廣東省東莞市東莞中學(xué)松山湖學(xué)校(523808)洪文惜

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2011年版)》指出：“義務(wù)教育階段數(shù)學(xué)課程的設(shè)計(jì),充分考慮本階段學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的特點(diǎn),符合學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律和心理特征,有利于激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣,引發(fā)學(xué)生的數(shù)學(xué)思考;充分考慮數(shù)學(xué)本身的特點(diǎn),體現(xiàn)數(shù)學(xué)的實(shí)質(zhì).”[1]初中數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)課的主要任務(wù)是將所學(xué)的知識(shí)系統(tǒng)化,靈活運(yùn)用所學(xué)的知識(shí)解決問(wèn)題.

反比例函數(shù)是初中函數(shù)的重要組成部分,中考中主要考查反比例函數(shù)的概念、圖象和性質(zhì),常與一次函數(shù)結(jié)合.筆者做了2011年-2018年廣東中考數(shù)學(xué)考題考點(diǎn)分值的統(tǒng)計(jì)(如下表),發(fā)現(xiàn)最近幾年與反比例函數(shù)有關(guān)的考題不斷推陳出新.

表1

由于反比例函數(shù)知識(shí)的特殊性和相對(duì)獨(dú)立性,造成了學(xué)生對(duì)此知識(shí)點(diǎn)的重視不夠,由此形成知識(shí)點(diǎn)欠缺,從而把握不住反比例函數(shù)的中考要求.在學(xué)校教學(xué)開(kāi)放日中,我參與了一節(jié)《反比例函數(shù)復(fù)習(xí)》一圖一課式的磨課和研討,受益匪淺.

一、還生時(shí)空,完成知識(shí)的自我梳理

設(shè)計(jì)意圖學(xué)生自己課前完成思維導(dǎo)圖,老師留有足夠的空間給學(xué)生將零散的知識(shí)內(nèi)容整理,內(nèi)化成自己的認(rèn)知.老師批改后進(jìn)行二次備課,并在課堂上展示優(yōu)秀的復(fù)習(xí)結(jié)構(gòu)圖,既完成了知識(shí)的梳理,又激勵(lì)了學(xué)生.

圖1 學(xué)生的復(fù)習(xí)提綱

二、借題梳理,歸納出本質(zhì)問(wèn)題

復(fù)習(xí)課覆蓋的“基礎(chǔ)知識(shí)”,教師往往都是通過(guò)歸納成條文或畫(huà)圖表概括來(lái)梳理,學(xué)生感覺(jué)枯燥乏味,難以激發(fā)學(xué)習(xí)熱情.因此精選系列簡(jiǎn)單的典型練習(xí),通過(guò)問(wèn)題呈現(xiàn)反比例函數(shù)的概念和一般形式以及圖象與性質(zhì),并通過(guò)針對(duì)性的講解,歸納本質(zhì)問(wèn)題的解法,以增強(qiáng)知識(shí)點(diǎn)之間的融會(huì)貫通與理解.

知識(shí)點(diǎn)1 反比例函數(shù)的概念

1.下列函數(shù)關(guān)系式中,y是x的反比例函數(shù)的是( )

A.y=B.y=C.y=D.y=

2.一個(gè)等腰三角形的面積為12,底邊長(zhǎng)為x,底邊上的高為y,則y關(guān)于x的函數(shù)解析式是( )

A.y=B.x=C.=24 D.y=

設(shè)計(jì)意圖用兩道基礎(chǔ)題復(fù)習(xí)反比例函數(shù)的概念.第1題是反比例函數(shù)的解析式的辨析,在課上還可以引導(dǎo)學(xué)生說(shuō)出的另外兩種形式：xy=2 和y=2x-1,復(fù)習(xí)反比例函數(shù)三種三種常用表達(dá)式.第2 題是三角形面積公式的考查.

知識(shí)點(diǎn)2 用待定系數(shù)法求反比例函數(shù)的解析式

3.已知點(diǎn)(2,3)經(jīng)過(guò)反比例函數(shù)的圖像,則下列各點(diǎn)中,也在這個(gè)圖像上的點(diǎn)是( )

A.(-1,6) B.(-3,2) C.(3,2) D.(6,-1)

設(shè)計(jì)意圖復(fù)習(xí)已知一個(gè)點(diǎn)坐標(biāo)求反比例函數(shù)解析式和k的代數(shù)意義：坐標(biāo)之積不變性.

知識(shí)點(diǎn)3反比例函數(shù)的圖像與性質(zhì)

4.對(duì)于函數(shù)y=下列說(shuō)法中錯(cuò)誤的是( )

A.圖像位于第二、四象限

B.它的圖像既是軸對(duì)稱圖形又是中心對(duì)稱圖形

C.y隨x的增大而增大

D.當(dāng)x ＞2 時(shí),-2＜y ＜0

5.已知點(diǎn)A(2,y1),B(4,y2)都在反比例函數(shù)的圖像上,則y1,y2的大小關(guān)系是____.

6.函數(shù)y=ax+a與在同一直角坐標(biāo)系中的圖像可能是( )

設(shè)計(jì)意圖復(fù)習(xí)反比例函數(shù)的圖象和性質(zhì)：

①k ＞0,圖象位于第一、三象限,在每一個(gè)象限內(nèi),y隨x的增大而增大;k ＜0,圖象位于第二、四象限,在每一個(gè)象限內(nèi),y隨x的增大而減小.

②雙曲線關(guān)于原點(diǎn)成中心對(duì)稱,且關(guān)于直線y=x和直線y=-x成軸對(duì)稱.

知識(shí)點(diǎn)4 比例系數(shù)k的幾何意義

圖2

①若四邊形BFOE的面積為6,則反比例函數(shù)的解析式是____;

②三角形ADO的面積是____.

設(shè)計(jì)意圖復(fù)習(xí)比例系數(shù)k的幾何意義：S矩形=2S△=|k|,教材上沒(méi)有任何說(shuō)明,但在平時(shí)的練習(xí)中出現(xiàn)較多,幫助學(xué)生歸納總結(jié),做題時(shí)可以事半功倍.通過(guò)這兩個(gè)練習(xí),讓學(xué)生感受“數(shù)形結(jié)合”的數(shù)學(xué)思想,通過(guò)“以形助數(shù)”或“以數(shù)解形”實(shí)現(xiàn)抽象思維與形象思維相結(jié)合,使復(fù)雜問(wèn)題簡(jiǎn)單化,抽象問(wèn)題具體化,從而優(yōu)化解題途徑.

三、關(guān)注學(xué)情,尋找課堂生成點(diǎn)

孔子曰：因材施教! 其實(shí)質(zhì)就是關(guān)注學(xué)情! 凡事預(yù)則立,不預(yù)則廢,無(wú)論是在自己熟悉的班級(jí)上課還是借班上課,首先要做的事情就是學(xué)情診斷與預(yù)設(shè).比如,本節(jié)課課前預(yù)習(xí)的設(shè)計(jì)是根據(jù)反比例函數(shù)的各知識(shí)點(diǎn)設(shè)置一道基礎(chǔ)題目合成一份學(xué)習(xí)單,在課前發(fā)放讓同學(xué)們做,幫助梳理知識(shí),鞏固解題方法,照顧到了每位同學(xué).老師收上來(lái)批改后,再進(jìn)行二次備課,將問(wèn)題變式,逐步提高難度,拓展提升,讓學(xué)有余力的同學(xué)得到挑戰(zhàn)并收獲成功的體驗(yàn),避免優(yōu)生出現(xiàn)“這些我都會(huì)了還用聽(tīng)嘛”的尷尬局面.

四、自主編題,完善學(xué)生思維方式

愛(ài)因斯坦曾說(shuō)過(guò)：“提出問(wèn)題比解決問(wèn)題更重要”.讓學(xué)生自主編題,實(shí)質(zhì)上是讓學(xué)生提出問(wèn)題.在學(xué)生編題的過(guò)程中,一方面,要對(duì)所學(xué)的知識(shí)深入理解并靈活運(yùn)用;另一方面,要求學(xué)生有敏銳的眼光、勤于思考的習(xí)慣和創(chuàng)新的精神,并能通過(guò)現(xiàn)象看出問(wèn)題的本質(zhì),有助于培養(yǎng)思維的獨(dú)立性和創(chuàng)造性.

教學(xué)案中的探究性學(xué)習(xí)部分呈現(xiàn)以下題目,讓學(xué)生自己添加一條直線后提出問(wèn)題并求解,從課堂的反應(yīng)來(lái)看,學(xué)生熱情高漲,高質(zhì)量地完成編題作業(yè).

探究學(xué)習(xí)如圖3,反比例函數(shù)圖像經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(1,4).

圖3

(1)求出反比例函數(shù)的解析式;

(2)如果在上圖中,要求添加一條過(guò)點(diǎn)A的直線,請(qǐng)思考：可以如何添加?對(duì)于新圖,試著提出一些數(shù)學(xué)問(wèn)題? 并寫(xiě)出所提問(wèn)題的解答過(guò)程.(參閱做過(guò)的相關(guān)練習(xí),鼓勵(lì)多種不同方法的嘗試)

2012年至2018年間,廣東省數(shù)學(xué)中考中,反比例函數(shù)考點(diǎn)中主要考查反比例函數(shù)的圖象、性質(zhì)、不等式和原點(diǎn)三角形或原點(diǎn)矩形面積.老師收集學(xué)生自編題目,總結(jié)成以下兩個(gè)變式題目,涵蓋了反比例函數(shù)與一次函數(shù)綜合考查.批改之后,可將這兩類問(wèn)題在課堂上小組合作探究并講評(píng).

變式一如圖4,反比例函數(shù)圖像經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(1,4),過(guò)點(diǎn)A的直線與曲線交于點(diǎn)B(-4,b),

(1)求直線AB的解析式;

(2)反比例函數(shù)值大于一次函數(shù)值時(shí)x的取值范圍是____;

圖4

(3)連接OB和OA,求△AOB的面積.

變式二如圖5,反比例函數(shù)圖像經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(1,4),過(guò)點(diǎn)A的直線與曲線交于點(diǎn)B(a,1),

(1)求直線AB的解析式;

(2)一次函數(shù)值大于反比例函數(shù)值時(shí)x的取值范圍是____;

圖5

(3)連接OB和OA,求△AOB的面積.

在教育改革不斷深入的今天,通過(guò)自主編題開(kāi)啟學(xué)生自我思考之門,變被動(dòng)做題為主動(dòng)編題,變被動(dòng)接受知識(shí)為主動(dòng)獲取知識(shí),從而進(jìn)一步自覺(jué)學(xué)習(xí)和感悟數(shù)學(xué),真正成為數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的主人,是對(duì)所學(xué)知識(shí)的靈活運(yùn)用,是創(chuàng)新思維的提煉和升華,是新課堂所追求的至高境界.

五、歸納方法,促進(jìn)學(xué)生經(jīng)驗(yàn)積累

變式一與變式二兩問(wèn)題類似,區(qū)別在于一次函數(shù)與反比例函數(shù)的兩交點(diǎn)位置的不同.兩個(gè)問(wèn)題是學(xué)生自主編的題目,所以完全交由學(xué)生小組合作探究并展示交流.

兩個(gè)變式的第二問(wèn)考查一次函數(shù)值與反比例函數(shù)值大小的比較,此問(wèn)題是易錯(cuò)點(diǎn).對(duì)于這類問(wèn)題,可以教學(xué)生“三線四區(qū)”的劃分方法.以變式一為例,用x= 1,x=-4,y軸三條直線分割平面成 ①- ④四個(gè)區(qū)域,在每個(gè)區(qū)域中依次觀察,圖象在上方的函數(shù)值較大,方法直觀,學(xué)生容易操作并運(yùn)用,讓復(fù)習(xí)達(dá)到事半功倍.

圖6 “三線四區(qū)”

再如,變式問(wèn)題中的第三問(wèn)都是求△OAB的面積.學(xué)生在合作交流時(shí),老師可以引導(dǎo)學(xué)生歸納出求面積的多種方法,并在講臺(tái)上投影展示,以變式二為例,有以下的四種方法可求出△OAB的面積.

圖7

六、拓展訓(xùn)練,提升學(xué)生的思維品質(zhì)

數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)課注重知識(shí)的拓展,拓寬解題思路,幫助學(xué)生培養(yǎng)思維的發(fā)散性,努力提升學(xué)生的思維品質(zhì),最終使學(xué)生掌握試題的精髓,抓住數(shù)學(xué)的本質(zhì).如本次復(fù)習(xí)課設(shè)計(jì)了以下的拓展提升題目,讓學(xué)有余力的同學(xué)進(jìn)行研究.此題在原有的基礎(chǔ)上增加了難度,對(duì)學(xué)生來(lái)說(shuō),是一種思維不斷提升的過(guò)程,具有一定的挑戰(zhàn)性.

拓展提升在矩形AOBC中,OB= 6,OA= 4,分別以O(shè)B,OA所在直線為x軸和y軸,建立平面直角坐標(biāo)系,F是BC邊上一點(diǎn),過(guò)點(diǎn)F的反比例函數(shù)圖像與AC邊交于點(diǎn)E,連接BE,EF.

圖8

(1)當(dāng)點(diǎn)F為BC的中點(diǎn)時(shí),求該函數(shù)的解析式;

(2)當(dāng)k為何值時(shí),△BEF的面積為最大,最大面積是多少?

(3)在(2)的條件下,在x軸上是否存在一點(diǎn)P,使S△P OE=S△BEF? 若存在請(qǐng)求出點(diǎn)P坐標(biāo).若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.

七、關(guān)注思想方法,提升學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)

提高學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)是新課程改革的重要目標(biāo)之一.數(shù)學(xué)課程改革向縱深處發(fā)展的過(guò)程中,數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的培養(yǎng)被視為“方向標(biāo)”,數(shù)學(xué)教學(xué)離不開(kāi)數(shù)學(xué)思想方法,數(shù)學(xué)教學(xué)的核心是數(shù)學(xué)思想方法的滲透.《課標(biāo)》(2011年版)提醒我們數(shù)學(xué)思想蘊(yùn)含在數(shù)學(xué)知識(shí)的行程、發(fā)展和應(yīng)用過(guò)程中,是數(shù)學(xué)知識(shí)和方法在更高層次上的抽象和概括.例如,在本節(jié)復(fù)習(xí)課的教學(xué)中,以一個(gè)反比例函數(shù)的圖形為基礎(chǔ),通過(guò)添加一條直線生成新問(wèn)題,體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的思想.變式問(wèn)題中,對(duì)于“反比例函數(shù)值大于一次函數(shù)值時(shí)x的取值范圍是____.”這一問(wèn)題,運(yùn)用“三線四區(qū)”方法依次做出判斷,用到數(shù)形結(jié)合(畫(huà)出滿足條件的圖形和直線)、分類討論(對(duì)不同區(qū)域進(jìn)行討論)的思想.數(shù)學(xué)思想是數(shù)學(xué)的精髓,它蘊(yùn)含于數(shù)學(xué)知識(shí)的發(fā)生、發(fā)展和應(yīng)用的過(guò)程之中.教師應(yīng)以數(shù)學(xué)知識(shí)為載體,充分挖掘和滲透數(shù)學(xué)的思想方法,讓學(xué)生不斷地積累、不斷地感悟、不斷地運(yùn)用,促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)思想的形成與發(fā)展,從而不斷提高思維能力和創(chuàng)新能力,全面提升學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)課中,教師可從一個(gè)基本圖形或一道題目(一般是課本例、習(xí)題和中考試題)出發(fā),以一貫之,開(kāi)放性地設(shè)計(jì)問(wèn)題,鼓勵(lì)學(xué)生從多角度解決問(wèn)題,并嘗試讓學(xué)生自主編題,提出問(wèn)題,為后續(xù)進(jìn)一步挖掘題目作鋪墊.同時(shí)關(guān)注學(xué)情,動(dòng)態(tài)生成,讓課堂更加自然、流暢,滲透數(shù)學(xué)思想方法,讓數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)課成為學(xué)生的主陣地.