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        講授通解通法,提高教學(xué)效率

        2019-10-18 02:30:05陳賢

        陳賢

        【摘要】在高中數(shù)學(xué)教學(xué)過程中,教師要盡可能地向?qū)W生講授“通解通法”.讓學(xué)生不僅學(xué)會一道題目,而是一類題目.對教學(xué)中,課堂上講的每一道題目,都要給予認真全面地思考,才能真正做到“授業(yè)解惑”,真正實現(xiàn)高效教學(xué),建設(shè)一個和諧、完美的課堂.

        【關(guān)鍵詞】通解通法;函數(shù);不等式;單調(diào)性等

        眾所周知,在教學(xué)過程中,教師應(yīng)該掌握并向?qū)W生講授一定的解題技巧.但如何實現(xiàn)真正的高效教學(xué),卻值得我們一線教師更多思考.筆者認為需要向?qū)W生傳授必要且合適的“通解通法”.現(xiàn)在的課外市場充斥著各類質(zhì)量參差不齊的教學(xué)參考書,提供的某些問題的解決方法,貌似是“通解通法”,實則不然.作為一線教師,我們需要認真思考,仔細鉆研,引導(dǎo)學(xué)生,并給出學(xué)生易于接受的,且能夠舉一反三的“通解通法”.以下筆者通過幾個例題來和大家一起探討.

        例1定義在R上的函數(shù)y=f(x),滿足當(dāng)x>0時,f(x)>1,且對任意的x,y∈R,都有f(x+y)=f(x)·f(y),求證:對任意的x∈R,都有f(x)>0.

        分析本題是人教版必修一函數(shù)章節(jié)中常見的一類題型,以下提供兩種方法供讀者體會.

        解法一對任意的x∈R,都有

        f(x)=fx2+x2=fx2·fx2=f2x2≥0.

        假設(shè)存在x0∈R,使f(x0)=0,

        則對任意的x∈R,都有

        f(x)=f(x-x0+x0)=f(x-x0)·f(x0)=0.

        這與已知條件“當(dāng)x>0時,f(x)>1”矛盾,所以假設(shè)不成立,

        所以對任意的x∈R,都有f(x)=f2x2>0.

        解法二在f(x+y)=f(x)·f(y)中,令y=0,有

        f(x)=f(x)·f(0).

        ∵x>0時,f(x)>1,∴f(0)=1.

        設(shè)x<0,則-x>0,f(-x)>1,則

        f(0)=f(x+(-x))=f(x)·f(-x),

        ∴f(x)=f(0)f(-x)=1f(-x)>0.

        綜上所述,對任意的x∈R,都有f(x)>0.

        評注解法一先求證f(x)=f2x2≥0,再利用反證法排除了f(x)=0的可能性,看似巧妙,實則對學(xué)生來說不易想到.相比較,解法二更為通用,利用已知x>0時,f(x)>1,再求證x=0,x>0時,f(x)>0也滿足,也符合我們在類似題目中常和學(xué)生提到的“求什么,設(shè)什么”的解題思路.

        例2已知在△ABC中,∠A,∠B,∠C的對邊的邊長分別是a,b,c,且a,b,c成等差數(shù)列,求∠B的取值范圍.

        分析本題是高三復(fù)習(xí)課比較常見的一道題目,它考查了等差數(shù)列、三角函數(shù)、解不等式等核心知識點,是一道區(qū)分度很高的題目.一般的解法是:

        因為a,b,c成等差數(shù)列,所以b=a+c2,

        所以cosB=a2+c2-b22ac=a2+c2-a+c222ac

        =34a2+c22ac-14,

        根據(jù)基本不等式,a2+c2≥2ac,所以cosB≥34-14=12,又∠B∈(0,π),且函數(shù)y=cosx在x∈(0,π)上是減函數(shù),所以∠B∈0,π3.

        評注上述解法很巧妙地利用了基本不等式.很多人認為這就是解決本類題目的“通解通法”,殊不知此法并不嚴謹.原因在于此法只考慮了cosB的下限,上限沒有確定.也就是說,根據(jù)題目的已知條件,cosB的上限是否一定是1呢?當(dāng)然,我們可以從cosB=34a2+c22ac-14出發(fā),cosB=34a2+c22ac-14=38ac+ca-14,如果根據(jù)已知條件,得出ac的取值范圍,再利用函數(shù)的單調(diào)性,cosB的范圍就確定了,問題就迎刃而解了.

        解析b=a+c2,不妨設(shè)a≤b≤c.

        因為a,b,c是△ABC的三邊長,所以a+b>c,

        故a+a+c2>c,整理得13

        cosB=34×a2+c22ac-14=38×ac+ca-14.

        令t=ac,則t∈13,1,

        所以,y=cosB=38×t+1t-14,

        當(dāng)t∈13,1時,y′=38×1-1t2=38×t2-1t2≤0,

        所以y=38t+1t-14在t∈13,1上是減函數(shù),

        所以cosB∈12,1,所以∠B∈0,π3.

        評注通過推導(dǎo),我們發(fā)現(xiàn),cosB的上限確實是1.有些人會認為,這樣的考慮根本沒有必要.實際上,我們看了以下的變式,就知道,如此考慮是非常有必要的.

        變式1已知在銳角三角形ABC中,∠A,∠B,∠C的對邊邊長分別是a,b,c,且a,b,c成等差數(shù)列,求∠B的取值范圍.

        分析本變式與上題不同的地方是多了“銳角”兩個字.要保證△ABC是銳角三角形,只需要△ABC的三個角都是銳角,也就是三個角中最大的角是銳角即可.雖然還是考慮利用余弦定理求出cosB的范圍,但是不能單純地依賴基本不等式了.

        解析因為a,b,c成等差數(shù)列,所以b=a+c2,不妨設(shè)a≤b≤c.因為a,b,c是銳角三角形ABC的三邊長,所以,a+b>c,1>cosC>0. 而cosC=a2+b2-c22ab,

        所以a+a+c2>c,a2+b2-c2>0,a2+b2-c2<2ab, 整理得ac>35,

        又a≤c,所以1≥ac>35,

        cosB=a2+c2-b22ac=a2+c2-a+c222ac

        =34a2+c22ac-14=38ac+ca-14,

        令t=ac,則t∈35,1,

        所以y=cosB=38t+1t-14,

        當(dāng)t∈35,1時,y′=38×1-1t2=38×t2-1t2≤0,

        所以y=38t+1t-14在t∈35,1上是減函數(shù),

        所以cosB∈12,35,所以,∠B∈arccos35,π3.

        評注本題如果不考慮cosB的上限,直接用基本不等式,那么本題就會出錯.也就是說,原來利用基本不等式的方法對變式1已經(jīng)不適合了.利用函數(shù)單調(diào)性的解法才是真正的“通解通法”.

        變式2已知在鈍角三角形ABC中,∠A,∠B,∠C的對邊的邊長分別是a,b,c,且a,b,c成等差數(shù)列,求∠B的取值范圍.

        答案∠B∈0,arccos35.過程留給讀者.

        變式3已知在銳角三角形ABC中,∠A,∠B,∠C的對邊的邊長分別是a,b,c,且a,b,c成等比數(shù)列,求∠B的取值范圍.

        解析因為a,b,c成等比數(shù)列,所以b2=ac,不妨設(shè)a≤b≤c.因為a,b,c是銳角三角形ABC的三邊長,

        所以a+b>c,1>cosC>0. 而cosC=a2+b2-c22ab,

        所以a+ac>c,a2+b2-c2>0,a2+b2-c2<2ab, 整理得ac>5-12,

        又a≤c,所以1≥ac>5-12,

        cosB=a2+c2-b22ac=a2+c2-ac2ac=12a2+c2ac-12=12ac+ca-12,

        令t=ac,則t∈5-12,1,

        所以y=cosB=12t+1t-12,

        當(dāng)t∈35,1時,y′=12×1-1t2=12×t2-1t2≤0,

        所以y=38t+1t-14在t∈5-12,1上是減函數(shù),所以cosB∈12,5-12,所以∠B∈arccos5-12,π3.

        例3設(shè)f(x)=1+ax1-ax(a>0且a≠1),當(dāng)0

        分析本題是2010年高考理科四川卷22題第(3)問.它考查了函數(shù)、不等式等基礎(chǔ)知識,是一道區(qū)分度很高的題目.參考書或者網(wǎng)絡(luò)上給出的解法是:

        設(shè)a=11+p,則p≥1,1

        當(dāng)n=1時,|f(1)-1|=2p≤2<4,

        當(dāng)n≥2時,

        設(shè)k≥2k∈N*時,則f(k)=(1+p)k+1(1+p)k-1=1+2(1+p)k-1=1+2C1kp+C2kp2+…+Ckkpk,

        所以1

        從而n-1<∑nk=2f(k)≤n-1+42-4n+1=n+1-4n+1

        所以n<∑nk=1f(k)

        綜上所述,總有∑nk=1f(k)-n<4.

        評注這種構(gòu)造a=11+p,然后利用二項式定理展開,從而放縮的證明方法很巧妙.這種技巧性非常強的證法很難想到,當(dāng)然不是通解通法.其實,我們可以如此思考這道問題,從而給出適合本題的、更為通用的解法:

        f(k)=1+ak1-ak=1+2ak1-ak,k∈N*

        0

        |f(1)-1|=2a1-a=21a-1≤2112-1=2<4,

        當(dāng)n=2時,|f(1)+f(2)-2|=2a1-a+2a21-a2=21a-1+21a2-1≤2112-1+21122-1=83<4,

        于是,我們會猜測∑nk=1f(k)-n<4,接下來需要證明∑nk=1f(k)-n最大值小于4,或者∑nk=1f(k)-n上限小于或等于4即可.

        事實上,∑nk=1f(k)-n=∑nk=12ak1-ak,而g(a)=2ak1-ak在a∈0,12上是增函數(shù),故g(a)∈0,22k-1,從而∑nk=1f(k)-n=∑nk=12ak1-ak=∑nk=12ak1-ak≤∑nk=122k-1,關(guān)于∑nk=122k-1<4,在高三復(fù)習(xí)中,很多考生都會遇到并訓(xùn)練過,這個不等式明顯是成立的.它的證明方法有很多種,有興趣的讀者可以自己去鉆研.這里只選比較常見的一種方法.于是有以下解法:

        解析∑nk=122k-1=2∑nk=112k-1

        =2∑nk=12k+1-1(2k-1)(2k+1-1)<2∑nk=12k+1(2k-1)(2k+1-1)

        <4∑nk=112k-1-12k+1-1

        =4×1-122-1+122-1-123-1+…+12n-1-12n+1-1

        =4×(1-12n+1-1)<4,

        g(a)=2ak1-ak在a∈0,12上是增函數(shù),

        故g(a)∈0,22k-1,

        從而∑nk=1f(k)-n=∑nk=12ak1-ak=∑nk=12ak1-ak≤∑nk=122k-1<4.

        評注如此的分析和解答,才是本題的常規(guī)解答方法,才是適合本題的“通解通法”.

        總結(jié)在平時教學(xué)過程中,教師要盡可能地向?qū)W生講授“通解通法”.讓學(xué)生不僅僅學(xué)會一道題目,而是一類題目.教師不能過分依賴教學(xué)參考書,千萬不能人云亦云.教學(xué)參考書上給出的方法有些時候貌似是“通解通法”,實際上可能是有缺陷的.對例2而言,利用基本不等式的解法看似是“通解通法”,實際上是不完善的.文中給出的方法,利用的函數(shù)單調(diào)性,從而精準地確定cosB的取值范圍,進而確定∠B的取值范圍,這才是本類題目的“通解通法”.對例3來說,參考書或者網(wǎng)絡(luò)上給出的解法具有太強的技巧性,而本文提供的思路和方法是學(xué)生易于接受的,也是考生能夠“想得到,做得出”的.誠然,我們也需明白,沒有適合所有題型的通解通法,因為題目條件千變?nèi)f化,但我們對教學(xué)中、課堂上講的每一道題目,只有給予認真全面地思考,才能真正做到“授業(yè)解惑”,才能實現(xiàn)真正的高效教學(xué).建設(shè)一個和諧,完美,高效的課堂,不正是每一名優(yōu)秀教師所期待的嘛!

        【參考文獻】

        [1]丁聰穎.一道函數(shù)高考題的別解、巧解與通解[J].福建中學(xué)數(shù)學(xué),2013(2):45-47.

        [2]李建潮.函數(shù)問題的通法通解[J].中學(xué)生數(shù)學(xué):高中版,2014(7):26.

        [3]孫娜.高中數(shù)學(xué)教學(xué)中“通解通法”能力的培養(yǎng)[J].高中數(shù)理化,2016(2):5.

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