楊胡生

【摘要】本文對(duì)根據(jù)增殖算法得到的素?cái)?shù)分布規(guī)律進(jìn)行了深入的探討，并在此基礎(chǔ)上創(chuàng)建了素?cái)?shù)周期循環(huán)分布表，計(jì)算出兩個(gè)相鄰素?cái)?shù)的最大間隙不超過420，找出了105個(gè)位缺帶對(duì)稱群，并用位缺帶全方位多重對(duì)稱性證明了哥德巴赫猜想.

【關(guān)鍵詞】增殖算法;位缺帶;對(duì)稱性;哥德巴赫

哥德巴赫猜想：任何大于4的偶數(shù)都可以用2個(gè)素?cái)?shù)之和表示.

題意的要求有兩點(diǎn)必須滿足，其一是偶數(shù)滿足充分大，直至無窮，其二是滿足偶數(shù)的連續(xù)性，缺一不可.為此用下列步驟證明：

一、確定先決條件

必須是應(yīng)用增殖算法得到的素?cái)?shù)周期循環(huán)分布規(guī)律進(jìn)行證明.

引理1：h=（3+2x）p.

引理2：p=Py+210m.

引理3：2C=（Pa+Δ）+（Pb-Δ）=Pa+Pb.

二、證明素?cái)?shù)的稀疏程度

素?cái)?shù)隨著數(shù)值的增大分布的越來越稀疏，如果稀疏程度達(dá)到任意大甚至無窮的時(shí)候，連素?cái)?shù)都不存在還何談證明哥德巴赫猜想呢！那么素?cái)?shù)為什么會(huì)越來越稀疏？稀疏到什么程度？究其原因是素因子形成的合數(shù)占據(jù)的位缺會(huì)越來越多，所以產(chǎn)生的素?cái)?shù)的機(jī)會(huì)就越來越少，但是，素因子越大其占據(jù)位缺的能力卻越來越小，那么大素因子形成的合數(shù)能不能占滿位缺帶呢？如果占滿了位缺帶那還能有素?cái)?shù)產(chǎn)生和生存的空間嗎？這就是下面我們要證明的問題.

素因子越大其產(chǎn)生的合數(shù)占據(jù)位缺的能力越低，那么究竟低到什么程度，請(qǐng)看下面的計(jì)算：

首先要選取參數(shù)，一是選取一個(gè)素?cái)?shù)，二是選取與該素?cái)?shù)相應(yīng)的自然數(shù)段，令自然數(shù)段為n，素因子為P;，因?yàn)樗匾蜃釉鲋车絇;^2后才能占據(jù)位缺，所以得到下列公式：

Zs=[（n-P;^2）/2P;x16/35]/[（n-P;^2）/210]

=210/P;x8/35.（1）

定理1素因子每周占據(jù)的位缺數(shù)與素因子的大小成反比.

Zs——每一周期素因子的個(gè)數(shù).

根據(jù)公式（1），我們給出5個(gè)素?cái)?shù)：99809，5051117，20021689，60072223，80054497，以它們?yōu)樗匾蜃樱?jì)算每一個(gè)形成的合數(shù)每一周期平均占據(jù)的位缺數(shù)：

素因子99809形成的合數(shù)每周平均占據(jù)的位缺數(shù)：

從以上計(jì)算可以證明素因子越大占據(jù)位缺的能力越弱，這一點(diǎn)從公式（1）也可以得到證明，210對(duì)一個(gè)大素因子是一個(gè)很小的常數(shù)，所以其比值最后趨近于0，它不占據(jù)位缺，所以永遠(yuǎn)會(huì)有新的更大的素?cái)?shù)產(chǎn)生，這也證明了素?cái)?shù)是無窮的.

三、證明素?cái)?shù)的最大間隔

將48個(gè)模位缺數(shù)連乘得到模位缺合數(shù)M：

M=∏48i=1Si，（2）

其中：S1=1，S2=11，S3=13，…，S47=199，S48=209.

現(xiàn)在就把這48個(gè)數(shù)乘起來：

M=1×11×13×17×19×…×193×197×199×209

=22241009528609813382518389239606×

10^77×114286782181.

乘積的前段是48個(gè)位缺數(shù)中去掉121、143、169、187、209等5個(gè)數(shù)后其余43個(gè)位缺數(shù)的乘積，這個(gè)乘積可以被43個(gè)位缺數(shù)中的任何一個(gè)整除，如果用這43個(gè)數(shù)接連去除其結(jié)果肯定是“0”.當(dāng)然，這43個(gè)數(shù)都是素?cái)?shù)，都是前段乘積的素因子，前段乘積就是它們的合數(shù).

后段的5個(gè)數(shù)占據(jù)了5個(gè)位缺，它們的乘積是114286782181，當(dāng)然它也是一個(gè)合數(shù)，顯然是121、143、169、187、209的合數(shù)，它們每一個(gè)都不是素?cái)?shù)，都是合數(shù)：

121是11^2，

143=11×13，

169=13^2，

187=11×17，

209=11×19.

所以這5個(gè)數(shù)都不是后段乘積的素因子，現(xiàn)在一個(gè)重要的問題擺在了面前：“后段乘積（114286782181）是否能被其他5個(gè)素因子除盡？”

我們?cè)嚦幌掠?1×13×17×19的積去除它，如果得到的商剛好是素?cái)?shù)那么就說明這5個(gè)位缺可以被占滿，否則就說明還存在位缺.

114286782181/11/13/17/19=2474329.

2474329/11=224939，

2474329/13=190333，

計(jì)算結(jié)果2474329是合數(shù)，它沒有資格占據(jù)位缺，所以有2個(gè)位缺存在.

為了測(cè)試后段乘積能不能被除盡我們選取與121、143、169、187、209這5個(gè)數(shù)相近的素?cái)?shù)來做素因子，用它們來除后段乘積，例如，選取113、149、157、179、199，這5個(gè)都是素?cái)?shù)，現(xiàn)在試除一下：

114286782181/113=不能整除.

114286782181/149=不能整除.

114286782181/157=不能整除.

114286782181/179=不能整除.

114286782181/199=不能整除.

事實(shí)證明用121、143、169、187、209以外的任意合數(shù)都不能整除114286782181，如果用以上5個(gè)合數(shù)的因子試除又當(dāng)如何呢？請(qǐng)看：

114286782181/11^5=709631.

709631/13^3=323.

323/17=19.

后段乘積實(shí)際有11，13，17，19等4個(gè)素因子，那么后段乘積還剩1個(gè)位缺，這也就證明了每一個(gè)周期的位缺永遠(yuǎn)不會(huì)被占滿，當(dāng)然每一個(gè)周期都有素?cái)?shù)產(chǎn)生，從而證明每一個(gè)周期至少有1～2個(gè)素?cái)?shù)，并有素?cái)?shù)定理：

1<每一周期素?cái)?shù)個(gè)數(shù)，且P;+1-P;<420.（3）

定理2相鄰兩個(gè)素?cái)?shù)的最大距離不超過420（2個(gè)周期）.

以上定理是依據(jù)以下猜想得出，即：

猜想：相同個(gè)奇合數(shù)之積不能被相同個(gè)素?cái)?shù)分解.

∏∞i=1hi≠∏∞i=1pi.當(dāng)且僅當(dāng)pi≥11.（4）

素?cái)?shù)越來越稀疏的說法有缺陷，按照這種說法素?cái)?shù)不是稀疏到趨近0嗎？其實(shí)不然，素?cái)?shù)的稀疏是有極限的，其極限是每一個(gè)周期不少于1～2個(gè).

位缺帶空間為什么永遠(yuǎn)填不滿，其原因有三點(diǎn)：

其一，每一個(gè)素因子都要形成無窮多的合數(shù)，每一個(gè)合數(shù)不是占據(jù)合數(shù)帶就是占據(jù)位缺帶，但是，它們都是活躍分子，這一次占據(jù)一個(gè)位置下一次就換另外一個(gè)位置，再下一次又換一個(gè)新位置，同時(shí)在這一個(gè)周期占據(jù)了這些位置，下一個(gè)周期一定更換另外一些位置，永無止境地變換，為產(chǎn)生位缺（素?cái)?shù)）創(chuàng)造了條件.

其二，位缺帶是永無止境無限延長(zhǎng)的輻射帶，相比之下素因子越大其占據(jù)位缺的能力越來越弱，即使想要占據(jù)更多的位缺帶終因鞭長(zhǎng)莫及而無能為力，加之于大素?cái)?shù)的稀疏，其合成的合數(shù)也就越來越少，這也是位缺帶不能被占滿的原因之一.

其三，在充分大的每一個(gè)周期內(nèi)只能有1～2個(gè)位缺，這1～2個(gè)位缺是不會(huì)被填滿的，永遠(yuǎn)保持相對(duì)平穩(wěn)的狀態(tài)，就是每周期的素?cái)?shù)不少于1～2個(gè).

四、建立位缺帶對(duì)稱群并證明哥德巴赫猜想

素?cái)?shù)周期循環(huán)分布表是輻射至無窮的開放性數(shù)陣圖，是開放的無窮的自然正整數(shù)的矩陣，一切自然數(shù)都可以在其中得到表示，該矩陣有105列，當(dāng)以任意列為對(duì)稱軸都可以找到一批對(duì)稱的位缺帶，形成各自的對(duì)稱群，共有8類對(duì)稱群，分為105種分支對(duì)稱群;當(dāng)以210為模時(shí)每一個(gè)偶數(shù)的中心數(shù)的同余數(shù)都與一個(gè)對(duì)稱群相對(duì)應(yīng)，則全部偶數(shù)就與105個(gè)對(duì)稱群相對(duì)應(yīng)，并可以用該對(duì)稱群表示.對(duì)稱群分類如下：

1類（中心對(duì)稱群）：有24對(duì)對(duì)稱位缺帶.

2類（根3類）：有27種分支對(duì)稱群，其中26種分支對(duì)稱群中各有15對(duì)對(duì)稱位缺帶，另外1種分支對(duì)稱群有18對(duì)對(duì)稱位缺帶.

3類（根3-5類）：有6種分支對(duì)稱群，且這一分支對(duì)稱群中有20對(duì)對(duì)稱位缺帶.

4類（根3-7類）：有1種分支對(duì)稱群，每一種分支對(duì)稱群中各有18對(duì)對(duì)稱位缺帶.

5類（根5類）：有12種分支對(duì)稱群，每一種分支對(duì)稱群中各有10對(duì)對(duì)稱位缺帶.

6類（根5-7類）：有2種分支對(duì)稱群，每一種分支對(duì)稱群中各有12對(duì)對(duì)稱位缺帶.

7類（根7類）：有8種分支對(duì)稱群，每一種分支對(duì)稱群中各有9對(duì)對(duì)稱位缺帶.

8類（模位缺類）：有48種分支對(duì)稱群，每一種分支對(duì)稱群中各有7對(duì)對(duì)稱位缺帶.

以上8類對(duì)稱群105種分支對(duì)稱群涵蓋了全部自然數(shù)，每一種對(duì)稱群中都有無窮多的等價(jià)的數(shù)對(duì)存在，任意連續(xù)的大偶數(shù)每一個(gè)都可以用相當(dāng)數(shù)量的等價(jià)的數(shù)對(duì)來表示，如果這些等價(jià)的數(shù)對(duì)有一部分是素?cái)?shù)對(duì)則就可以證明哥德巴赫猜想成立，下面我們?nèi)∧Ｎ蝗鳖悓?duì)稱群中的11-116分支對(duì)稱群進(jìn)行討論：

My所在的直線是該對(duì)稱群的對(duì)稱軸，直線旁標(biāo)注的數(shù)字是中心數(shù)

My兩側(cè)的直線是左右對(duì)稱的位缺帶，過每一個(gè)中心數(shù)都有一條直線進(jìn)行旋轉(zhuǎn)并與每一條位缺帶相交，其交點(diǎn)上有黑點(diǎn)則表示該黑點(diǎn)是一個(gè)素?cái)?shù)，否則是合數(shù).

底部橫向的數(shù)字表示0周期的模位缺數(shù).

圖中的計(jì)算關(guān)系如下：令對(duì)稱中心左側(cè)交點(diǎn)上的數(shù)=a，

對(duì)稱中心右側(cè)交點(diǎn)上的數(shù)=b，

對(duì)稱位缺帶上對(duì)稱的兩點(diǎn)到對(duì)稱中心的距離=Δ，于是有：

R=2My=（a+Δ）+（b-Δ）=a+b.（5）

如果a與b皆為素?cái)?shù)則哥德巴赫猜想被證明成立.

上面的圖形僅僅是一幅無限拓展的圖形的最初的一段，其實(shí)每一條位缺帶都可以無限延長(zhǎng)到無窮，并反映出包含在該對(duì)稱群中所有與偶數(shù)等價(jià)的素?cái)?shù)對(duì)，現(xiàn)在僅就其中的偶數(shù)之一找出對(duì)稱的素?cái)?shù)對(duì)，例如，令R=862，My=431，則：431≡11（mod210）.

在0與4周期對(duì)稱的素?cái)?shù)對(duì)有：23+839=41+821=53+809=59+803=101+761=179+683=862等共有6對(duì)素?cái)?shù)對(duì).

在1與3周期對(duì)稱的素?cái)?shù)對(duì)有：263+599=269+593=293+569=862等共有3對(duì)素?cái)?shù)對(duì).

在2周期內(nèi)對(duì)稱的素?cái)?shù)對(duì)有：419+443=401+461=383+479=359+503=353+509=862等共有5對(duì)素?cái)?shù)對(duì).

在對(duì)稱軸上對(duì)稱的素?cái)?shù)對(duì)有11+851=862共有1對(duì).

以上共有15對(duì)素?cái)?shù)對(duì)滿足等式要求，每一對(duì)素?cái)?shù)對(duì)都是等價(jià)的，都可以替代其余每一個(gè)素?cái)?shù)對(duì).

在11-116對(duì)稱群中可以得到以My=11+210m為中心的偶數(shù)R的無限多的素?cái)?shù)對(duì)，且隨著R值的增大其素?cái)?shù)對(duì)也越來越多，即使R→∞都有小于R-210內(nèi)的素?cái)?shù)與0周期的模位缺數(shù)組成素?cái)?shù)對(duì)，即使當(dāng)模位缺數(shù)不是素?cái)?shù)（如121，143，169，187，209）時(shí)也可以由其他素?cái)?shù)對(duì)替代，所以證明任意大于4的偶數(shù)都可以用2個(gè)素?cái)?shù)之和表示.

以上是僅就位缺帶對(duì)稱群中的11-116分支對(duì)稱群進(jìn)行了討論，同理，該計(jì)算方法適用于所有的位缺帶對(duì)稱群，且105個(gè)分支對(duì)稱群包含了無窮多的素?cái)?shù)對(duì)，我們把這種現(xiàn)象稱為“位缺帶全方位多重對(duì)稱性”，所以任何大偶數(shù)盡可以充分大都可以在位缺帶對(duì)稱群中找到答案，即：

R=2My=a+b=（a+Δ）+（b-Δ）

∵若b∈{R-1，R-2，R-3，…，R-210}，且ba，

∴則b=|R-a|，則可將（5）改為：

R=2My=a+b=（a+Δ）+（|R-a|-Δ），且Δ→∞.（6）

或簡(jiǎn)化為：

R=2My=a+b=a+|R-a|.（6-1）

式中a={3，5，7，S1，S2，S3，…，S47，S48}.

定理3當(dāng)R≥6使得對(duì)中心數(shù)My=R2在位缺帶對(duì)稱群中存在任意多素?cái)?shù)對(duì)a，b，且必有一對(duì)是a+|R-a|構(gòu)成的素?cái)?shù)對(duì)，則R=2My=a+b=a+|R-a|成立.

（6-1）式是證明哥德巴赫猜想的殺手锏.

例求R=80188522的素?cái)?shù)對(duì).

解求80188522的中心數(shù)My，My=80188522/2=40096261.

求40096261以210為模的同余數(shù)，40096261/210=190925余11.

應(yīng)用11-116分支對(duì)稱群求素?cái)?shù)對(duì)a與b：

在0周期有素?cái)?shù)（也是模位缺數(shù)）即a=23、41、53、59、83、89、101，

根據(jù)（6-1）式R=a+|R-a|=23+（80188522-23）=23+80188499=80188522.

根據(jù)公式（5）可以求出構(gòu)成偶數(shù)80188522的素?cái)?shù)對(duì)在380000對(duì)以上.

同本例，可以求出構(gòu)成任意大偶數(shù)的所有素?cái)?shù)對(duì)，并證明哥德巴赫猜想成立.

注：有關(guān)每一個(gè)周期至少有1～2個(gè)素?cái)?shù)的論述將在筆者的《相鄰素?cái)?shù)的最大間隔》一文中給出另外的證明.