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        一道推理證明題的多解探究

        2019-10-20 21:11:06王青楠
        讀與寫·教師版 2019年1期
        關(guān)鍵詞:利用探究

        王青楠

        中圖分類號:G634.6 文獻(xiàn)標(biāo)識碼:A 文章編號:1672-1578(2019)01-02002-01

        在學(xué)習(xí)推理與證明一節(jié)內(nèi)容時,筆者對一道填空題進(jìn)行了多解探究,并將結(jié)論進(jìn)行了推廣?,F(xiàn)整理成文,與大家分享。

        題目:若a,b,c是RtΔABC的三條邊,其中c為斜邊,則an+bn與cn(n>2,n∈N)的大小關(guān)系為。

        解法1:(構(gòu)造冪函數(shù)法)

        在RtΔABC中,a2+b2=c2,且a2,n∈N時,,所以

        點評:本解法利用了同向不等式的可加性,將an+bn傳遞到cn,其中不等式an-2n-2和bn-2n-2利用了冪函數(shù)y=x0的單調(diào)性。另外本題中并沒有利用到n∈N這一條件,這說明命題對n>2,n∈R也成立,所以我們可以得到推論1。

        推論1:若a,b,c是Rt△ABC的三條邊,其中c為斜邊,則有an+bnn(n>2,n∈R)成立。

        解法2:(構(gòu)造指數(shù)函數(shù)法)

        在RtΔABC中,a2+b2=c2,且a

        點評:本解法同樣利用了同向不等式的可加性,只不過后面用到了指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性。

        解法3:(解直角三角形,邊角轉(zhuǎn)換法)

        在RtΔABC中,a=csin A,b=ccos A,則an+bn=cnsinnA+cncosnA=cn(sinnA+cosnA),因為角A為銳角,所以sinA∈(0,1),當(dāng)n>2,n∈N時,則sinnA2A,cosnA2A,所以cn(sinnA+cosnA)n(sin2A+cos2A)=cn,從而有an+bnn。

        點評:解三角形的本質(zhì)是將三角形的邊與角進(jìn)行互相轉(zhuǎn)化。本解法巧妙地運用a=csin A,b=ccos A,將問題轉(zhuǎn)化為比較sinnA與sinnA,cosnA與cos2A的大小,從而利用三角恒等式sin2A+cos2A=1解決問題。

        解法4:(二項式定理法)

        在RtΔABC中,a2+b2=c2,所以

        當(dāng)n為偶數(shù)時,設(shè)n=2k,且k∈N*,則cn=(22+b2)k>a2k+b2k=an+bn;

        當(dāng)n為奇數(shù)時,設(shè)n=2k+1且k∈N*,則

        綜上,對任意n>2,n∈N,都有an+bnn。

        點評:不等式可由二項式定理推導(dǎo)證明??紤]到在鈍角三角形ABC中,若C為鈍角,且a,b,c分別是角A,B,C的對邊,有a2+b22成立,可以得到推論2a

        推論2:在鈍角三角形ABC中,若C為鈍角,且a,b,c分別是角A,B,C的對邊,則有an+bnn,n2。(證明留給讀者思考)

        在學(xué)習(xí)類比推理時,曾經(jīng)將勾股定理推廣到直四面體S-ABC中,過頂點S的三條棱兩兩垂直,則。聯(lián)想此結(jié)論可得到推論3。

        推論3:對于n個正數(shù)a1,a2,a3,…,an均小于c,(證明留給讀者思考)

        美國著名數(shù)學(xué)家波利亞曾說:“當(dāng)你找到第一個蘑菇或做出第一個發(fā)現(xiàn)后,再四處看看,它們總是成群生長的?!笨傊?,在平時解題時我們不能僅僅滿足于得出答案,而應(yīng)該從不同視角去思考問題,甚至可以將問題進(jìn)行一般化推廣,往往會有橫看成嶺側(cè)成峰的效果,一題多解其樂融融。

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