陳賢
【摘要】在高中數(shù)學(xué)教學(xué)過程中,教師要盡可能地向?qū)W生講授“通解通法”.讓學(xué)生不僅學(xué)會一道題目,而是一類題目.對教學(xué)中,課堂上講的每一道題目,都要給予認真全面地思考,才能真正做到“授業(yè)解惑”,真正實現(xiàn)高效教學(xué),建設(shè)一個和諧、完美的課堂.
【關(guān)鍵詞】通解通法;函數(shù);不等式;單調(diào)性等
眾所周知,在教學(xué)過程中,教師應(yīng)該掌握并向?qū)W生講授一定的解題技巧.但如何實現(xiàn)真正的高效教學(xué),卻值得我們一線教師更多思考.筆者認為需要向?qū)W生傳授必要且合適的“通解通法”.現(xiàn)在的課外市場充斥著各類質(zhì)量參差不齊的教學(xué)參考書,提供的某些問題的解決方法,貌似是“通解通法”,實則不然.作為一線教師,我們需要認真思考,仔細鉆研,引導(dǎo)學(xué)生,并給出學(xué)生易于接受的,且能夠舉一反三的“通解通法”.以下筆者通過幾個例題來和大家一起探討.
例1定義在R上的函數(shù)y=f(x),滿足當(dāng)x>0時,f(x)>1,且對任意的x,y∈R,都有f(x+y)=f(x)·f(y),求證:對任意的x∈R,都有f(x)>0.
分析本題是人教版必修一函數(shù)章節(jié)中常見的一類題型,以下提供兩種方法供讀者體會.
解法一對任意的x∈R,都有
f(x)=fx2+x2=fx2·fx2=f2x2≥0.
假設(shè)存在x0∈R,使f(x0)=0,
則對任意的x∈R,都有
f(x)=f(x-x0+x0)=f(x-x0)·f(x0)=0.
這與已知條件“當(dāng)x>0時,f(x)>1”矛盾,所以假設(shè)不成立,
所以對任意的x∈R,都有f(x)=f2x2>0.
解法二在f(x+y)=f(x)·f(y)中,令y=0,有
f(x)=f(x)·f(0).
∵x>0時,f(x)>1,∴f(0)=1.
設(shè)x<0,則-x>0,f(-x)>1,則
f(0)=f(x+(-x))=f(x)·f(-x),
∴f(x)=f(0)f(-x)=1f(-x)>0.
綜上所述,對任意的x∈R,都有f(x)>0.
評注解法一先求證f(x)=f2x2≥0,再利用反證法排除了f(x)=0的可能性,看似巧妙,實則對學(xué)生來說不易想到.相比較,解法二更為通用,利用已知x>0時,f(x)>1,再求證x=0,x>0時,f(x)>0也滿足,也符合我們在類似題目中常和學(xué)生提到的“求什么,設(shè)什么”的解題思路.
例2已知在△ABC中,∠A,∠B,∠C的對邊的邊長分別是a,b,c,且a,b,c成等差數(shù)列,求∠B的取值范圍.
分析本題是高三復(fù)習(xí)課比較常見的一道題目,它考查了等差數(shù)列、三角函數(shù)、解不等式等核心知識點,是一道區(qū)分度很高的題目.一般的解法是:
因為a,b,c成等差數(shù)列,所以b=a+c2,
所以cosB=a2+c2-b22ac=a2+c2-a+c222ac
=34a2+c22ac-14,
根據(jù)基本不等式,a2+c2≥2ac,所以cosB≥34-14=12,又∠B∈(0,π),且函數(shù)y=cosx在x∈(0,π)上是減函數(shù),所以∠B∈0,π3.
評注上述解法很巧妙地利用了基本不等式.很多人認為這就是解決本類題目的“通解通法”,殊不知此法并不嚴謹.原因在于此法只考慮了cosB的下限,上限沒有確定.也就是說,根據(jù)題目的已知條件,cosB的上限是否一定是1呢?當(dāng)然,我們可以從cosB=34a2+c22ac-14出發(fā),cosB=34a2+c22ac-14=38ac+ca-14,如果根據(jù)已知條件,得出ac的取值范圍,再利用函數(shù)的單調(diào)性,cosB的范圍就確定了,問題就迎刃而解了.
解析b=a+c2,不妨設(shè)a≤b≤c.
因為a,b,c是△ABC的三邊長,所以a+b>c,
故a+a+c2>c,整理得13 cosB=34×a2+c22ac-14=38×ac+ca-14. 令t=ac,則t∈13,1, 所以,y=cosB=38×t+1t-14, 當(dāng)t∈13,1時,y′=38×1-1t2=38×t2-1t2≤0, 所以y=38t+1t-14在t∈13,1上是減函數(shù), 所以cosB∈12,1,所以∠B∈0,π3. 評注通過推導(dǎo),我們發(fā)現(xiàn),cosB的上限確實是1.有些人會認為,這樣的考慮根本沒有必要.實際上,我們看了以下的變式,就知道,如此考慮是非常有必要的. 變式1已知在銳角三角形ABC中,∠A,∠B,∠C的對邊邊長分別是a,b,c,且a,b,c成等差數(shù)列,求∠B的取值范圍. 分析本變式與上題不同的地方是多了“銳角”兩個字.要保證△ABC是銳角三角形,只需要△ABC的三個角都是銳角,也就是三個角中最大的角是銳角即可.雖然還是考慮利用余弦定理求出cosB的范圍,但是不能單純地依賴基本不等式了. 解析因為a,b,c成等差數(shù)列,所以b=a+c2,不妨設(shè)a≤b≤c.因為a,b,c是銳角三角形ABC的三邊長,所以,a+b>c,1>cosC>0. 而cosC=a2+b2-c22ab, 所以a+a+c2>c,a2+b2-c2>0,a2+b2-c2<2ab, 整理得ac>35, 又a≤c,所以1≥ac>35, cosB=a2+c2-b22ac=a2+c2-a+c222ac =34a2+c22ac-14=38ac+ca-14, 令t=ac,則t∈35,1, 所以y=cosB=38t+1t-14, 當(dāng)t∈35,1時,y′=38×1-1t2=38×t2-1t2≤0, 所以y=38t+1t-14在t∈35,1上是減函數(shù), 所以cosB∈12,35,所以,∠B∈arccos35,π3. 評注本題如果不考慮cosB的上限,直接用基本不等式,那么本題就會出錯.也就是說,原來利用基本不等式的方法對變式1已經(jīng)不適合了.利用函數(shù)單調(diào)性的解法才是真正的“通解通法”. 變式2已知在鈍角三角形ABC中,∠A,∠B,∠C的對邊的邊長分別是a,b,c,且a,b,c成等差數(shù)列,求∠B的取值范圍. 答案∠B∈0,arccos35.過程留給讀者. 變式3已知在銳角三角形ABC中,∠A,∠B,∠C的對邊的邊長分別是a,b,c,且a,b,c成等比數(shù)列,求∠B的取值范圍. 解析因為a,b,c成等比數(shù)列,所以b2=ac,不妨設(shè)a≤b≤c.因為a,b,c是銳角三角形ABC的三邊長, 所以a+b>c,1>cosC>0. 而cosC=a2+b2-c22ab, 所以a+ac>c,a2+b2-c2>0,a2+b2-c2<2ab, 整理得ac>5-12, 又a≤c,所以1≥ac>5-12, cosB=a2+c2-b22ac=a2+c2-ac2ac=12a2+c2ac-12=12ac+ca-12, 令t=ac,則t∈5-12,1, 所以y=cosB=12t+1t-12, 當(dāng)t∈35,1時,y′=12×1-1t2=12×t2-1t2≤0, 所以y=38t+1t-14在t∈5-12,1上是減函數(shù),所以cosB∈12,5-12,所以∠B∈arccos5-12,π3.