensionless)

圖11 電磁控制力Fig.11 Electromagnetic control

4 結(jié) 論

通過流量平衡法求得動靜壓柔性鉸鏈可傾瓦軸承靜壓腔壓力，并以此為邊界條件求得可傾瓦軸承對轉(zhuǎn)子系統(tǒng)提供的油膜力. 建立了剛性軸-動靜壓柔性鉸鏈可傾瓦軸承轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型，得到了轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的運(yùn)動微分方程. 用歐拉法求得了轉(zhuǎn)子系統(tǒng)各個截面的運(yùn)動軌跡. 經(jīng)分析得出了滾動軸承和可傾瓦軸承之間的相位，存在相位差. 相位差的大小直接影響主軸前端的振幅，從而影響機(jī)械加工精度. 通過電磁致動器提供額外的控制力調(diào)節(jié)轉(zhuǎn)子運(yùn)動加速度的控制方案. 并利用轉(zhuǎn)子的切向加速度調(diào)節(jié)轉(zhuǎn)子運(yùn)動速度，利用其法向加速度限制轉(zhuǎn)子振幅的方法對轉(zhuǎn)子系統(tǒng)施加主動控制.在算例中，經(jīng)主動控制后，可傾瓦軸承轉(zhuǎn)子軌跡收斂為圓形，前后軸承相位差大幅度降低且主軸前端振幅減小了60.26%.