江蘇啟東市南苑中學(xué)(226200)李衛(wèi)星

江蘇啟東市折桂中學(xué)(226200)顧向紅

思維是人腦對客觀現(xiàn)實(shí)的概括和間接的反映,反映的是事物的本質(zhì)及內(nèi)部的規(guī)律性.是一個(gè)長期積累的過程.因此分析問題解決問題的思維方法,是很難通過一兩道題就掌握的,需要很長時(shí)間的鍛煉和反思、數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中需要進(jìn)行判斷與決策的地方遠(yuǎn)遠(yuǎn)多于我們的想象,可以說,數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的過程就是解決問題的過程.而大腦是解決這些問題的唯一工具.要正確利用這個(gè)工具,這就涉及思維的某些概念,諸如本質(zhì),方法和運(yùn)作.正確的思維方方法,是一切高效學(xué)習(xí)的基礎(chǔ).解決問題的核心就是思維方法靈活自然地運(yùn)用.人類在思考問題的過程中,自身的思維習(xí)慣、性格、知識積累無不都在悄悄地影響著思維的過程,要克服某些不良影響,得到積極影響.這就要求我們在平時(shí)的教學(xué)當(dāng)中,我們進(jìn)行具有足夠深度的總結(jié)和提煉.根據(jù)筆者多年的教學(xué)經(jīng)歷,發(fā)現(xiàn)如果只是練一題講一題,或者講一題用多種方法,而不再一個(gè)問題上縱向深入,是很難達(dá)到好的效果的.順著這個(gè)教學(xué)思路,筆者將思維的培養(yǎng)分成個(gè)運(yùn)作的方向分成3 個(gè),這3 個(gè)不同的思維方式,既是相互獨(dú)立,也是相互聯(lián)系的.筆者將以兩道典型題為例,闡述如何根據(jù)這3 個(gè)不同的方式解決具體問題.同時(shí)也會通過這兩道題闡述四種思維方式之間的對立統(tǒng)一關(guān)系.

第一點(diǎn)：尋找邏輯立足點(diǎn),多角度思考,殊途同歸,開拓視野

很自然地,問題出現(xiàn)了,那就是我們應(yīng)該怎樣思維? 從最不嚴(yán)謹(jǐn)?shù)慕嵌日f,思維是一系列問題我們曾經(jīng)出現(xiàn)的想法,從這個(gè)角度來說,任何人任何時(shí)刻都在思維.但是僅僅是一些類孤立而且毫無頭緒的思索,是無法成為有意義的思維活動的.因此從思維的實(shí)用性來說,有序連貫,帶有目的性,有立足點(diǎn)的思考才是真正的思維活動,否則僅僅是“想”而已.但是每個(gè)學(xué)生的邏輯出發(fā)點(diǎn)是不同的,學(xué)生的知識掌握程度也存在客觀差距.所以,每個(gè)人的思維活動也是多樣性的,這種多樣性即來自于邏輯的立足點(diǎn)的不同.既然每個(gè)人對問題都有不同角度的看法.那么利用邏輯出發(fā)點(diǎn)的不同解答疑惑,將是一種良好的方法.

如圖,AB為⊙O直徑,D是弧BC的中點(diǎn),DE⊥AC交AC的延長線于E.

(1)求證：DE是⊙O的切線;

(2)若DE=3,⊙O的半徑為5,求AD的長.

學(xué)生A：連接DO,并過D點(diǎn)作DF⊥AB.因?yàn)槭荁C中點(diǎn),所以∠EAD= ∠DAB,所以AD是角平分線,所以ED=DF,所以DF= 3.因?yàn)榘霃綖?,所以O(shè)D= 5.因?yàn)椤螪FO=90°,所以DF2+OF2=DO2,32+OF2=52,OF= 4.因?yàn)锳O= 5,OF= 4,所以AF= 9,因?yàn)椤螪FA= 90°,所以DF2+AF2=AD2,32+92=AD2,AD=

解析學(xué)生A 從角平分線上出發(fā),目的是讓各個(gè)分散的條件整合起來,使其能夠在我們的解題范圍內(nèi).由角平分線引發(fā)“角平分上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等”,過D點(diǎn)做垂線,在利勾股定理即可證得.

學(xué)生B：連接OD,并過O點(diǎn)作OG⊥EA.因?yàn)镋D為DO切線,所以ED⊥OD,所以∠EDO= 90°.因?yàn)镈G⊥EA,所以∠AED= 90°.因?yàn)樗倪呅蜤GOD是矩形,所以ED=OG= 3,EG=OD= 5.因?yàn)椤螦GD= 90°,所以AG2+GD2=AD2,AG2+32= 52,AG= 4.因?yàn)锳G= 4,EG= 5,所以AE= 9.因?yàn)椤螦ED= 90°,所以AE2+ED2=AD2,92+32=AD2,AD=

解析學(xué)生B 同樣是為了將條件整合在一起,但出發(fā)點(diǎn)不同.他從90°出發(fā),利用矩形巧妙的實(shí)現(xiàn)轉(zhuǎn)換,一樣達(dá)到了目的,采用勾股定理即可證得.

這道題的兩種解題角度,并不是想說明這兩種思維方式水平高低,而是顯示這樣一個(gè)道理：思維是立足于某種根據(jù)的東西.在數(shù)學(xué)題中,這個(gè)根據(jù)可能是一個(gè)直角,一個(gè)定理.如果我們在解題陷入誤區(qū)和障礙,并且花費(fèi)大量時(shí)間時(shí),我們要做的就是快速的轉(zhuǎn)換角度.從其他條件入手,重新審題.假設(shè)在選取角平分線法(方法A)解答問題時(shí),陷入障礙無法解答,那么他可以重新審題,將目光轉(zhuǎn)到直角上,快速切換思路.這里還是要強(qiáng)調(diào),并不是每個(gè)學(xué)生在將注意轉(zhuǎn)移到直角上就能得出B 的結(jié)論,我們承認(rèn)學(xué)生間知識掌握程度的客觀差距,任何解決問題的過程都是以先驗(yàn)的東西為前提,經(jīng)大腦整合提煉的.但是知識掌握程度不好的同學(xué),還是可以嘗試此法,用以開拓思路.

第二點(diǎn)：脫離問題本身,引導(dǎo)思維向更深處發(fā)展

心理學(xué)認(rèn)為,人都不可避免的受著各種各樣的偏見的影響,這些偏見就是我們常說的“思維定勢”.思維定勢并非完全有害無用,從思維定勢的形成來說,他來自于我們的生活經(jīng)驗(yàn),因?yàn)榫哂幸欢ǖ膶?shí)際意義,才逐漸被我們接受,以至于成為一種定勢約束我們的思維.

我們接著看上面那道題第三問.有學(xué)生C 的解答如下,他從方程思想的角度出發(fā),得到正確的解答.在這里學(xué)生已經(jīng)跳出幾何題的束縛,高屋建瓴地看待問題,尋找普適方法：方程思想.這也是數(shù)形結(jié)合思想的另一體現(xiàn).要做到這點(diǎn),跳出幾何的舒服,破除思維定勢,與學(xué)生的自我調(diào)節(jié)和教師的傳道授業(yè)都有關(guān).教師的任務(wù)是傳遞各種信息,在平時(shí)的教學(xué)和評獎中,注意提示各種有效甚至有效但也許無用的信息,促進(jìn)學(xué)生的獨(dú)立思考,而學(xué)生要做的就是,在經(jīng)過長期自我調(diào)節(jié)與約束,控制大腦的思考方式,這也符合思維形成的規(guī)律.自主提取信息并分析信息,結(jié)合學(xué)生自己的經(jīng)驗(yàn),接下讓學(xué)生進(jìn)行比較,逐步對比,分析依據(jù),并同時(shí)展開討論,“在死胡同中進(jìn)行多次迂回探索,痛苦探索并快樂”.如果學(xué)生沒有AB 的思路,大可以不要糾結(jié)于幾何本身,而從大腦里尋找新信息.我們從這里可以得到一個(gè)結(jié)論：如果問題本身無法給我們突破,那么我們可以從問題之外尋找突破.

圖2

學(xué)生C：連接DB.因?yàn)镈是CB中點(diǎn),所以∠EAD=∠DAB.因?yàn)锳B是直徑,所以 ∠ADB= 90°,所 以∠AED= ∠ADB.因 為∠AED= ∠ADB,∠EAD=∠DAB,所以△EAD～△DAB.設(shè)AD=x,因?yàn)椤螦DB=90°,所以AD2+DB2=同乘x2,可得x4+ 900 = 100x2,x4-100x2=-900,x4-100x2+2500=1600,(x2-50)2=1600,x2-50 =±40,x21= 10,x22= 90,所以因?yàn)楫?dāng)時(shí),∠EAB ＞45°,超出圓的范圍,所以不符合,所以所以

第三點(diǎn)：從殊途不歸在挖掘兩點(diǎn),反饋再思,積累方法

但是從人的習(xí)慣上來說,人類都是傾向于已經(jīng)習(xí)慣的東西,經(jīng)驗(yàn)的東西通常是人的第一選擇.同時(shí)人的大腦的思維方式又存在多種路徑,在習(xí)慣的驅(qū)使下,人就會下意識地選擇經(jīng)驗(yàn),抵觸細(xì)致的分析.從這個(gè)角度來說,思維如果存在多種捷徑,將是有利也有弊.一方面,他提高了人的工作效率.而另一方面,籠統(tǒng)的看一個(gè)問題要比細(xì)致的分析簡單得多,選擇捷徑也將降低人對問題的認(rèn)知程度.也就是說,有時(shí)候時(shí)候,我們會殊途不歸.這包括三種情況：邏輯立足點(diǎn)本身的錯(cuò)誤,論據(jù)的缺乏與不足,以及解答者知識水平的限制.我們將通過下題繼續(xù)說明這點(diǎn).

(14 分)正方形ABCD邊長為4,M、N分別是BC、CD上的兩個(gè)動點(diǎn),當(dāng)M點(diǎn)在BC上運(yùn)動時(shí),保持AM和MN垂直,

圖3

(1)證明：Rt△ABM～Rt△MCN;

(2)設(shè)BM=x,梯形ABCN的面積為y,求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式; 當(dāng)M點(diǎn)運(yùn)動到什么位置時(shí),四邊形ABCN面積最大,并求出最大面積;

(3)當(dāng)M點(diǎn)運(yùn)動到什么位置時(shí)Rt△ABM～Rt△AMN,求x的值.

學(xué)生A：因?yàn)镽t△ABM～R t△AMN,所以同 理由勾股定理得,所以

學(xué)生B：M為中點(diǎn)若相似X= 2.因?yàn)椤鰽MN～△ABM,所以又△ABM～ΔMCN,所以所以所以BM=MC,所以BM=MC=2,所以M在中點(diǎn).

解析利用三角形相似將兩對三角形常規(guī)思維從角出發(fā),利用垂直及角平分線的性質(zhì)得出邊的,求出點(diǎn)M.

學(xué)生C：過M作MF⊥AN于F,因?yàn)椤鰽BM～△AMN,所以∠3 = ∠4,∠1 = ∠5.又因?yàn)椤鰽BM～△MCN所以∠1 = ∠6,所以∠3 = ∠4,∠5 = ∠6,所以BM=MF,CM=MF,所以BM=MC=2,所以M在中點(diǎn).

解析這種方法一度從邊考慮常角形的中間△ABM抓住關(guān)系,通過的等效替換,得出各邊的比等得出關(guān)系式求出M的位置M為中點(diǎn),若相似X=2.

關(guān)于學(xué)生B 和C 的解答方法的不同,已經(jīng)在第一點(diǎn)中闡明.學(xué)生A 建立方程但形成無理方程化成整式方程確實(shí)高次方程,是基于思維方法2 的跳出思維定勢.然而無法解決,學(xué)生A 的方法確實(shí)不能解嗎? 顯然,從教師的角度來說,當(dāng)然是可解的.因此學(xué)生A 的問題在于自身知識的限制.既然幾何方法可以得到結(jié)論,學(xué)生A 代數(shù)方法也是可解的,我們是不是應(yīng)該回顧解題過程,再次從代數(shù)方法中挖掘新的東西.

抓住思維的撞擊點(diǎn)銜接點(diǎn)轉(zhuǎn)接點(diǎn),打破思考問題的封閉性,深化對知識理解,加深知識與方法的聯(lián)系的認(rèn)識,再次反饋原題,積累了新的方法,在本題就是整體思想.在別的題目中,可能是其他方法,足見沙漠中也是可以有綠色,殊途不歸中也可以找到亮點(diǎn).

總結(jié)培養(yǎng)“聯(lián)系”的思考方式.

這里不再舉新題目闡述,也不再闡述具體的方法.解題的方法和指導(dǎo)思想是多種多樣的,任何一道題可能對應(yīng)著很多解題方法,也對應(yīng)著很多的解題思想,比如數(shù)形結(jié)合思想,分類討論思想,方程思想等.同樣的,思維方法也是種類繁多,比如逆向思維法,發(fā)散思維方法、收斂思維方法、求異思維方法、逆向思維方法、缺點(diǎn)列舉思維方法、檢核思維方法、縱向思維方法、橫向思維方法、縱橫向思維方法.然而這些讓然離不開“聯(lián)系”兩個(gè)字,在解題中我們發(fā)現(xiàn),任何方法的應(yīng)用,不外乎是將幾個(gè)知識點(diǎn)的聯(lián)系后的優(yōu)化.從中國古代的思想上來說,萬物都處在相互的聯(lián)系中,并非孤立存在.這個(gè)思想同樣也在馬克思主義哲學(xué)中提到,即任何事物都處于普遍聯(lián)系之中,這就是聯(lián)系的普遍性.聯(lián)系的觀點(diǎn),不僅在自然科學(xué),比如德布羅意發(fā)現(xiàn)物質(zhì)的波粒二象性.也在人文社科領(lǐng)域有著重要的作用,比如銀行利率的變動將導(dǎo)致人們消費(fèi)意識的變化.

回到數(shù)學(xué)這個(gè)話題本身,學(xué)生要在數(shù)學(xué)上有一定的進(jìn)步,學(xué)會“聯(lián)系”的觀點(diǎn)是必須的.任何學(xué)業(yè)上有所進(jìn)步的人,總是有意識或者無意識地學(xué)會了“聯(lián)系”.實(shí)施上,當(dāng)我們解答完一道難題時(shí),我們?nèi)绻仡欘}目,我們將發(fā)現(xiàn),我們是不是將A 知識點(diǎn)和B 知識點(diǎn)結(jié)合起來,才得到了C 結(jié)論.雖然單獨(dú)從A 或者B 我們也可以得到某些孤立的結(jié)論,比如C1 和C2,但是如果我們僅僅得到孤立的結(jié)論,我們是遠(yuǎn)遠(yuǎn)不能解決問題的.從命題者的角度來說,一道難題并不是簡單的從A 到B 的邏輯推理,而是多種知識點(diǎn)的整合,也就是聯(lián)系,才能讓學(xué)生多角度調(diào)動知識點(diǎn),全面考察學(xué)生能力.“聯(lián)系”觀點(diǎn)的建立,其重要性不言而喻.美國著名哲學(xué)家和教育理論家杜威認(rèn)為,好的思維習(xí)慣的培養(yǎng),取決受教育者的背景性格已經(jīng)生活環(huán)境,同時(shí)也取決于施教者的引導(dǎo).因此無論是前面三種具體的方法,還是“聯(lián)系”觀點(diǎn)的培養(yǎng),都離不開這兩個(gè)個(gè)條件.這也是培養(yǎng)好的思維方式的唯一途徑.