劉大偉, 谷丹丹, 巴延博

(1.燕山大學(xué) 機(jī)械工程學(xué)院,河北,秦皇島 066004; 2.燕山大學(xué) 國家冷軋板帶裝備及工藝工程技術(shù)研究中心，河北,秦皇島 066004)

非圓齒輪具有精確而穩(wěn)定的運(yùn)動協(xié)調(diào)功能，在多足機(jī)器人、高速水稻插秧機(jī)和人工血泵等高端裝備中展現(xiàn)出獨(dú)特的技術(shù)優(yōu)勢[1]. 為解決非圓齒輪的封閉性設(shè)計難題，融合非圓齒輪和面齒輪的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，提出了兼具圓齒輪減速功能和非圓齒輪變速功能的減-變速集成齒輪[2-3]，作為一種新型傳動元件，明確動態(tài)特性對其應(yīng)用具有重要意義.

在許多含非圓齒輪的機(jī)械系統(tǒng)動力學(xué)分析中，常將非圓齒輪考慮成剛性接觸[4-7]. Okada等[4]基于彈跳機(jī)器人的動力學(xué)特性，優(yōu)化出驅(qū)動系統(tǒng)中非圓齒輪的傳動比；葉秉梁等[5]建立了橢圓齒輪-不完全非圓齒輪行星系移栽機(jī)構(gòu)的剛性動力學(xué)模型，求出關(guān)鍵構(gòu)件的受力規(guī)律，但剛性動力學(xué)無法真實(shí)反映傳動系統(tǒng)的動態(tài)特性.

在非圓齒輪彈性動力學(xué)方面，目前的研究多采用實(shí)驗(yàn)或借鑒圓齒輪動力學(xué)的建模方法，通過數(shù)值計算得到了橢圓齒輪的動態(tài)響應(yīng)規(guī)律.劉大偉等[6]提出一種轉(zhuǎn)角分離方法，可有效解決非圓齒輪轉(zhuǎn)角間的非線性關(guān)系給動力學(xué)建模造成的困難；但這些研究都是針對常規(guī)的非圓齒輪，不適用于具有新匹配模式和構(gòu)型特點(diǎn)的減-變速集成齒輪，因此本文從新齒輪的傳動原理出發(fā)，研究其瞬心時變規(guī)律及激勵原理，考慮時變瞬心、剛度、阻尼等非線性因素，建立減-變速集成齒輪的振動方程，并對時變瞬心復(fù)合激勵下的基本振動特性及瞬心參數(shù)對振動的影響規(guī)律進(jìn)行研究.

1 減-變速集成齒輪的傳動原理

減-變速集成齒輪是一種功能復(fù)合型傳動機(jī)構(gòu)，融合了非圓齒輪和面齒輪的傳動特點(diǎn)，能實(shí)現(xiàn)圓齒輪減速和非圓齒輪變速的集成傳動. 它由一個普通小圓柱齒輪和一個非圓面齒輪組成. 小圓柱齒輪與非圓面齒輪傳動時，相當(dāng)于小圓柱齒輪的節(jié)圓柱面與非圓面齒輪的節(jié)曲線做純滾動，如圖1所示. 小圓柱齒輪的節(jié)圓拉伸形成節(jié)圓柱面S1，面齒輪的節(jié)曲線C2拉伸形成非圓柱面S2，C2所在的平面為非圓面齒輪的節(jié)面P. 直角坐標(biāo)系x1y1z1和x2y2z2分別是與小圓柱齒輪和非圓面齒輪的機(jī)架固定的坐標(biāo)系，且軸x1、y1分別與x2、y2平行.

圖1 減-變速集成齒輪的節(jié)曲線Fig.1 Pitch curves of the speed integrated gear

圖1中兩齒輪回轉(zhuǎn)軸正交，面齒輪的節(jié)面為一平面，在該平面上固定一個與非圓面齒輪一起旋轉(zhuǎn)的極坐標(biāo)系，其原點(diǎn)在非圓面齒輪的回轉(zhuǎn)軸線上，令非圓面齒輪節(jié)曲線在極坐標(biāo)系中的向徑與極角分別為r2和φ2，則減-變速集成齒輪傳動比i12可表示為

(1)

式中:ω1和ω2分別圓柱齒輪和非圓面齒輪的角速度;r1為圓柱齒輪的節(jié)圓半徑.

減-變速集成齒輪總傳動比i12可分解為兩部分，其中減速比ij為非圓面齒輪與圓柱齒輪的齒數(shù)比，變速比ib為

(2)

式中:Rb為與非圓面齒輪嚙合的假想圓柱齒輪節(jié)圓半徑，該假想圓柱齒輪轉(zhuǎn)過一周時，非圓面齒輪也轉(zhuǎn)過一周. 普通非圓齒輪傳動中，當(dāng)兩個齒輪齒數(shù)不同時，也能產(chǎn)生減-變速傳動效果，但減速比必須與兩非圓齒輪的節(jié)曲線周期數(shù)之比相等，僅能實(shí)現(xiàn)有限的減-變速傳動規(guī)律. 但圖1中的齒輪副可以實(shí)現(xiàn)減速比和變速比的任意集成，更具靈活性，并且只要傳動比為周期函數(shù)，非圓面齒輪的節(jié)曲線就是光滑封閉的，克服了常規(guī)非圓齒輪中的封閉性設(shè)計難點(diǎn).

2 減-變速集成齒輪的時變瞬心激勵

減-變速集成齒輪是一種圓與非圓相匹配的新型齒輪機(jī)構(gòu)，為分析其動態(tài)特性，首先要明確新構(gòu)型特點(diǎn)下齒輪的內(nèi)部激勵原理.

一般圓齒輪在嚙合過程中，將產(chǎn)生剛度激勵、誤差激勵和嚙合沖擊激勵等三種內(nèi)部激勵. 由于減-變速集成齒輪也是通過輪齒嚙合進(jìn)行運(yùn)動和動力傳遞，因此它也具有這三種典型的內(nèi)部激勵.

除此之外，減-變速集成齒輪傳動過程中，兩齒輪相對瞬心位置不斷變化. 如圖1中，小圓柱齒輪與非圓面齒輪的瞬心為節(jié)圓柱面S1和節(jié)曲線C2的交點(diǎn)M，當(dāng)兩齒輪相對旋轉(zhuǎn)時，瞬心M沿節(jié)圓柱面S1的母線做往復(fù)直線運(yùn)動，其位置隨時間周期變化. 這種時變瞬心將會使齒輪在嚙合過程中產(chǎn)生特殊的動態(tài)激勵，為揭示時變瞬心激勵的機(jī)理，引入彈性轉(zhuǎn)角的概念.

2.1 彈性轉(zhuǎn)角與齒間法向相對位移

當(dāng)圓柱齒輪和非圓面齒輪為剛性體時，二者的轉(zhuǎn)角分別為θ1和θ2，滿足公式dθ1/dθ2=i12，其中非圓面齒輪的極角φ2和轉(zhuǎn)角θ2是相等的.

若齒輪為彈性體，兩齒輪傳動過程中，齒間接觸力將引起輪齒彈性變形，從而導(dǎo)致兩齒輪的瞬時轉(zhuǎn)角φ1和φ2，不再滿足dφ1/dφ2=i12. 此時，兩齒輪的瞬時轉(zhuǎn)角可以認(rèn)為由兩部分組成，即滿足理論傳動比i12的剛性轉(zhuǎn)角θ1、θ2和因齒間彈性變形而引起的彈性轉(zhuǎn)角q1、q2，彈性轉(zhuǎn)角的大小與齒間嚙合力、輪齒的剛度及節(jié)曲線向徑有關(guān). 彈性轉(zhuǎn)角將引起齒輪的扭振，如果將每一個剛性轉(zhuǎn)角的位置視為齒輪扭振的平衡位置，那么彈性轉(zhuǎn)角的時間序列將反映齒輪的扭振特性.

小圓柱齒輪的齒形采用直齒漸開線，減-變速集成齒輪為正交軸結(jié)構(gòu). 將兩齒輪的彈性輪齒等效成線彈簧，在傳動的任意瞬時，彈簧上的力與齒間嚙合力方向相同. 同時，圓柱齒輪和非圓面齒輪分別等效成回轉(zhuǎn)半徑為rb1和r2的集中轉(zhuǎn)動慣量，其中rb1=r1cosα，α為小圓柱齒輪的壓力角，如圖2所示. 圖2(a)中，等效彈簧的一端與半徑為rb1的小圓柱相切于點(diǎn)B，另一端與兩齒輪的瞬心M相連，M為非圓面齒輪節(jié)曲線上的點(diǎn)，其向徑為r2.

圖2 減-變速集成齒輪的等效模型Fig.2 Equivalent model of the speed integrated gear

小圓柱齒輪與非圓面齒輪為點(diǎn)嚙合傳動[5]，由于小圓柱齒輪采用直漸開線齒廓，故齒面任意嚙合點(diǎn)處的法向力均與小圓柱齒輪端面平行.

當(dāng)兩齒輪相對轉(zhuǎn)動時，非圓面齒輪的向徑r隨其轉(zhuǎn)角變化，等效彈簧的連接點(diǎn)M將沿z2軸移動，為保證齒間法向力的作用線與小圓柱齒輪端面平行，等效彈簧的另一個連接點(diǎn)B也將沿z1軸方向移動，故減-變速集成齒輪中的等效彈簧隨齒輪的轉(zhuǎn)動而直線移動，其位置由瞬心M決定.

兩齒輪若按理論傳動比i12進(jìn)行傳動時，齒輪不會產(chǎn)生扭振，雖然等效彈簧進(jìn)行水平移動，但其長度將保持恒定，故剛性轉(zhuǎn)角不會引起等效彈簧相對位移x的變化，x只與彈性轉(zhuǎn)角有關(guān).

考慮齒輪彈性轉(zhuǎn)角的值非常小，進(jìn)行如下假設(shè)：

① 彈性轉(zhuǎn)角對非圓面齒輪瞬時向徑無影響，向徑r為關(guān)于時間t的函數(shù)；

② 齒輪發(fā)生彈性轉(zhuǎn)動時，齒間法向力方向不變.

根據(jù)假設(shè)1，在任意瞬時，非圓面齒輪2可等效成半徑為r2(t)的圓形面齒輪，當(dāng)面齒輪產(chǎn)生彈性轉(zhuǎn)角q2時，相應(yīng)等效彈簧上的相對位移為r2(t)q2cosα，同時考慮小圓柱齒輪的彈性轉(zhuǎn)角q1，可得圖2中等效彈簧的相對位移，也即齒間法向相對位移x為

x=rb1q1-r2(t)q2cosα.

(3)

2.2 時變瞬心的激勵機(jī)理

機(jī)械結(jié)構(gòu)在動態(tài)激勵下會產(chǎn)生振動，但無論內(nèi)部或外部激勵，本質(zhì)上都是通過力作用于機(jī)械結(jié)構(gòu)而引起振動的. 為研究時變瞬心對減-變速集成齒輪扭振形式的激勵機(jī)理，以圖1中的非圓面齒輪為研究對象，進(jìn)行受力分析，則作用于該齒輪上的法向嚙合力F為

F=km(t)x=km(t)[rb1q1-r2(t)q2cosα]，

(4)

式中km為齒輪輪齒的綜合嚙合剛度. 從式(4)中可以看出，即便剛度恒定，參數(shù)r也會引起齒間嚙合力的變化，而參數(shù)r2正是由時變瞬心決定的，所以時變瞬心將引起齒間法向相對位移的變化，從而產(chǎn)生動態(tài)嚙合力對齒輪系統(tǒng)進(jìn)行動態(tài)激勵.

由齒間法向力可得作用于非圓面齒輪的扭矩T為

T=Fr2(t)cosα=

km(t)[rb1q1-r2(t)q2cosα]r2(t)cosα.

(5)

從式(5)中發(fā)現(xiàn)，非圓面齒輪的扭矩隨圓周力的力臂r2周期變化，故時變瞬心還會通過改變齒輪圓周力的力臂產(chǎn)生動態(tài)扭矩，進(jìn)而激勵齒輪產(chǎn)生扭轉(zhuǎn)振動.

另外，由于非圓面齒輪為非勻速旋轉(zhuǎn)，其自身還會產(chǎn)生慣性扭矩Tα,

(6)

式中:α為非圓面齒輪角加速度;I2為非圓面齒輪轉(zhuǎn)動慣量. 因此瞬心變化使得從動非圓齒輪變速旋轉(zhuǎn)，進(jìn)而產(chǎn)生周期性內(nèi)部慣性扭矩對系統(tǒng)產(chǎn)生動態(tài)激勵.

通過以上分析可知，時變瞬心通過改變齒間相對法向位移、圓周力力臂以及產(chǎn)生動態(tài)慣性扭矩三種方式對齒輪系統(tǒng)進(jìn)行激勵. 從激勵性質(zhì)上來看，前兩種方式本質(zhì)上是通過改變輪齒變形引起動態(tài)激勵，屬于位移型激勵，而后一種屬于由自身慣性力產(chǎn)生的周期力型激勵. 因此時變瞬心激勵是一種包含不同激勵性質(zhì)的內(nèi)部激勵.

3 減-變速集成齒輪的扭振模型

3.1 兩自由度扭振模型

齒輪副的扭轉(zhuǎn)振動是齒輪最基本、最簡單的振動形式，能夠反映出齒輪系統(tǒng)的振動性質(zhì)和特征，因此對減-變速集成齒輪的純扭振進(jìn)行研究.

在式(5)中，雖然中括號內(nèi)、外的r2(t)cosα的意義不同，但結(jié)果相同，設(shè)rb2=r2(t)cosα，則齒輪1對齒輪2的動態(tài)扭矩為

T=rb2(t)km(t)[rb1q1-rb2(t)q2].

(7)

根據(jù)式(7)可建立減-變速集成齒輪的動力學(xué)模型，小圓柱齒輪等效成半徑為rb1的轉(zhuǎn)動慣量，非圓面齒輪等效成向徑為rb2的非圓形轉(zhuǎn)動慣量，兩齒輪輪齒等效成彈簧和阻尼，嚙合剛度和阻尼分別為km和cm，輪齒誤差為e(t)，小圓柱齒輪上的主動扭矩為T1，非圓面齒輪上的阻力矩為T2，則其扭振模型如圖3所示.

圖3 減-變速集成齒輪的動力學(xué)模型Fig.3 Dynamical model of the speed integrated gear

對式(3)求時間t的導(dǎo)數(shù)，可得等效阻尼的相對速度為

(8)

根據(jù)達(dá)朗貝爾原理，建立以彈性轉(zhuǎn)角為自變量的減-變速集成齒輪兩自由度扭振方程為

(9)

(10)

3.2 單自由度扭振模型

為了便于分析時變瞬心與齒輪其它內(nèi)部激勵復(fù)合后對振動特性的影響規(guī)律，在式(9)的基礎(chǔ)上，假設(shè)小圓柱齒輪按設(shè)定的角速度或角位移規(guī)律運(yùn)轉(zhuǎn)，不產(chǎn)生彈性轉(zhuǎn)角，則將q1=0帶入式(9)，可得以非圓面齒輪彈性轉(zhuǎn)角為自變量的單自由度扭振方程為

(11)

4 減-變速集成齒輪的扭振特性

4.1 基本參數(shù)

針對式(11)中的單自由度模型，基于數(shù)值方法求解不同參數(shù)下的動態(tài)響應(yīng)，探索減-變速集成齒輪在時變瞬心復(fù)合激勵下的扭振特性. 以橢圓齒輪傳動比作為減-變速集成齒輪的變速比ib，則總傳動比i12為

(12)

式中：ε為偏心率；ω1為減變速集成齒輪的輸入角速度.

由于非圓面齒輪的輪齒形狀復(fù)雜而且各不相同，本文通過有限元法[6]，求解減-變速集成齒輪的綜合嚙合剛度曲線，在單雙齒交替處，剛度曲線會發(fā)生階躍性突變. 由于非圓面齒輪與普通面齒輪結(jié)構(gòu)相似，其重合度較大，而且為便于分析時變瞬心對齒輪振動特性的影響，對綜合嚙合剛度進(jìn)行簡化，忽略其傅里葉級數(shù)展開式的高次項(xiàng)，由正弦函數(shù)表示為

km=k0+krsin(ω1Z1t+φm)，

(13)

式中：k0為嚙合剛度的平均值；kr為嚙合剛度的幅值；φm為相位角；Z1為小圓柱齒輪的齒數(shù)；輪齒的嚙合阻尼cm為

(14)

式中：ξ為阻尼比；I1、I2分別小圓柱齒輪和非圓面齒輪的轉(zhuǎn)動慣量，計算中忽略誤差激勵的影響.

表1 減-變速集成齒輪的計算參數(shù)

4.2 時變瞬心復(fù)合激勵下的多頻響應(yīng)特性

取ω1=80 rad/s，ε=0.2，則瞬心激勵頻率f1=ω1/(2πij)=3.98 Hz，輪齒嚙合激勵頻率為f2=ω1Z1/(2π) =254.6 Hz. 根據(jù)式(11)可得到非圓面齒輪的節(jié)曲線向徑r2=r1i12，將該公式表示在直角坐標(biāo)系中，可得到時變瞬心振蕩曲線，如圖4所示.

圖4 瞬心振蕩規(guī)律Fig.4 Vibrating rule of the instantaneous center

圖5(a)為非圓面齒輪的時域響應(yīng)，在整體上呈現(xiàn)低頻振動，趨勢與圖4中的瞬心振蕩規(guī)律相似，頻率與瞬心激勵頻率f1相同. 而在局部上，非圓面齒輪存在高頻振動，如圖5(a)中的局部放大圖所示，該振動由時變剛度引起，頻率為f2，在瞬心不同位置處，高頻振動幅值也不同，原因是時變瞬心不斷改變圓周力力臂和慣性扭矩，引起非圓面齒輪動態(tài)扭矩發(fā)生周期變化，最終導(dǎo)致不同瞬心處的高頻振幅不同. 在時變瞬心和時變輪齒剛度復(fù)合激勵下，齒輪呈現(xiàn)高頻和低頻的復(fù)合振動形式，而且高頻振動的振幅隨瞬心位置變化.

圖5 含時變瞬心齒輪的動態(tài)響應(yīng)Fig.5 Dynamical response with time-varying instantaneous center

將時域響應(yīng)轉(zhuǎn)化成幅頻曲線，如圖5(b)和5(c)所示，其中5(c)為瞬心頻率附近的幅頻曲線放大圖. 從幅頻曲線中發(fā)現(xiàn)：在非圓面齒輪振動的頻率成分中，除了時變瞬心、剛度的激振頻率f1、f2外，還存在二者的倍頻nf1和mf2(m、n為正整數(shù))，由于計算精度的原因，1倍瞬心頻率存在一定誤差. 另外，放大圖5(b)中嚙合頻率附近的幅頻曲線，如圖5(d)所示，發(fā)現(xiàn)非圓面齒輪的響應(yīng)中還存在f2±f1和f2±2f1的和、差型頻率成分，該現(xiàn)象在m倍嚙合頻率附近也會出現(xiàn).

因此在時變瞬心和剛度復(fù)合激勵下，非圓面齒輪出現(xiàn)復(fù)雜的多頻響應(yīng)，包含基頻f1、f2，倍頻nf1、mf2以及各頻率的和、差型頻率mf2±nf1.

4.3 時變瞬心頻率對扭振的影響規(guī)律

時變瞬心的激勵頻率f1=ω1/(2πij)，分別取ω1的值為50，80和180 rad/s，令偏心率不變，取ε=0.2，求解不同時變瞬心頻率下非圓面齒輪的動態(tài)響應(yīng)，分別如圖6(a)，圖5(a)和圖6(b)所示.

圖6 不同瞬心激勵頻率下的時域響應(yīng)Fig.6 Time domain response with different instantaneous center frequencies

隨著瞬心激勵頻率的增大，非圓面齒輪彈性振動的幅值逐漸增大，振動加劇. 理論上，當(dāng)頻率增大到一定程度，從動輪慣性扭矩的幅值大于阻力矩后將出現(xiàn)拍擊現(xiàn)象，本例中ω1=250 rad/s時，慣性扭矩幅值超過阻力矩T2. 但對于含時變瞬心的減-變速集成齒輪，當(dāng)ω1=180 rad/s時，雖然非圓面齒輪的慣性扭矩幅值未超過阻力矩，但它的彈性轉(zhuǎn)角卻出現(xiàn)正、負(fù)交替現(xiàn)象，若含有齒側(cè)間隙，則齒輪將出現(xiàn)拍擊振動. 該振動行為主要是由于瞬心振蕩過快，使得非圓面齒輪圓周力力臂和法向相對位移產(chǎn)生劇烈變化而引起的. 類似于圓齒輪振動分析中，矩形波剛度的突變特征將引起齒輪彈性位移出現(xiàn)正負(fù)交替，因此為避免輪齒拍擊，瞬心激勵頻率應(yīng)遠(yuǎn)小于常規(guī)拍擊門檻理論得到的值.

4.4 時變瞬心幅值對扭振的影響規(guī)律

圖4中的a代表時變瞬心的幅值，當(dāng)小圓柱齒輪的節(jié)圓直徑r1和減速比ij一定時，a僅與傳動比中的偏心率ε有關(guān)，分別ε的值為0.1，0.2和0.3，轉(zhuǎn)速不變，取ω1=80 rad/s，求解不同時變瞬心幅值下非圓面齒輪的動態(tài)響應(yīng)和幅頻曲線，如圖5、圖7和圖8所示.

從時域曲線中可看出，隨著瞬心幅值(偏心率)的增大，非圓面齒輪的彈性轉(zhuǎn)角分別為5.2×10-5，7.9×10-5和1.3×10-4rad，振幅擴(kuò)大兩倍，振動加劇. 從頻譜曲線可看出，隨著瞬心幅值的增大，由時變瞬心引起的振動幅值分別為9.5×10-6，1.6×10-5和3.1×10-5rad，振幅顯著增加，而由時變剛度引起的振動幾乎無變化. 故隨瞬心幅值增大，齒輪振動加劇，而且瞬心激勵對齒輪振動的影響將超過剛度激勵，成為減-變速集成齒輪振動的主要因素.

圖7 ε=0.1時的動態(tài)響應(yīng)Fig.7 Dynamical response with ε=0.1

圖8 ε=0.3時的動態(tài)響應(yīng)Fig.8 Dynamical response with ε=0.3

5 結(jié) 論

以新型減-變速集成齒輪為研究對象，針對其特殊的動態(tài)激勵形式，給出該齒輪動力學(xué)建模方法，通過定量分析得到其動態(tài)嚙合性質(zhì).

① 減-變速集成齒輪中的時變瞬心激勵是一種位移型和周期力型復(fù)合的內(nèi)部激勵，它通過改變齒間相對法向位移、圓周力力臂以及產(chǎn)生動態(tài)慣性扭矩三種方式對齒輪系統(tǒng)進(jìn)行激勵.

② 含時變瞬心激勵的齒輪系統(tǒng)將產(chǎn)生復(fù)雜的多頻響應(yīng)特性，頻率成分中不僅含有瞬心激勵的低頻、輪齒嚙合的高頻，還含有二者倍頻，以及各頻率間的和、差型頻率.

③ 隨著瞬心激勵頻率和幅值的增大，減-變速集成齒輪的彈性振動均加劇，瞬心頻率增加易引起拍擊現(xiàn)象，而瞬心幅值增加會使得瞬心激勵引起的振動逐漸超過剛度激勵引起的振動，故大偏心率的減變速集成齒輪扭振的主要原因是瞬心激勵.