高雄飛

【摘要】本文介紹了多元函數(shù)在一點(diǎn)處連續(xù)、偏導(dǎo)數(shù)，可微分的定義，并通過具體反例來說明多元函數(shù)在一點(diǎn)處連續(xù)、偏導(dǎo)數(shù)存在、可微、偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)的關(guān)系.

【關(guān)鍵詞】多元函數(shù);連續(xù);偏導(dǎo)數(shù);可微

一、引言

理工科專業(yè)在高等院校中一直是重點(diǎn)建設(shè)專業(yè)，其中《高等數(shù)學(xué)》這門課更是作為重點(diǎn)基礎(chǔ)課程來進(jìn)行.這門課對(duì)學(xué)生的數(shù)學(xué)知識(shí)掌握和后期的專業(yè)課學(xué)習(xí)提供一個(gè)很好的基礎(chǔ).高等數(shù)學(xué)課程中對(duì)一元函數(shù)和多元函數(shù)的教學(xué)是作為重點(diǎn)內(nèi)容對(duì)待，也是基礎(chǔ)內(nèi)容之一.學(xué)生在學(xué)習(xí)這一部分時(shí)容易產(chǎn)生很多困難，比如，把導(dǎo)數(shù)和偏導(dǎo)數(shù)、可微的定義和關(guān)系弄混.導(dǎo)致這一問題的原因主要是教師在闡述多元函數(shù)時(shí)沒有講解清楚其之間的關(guān)系，可通過反例舉證，進(jìn)一步來理解它們之間的關(guān)系，使學(xué)生在學(xué)習(xí)這一部分內(nèi)容時(shí)受到啟發(fā).

二、多元函數(shù)連續(xù)與偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)等的聯(lián)系

通過多元函數(shù)在一點(diǎn)處偏導(dǎo)數(shù)存在，可微，連續(xù)的定義，我們可以推導(dǎo)出它們之間存在的關(guān)系，《高等數(shù)學(xué)》教材給出了相關(guān)的定理[1]，在這里不再做詳細(xì)說明，本文直接給出它們之間相互關(guān)系的邏輯圖，如圖1所示，并給出不成立情況下的反例，來加深學(xué)生對(duì)它們之間關(guān)系的理解.

圖1多元函數(shù)偏導(dǎo)數(shù)存在、可微、連續(xù)的關(guān)系邏輯圖

1.函數(shù)可微與偏導(dǎo)數(shù)存在的關(guān)系.通過圖1，可以看出函數(shù)在一點(diǎn)可微，則偏導(dǎo)數(shù)存在，反之，偏導(dǎo)數(shù)存在，函數(shù)不一定可微.

反例函數(shù)f（x，y）=xyx2+y2，x2+y2≠0，0，x2+y2=0， 在點(diǎn)（0，0）處有fx（0，0）=0及fy（0，0）=0，說明函數(shù)在（0，0）處偏導(dǎo)數(shù)存在，但函數(shù)在（0，0）點(diǎn)處不可微.

根據(jù)函數(shù)在一點(diǎn)可微的定義有：

Δz=fx（0，0）Δx+fy（0，0）Δy+ο（ρ），

即Δz-fx（0，0）Δx-fy（0，0）Δy=ο（ρ），

又因?yàn)閒x（0，0）=0，fy（0，0）=0，

所以有Δz=Δx·Δy（Δx）2+（Δy）2=ο（ρ）.

即 limρ→0Δx·Δy（Δx）2+（Δy）2ρ=limρ→0Δx·Δy（Δx）2+（Δy）2=0，

事實(shí)上，考慮p′（Δx，Δy）沿著直線y=x趨于（0，0）時(shí)，limρ→0Δx·Δy（Δx）2+（Δy）2=limρ→0Δx·Δx（Δx）2+（Δx）2=12，因此，函數(shù)在點(diǎn)（0，0）處不可微分.

2.偏導(dǎo)數(shù)存在與函數(shù)連續(xù)的關(guān)系.由圖1，我們可以看出由函數(shù)在一點(diǎn)處偏導(dǎo)數(shù)存在不能推出函數(shù)在該點(diǎn)連續(xù)，反之，由函數(shù)在一點(diǎn)連續(xù)也不一定推出偏導(dǎo)數(shù)存在.

反例偏導(dǎo)數(shù)存在但不連續(xù)，如函數(shù)f（x，y）=xyx2+y2，x2+y2≠0，0，x2+y2=0， 在點(diǎn)（0，0）處有fx（0，0）=0及fy（0，0）=0，說明函數(shù)在（0，0）處偏導(dǎo)數(shù)存在，但函數(shù)在（0，0）點(diǎn)處不連續(xù).因?yàn)閘im（x，y）→（0，0）x·yx2+y2=limx→0y=xx·xx2+x2=12≠f（0，0）.

反例函數(shù)連續(xù)但偏導(dǎo)數(shù)不存在，如函數(shù)f（x，y）=|x|+|y|在點(diǎn)（0，0）處連續(xù)，但函數(shù)在（0，0）處偏導(dǎo)數(shù)不存在.根據(jù)偏導(dǎo)數(shù)定義：fx（0，0）=limΔx→0f（0+Δx，0）-f（0，0）Δx=limΔx→0|Δx|Δx極限不存在，所以函數(shù)在（0，0）點(diǎn)關(guān)于x的偏導(dǎo)數(shù)不存在，同理，可證函數(shù)在（0，0）點(diǎn)關(guān)于y的偏導(dǎo)數(shù)也不存在.

3.函數(shù)可微與函數(shù)連續(xù)的關(guān)系.通過圖1，我們可以看出函數(shù)在一點(diǎn)可微則一定連續(xù)，但函數(shù)在一點(diǎn)連續(xù)不一定可微.

反例[2]函數(shù)f（x，y）=xyx2+y2，x2+y2≠0，0，x2+y2=0， 在點(diǎn)（0，0）處連續(xù)，因?yàn)?

lim（x，y）→（0，0）xyx2+y2=0=f（0，0），但該函數(shù)在（0，0）點(diǎn)處不可微，前面已證明.

三、小結(jié)

理解多元函數(shù)在一點(diǎn)處連續(xù)、偏導(dǎo)數(shù)以及可微的定義，并掌握它們之間存在的聯(lián)系和區(qū)別，對(duì)研究多元函數(shù)具有重要的意義，也是我們在高等數(shù)學(xué)教學(xué)過程中要求學(xué)生必須理清楚的知識(shí)點(diǎn).本文系統(tǒng)總結(jié)了它們之間的關(guān)系，并通過舉反例，使學(xué)生能夠?qū)Χ嘣瘮?shù)偏導(dǎo)數(shù)、連續(xù)性、可微的定義以及它們之間的關(guān)系有進(jìn)一步的理解.

【參考文獻(xiàn)】

[1]同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系.高等數(shù)學(xué)·下冊（第7版）[M].北京：高等教育出版社，2016.

[2]毛羽輝，韓士安，吳喂.數(shù)學(xué)分析學(xué)習(xí)指導(dǎo)書·下冊（第4版）[M].北京：高等教育出版社，2011.