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        例談教學(xué)中如何進(jìn)行深入思考

        2019-02-19 08:00:56
        數(shù)理化解題研究 2019年6期
        關(guān)鍵詞:彎角余弦定理三角形

        顧 婷

        (江蘇省無錫市玉祁高級中學(xué) 214183)

        眾所周知,高中數(shù)學(xué)科對于高中學(xué)生而言是學(xué)習(xí)最為困難的學(xué)科,造成困難的原因是多樣的,其中不乏數(shù)學(xué)知識的形式化、抽象性,數(shù)學(xué)解題技巧的層出不窮,數(shù)學(xué)問題的變化多端、無固定性,數(shù)學(xué)理解的困難等等.大量調(diào)查資料也顯示,大多數(shù)學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中,出現(xiàn)下意識操作、直覺化操作,對于問題的深入思考幾乎是零,這與學(xué)生長期受制于灌輸式教學(xué)不無關(guān)系.

        可以這么說,現(xiàn)階段難度在學(xué)考水平的數(shù)學(xué)問題,幾乎是下意識操作,有部分問題是一個(gè)“彎角”;難度在高考層面的數(shù)學(xué)問題,一部分是下意識操作,一部分是一個(gè)“彎角”,一部分是兩個(gè)“彎角”,因此學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中若一貫的缺乏主動(dòng)、深入的思考,導(dǎo)致最終就不善于思考,從而形成了學(xué)習(xí)的停滯不前.

        一、概念教學(xué)中的深入思考

        概念教學(xué)是數(shù)學(xué)教學(xué)的核心和重中之重,人民教育出版社主編北師大錢佩玲教授對于當(dāng)下的中學(xué)數(shù)學(xué)概念教學(xué)是有異議的,認(rèn)為當(dāng)下的數(shù)學(xué)教學(xué)根本是功利性的教學(xué),完全脫離了編者的初衷,各種教輔資料也是魚龍混雜,對概念的考查和理解偏頗較大,一方面因?yàn)閼?yīng)試需要所以草草了事,一方面因?yàn)榻虒W(xué)不扎實(shí)導(dǎo)致學(xué)生不會(huì)解決問題,又反復(fù)教學(xué).錢教授所說的這種行為,至少在中學(xué)數(shù)學(xué)常態(tài)課教學(xué)中并非個(gè)例.以筆者來看,我們的概念教學(xué)的確是出了問題,教學(xué)中缺乏對概念設(shè)計(jì)的深入思考,導(dǎo)致概念教學(xué)只能一個(gè)定義、三項(xiàng)注意,從而形成了以做題替代概念的理解方式.

        案例1 《正余弦定理》概念教學(xué)

        眾所周知,正余弦定理是解三角形中的重要知識,除了最基本的兩個(gè)定理之外,可以這么說,學(xué)生對正余弦定理的理解幾乎是零.筆者曾經(jīng)調(diào)查過學(xué)生:正余弦定理怎么得到的?正余弦定理跟初中數(shù)學(xué)什么知識密切相關(guān)?正余弦定理如何在不用具體運(yùn)算的角度下,就可以判斷三角形解的個(gè)數(shù)?令人驚訝的是,90%以上的學(xué)生一個(gè)問題都不知道,三個(gè)問題都能回答清楚的學(xué)生人數(shù)是零.這不得不說是我們概念教學(xué)的悲哀,給學(xué)生一個(gè)三角形的問題,他可以解得頭頭是道,但是一問原理則是一片模糊,這不正是應(yīng)試教育的產(chǎn)物,時(shí)代的悲哀?

        試問,老師自己有沒有思考過這樣的問題:正余弦定理跟初中數(shù)學(xué)什么知識密切相關(guān)?正余弦定理如何在不用具體運(yùn)算的角度下,就可以判斷三角形解的個(gè)數(shù)?讓我們自己先來一番深入的思考吧:初中數(shù)學(xué)對于全等三角形的判斷主要依賴三種方式:SSS、SAS和AAS,但是SSA不是全等的判別條件.對于這些熟悉的判別方式,我們有沒有思考過和正余弦定理有什么聯(lián)系嗎?余弦定理知道三邊可以求解唯一三角形,余弦定理知道兩邊一夾角可以唯一求解其余所有量,正弦定理利用兩角一對邊可以求解唯一求解其余所有量等等.所以,我們有了下面的初高中知識的連接:

        給出具體問題:在△ABC中,由下列各組條件求解三角形,其中有兩個(gè)解的是____.

        ①b=20,A=45°,C=80°;

        ②a=30,c=28,B=60°;

        ③a=14,b=16,A=45°;

        ④a=12,c=15,A=120°;

        ⑤a=4,b=5,c=6;

        分析有了上述的深入思考,將三角形解的判斷與全等三角形知識聯(lián)系起來,從初中定性的判定,到高中定量的運(yùn)算,其中之間的聯(lián)系,進(jìn)行了深入的思考,從而理解了為什么有一解,為什么有兩解.簡解如下:第①項(xiàng),AAS,必定一解;第②項(xiàng),SAS,必定一解;第③項(xiàng),SSA,sinB<1且aA=120°,無解;第⑤項(xiàng),SSS,必定一解;第⑥項(xiàng),SSA,sinB=1,一解.

        說明:從三角形解的個(gè)數(shù)判斷的角度來說,實(shí)在是全等三角形的判定,初中數(shù)學(xué)強(qiáng)調(diào)的是定性,高中數(shù)學(xué)更追求的是定量,這一層面若能思考到位,自然將初中數(shù)學(xué)和高中數(shù)學(xué)這一知識點(diǎn)銜接起來,獲得了更多的教學(xué)思考,學(xué)生也能獲得更多的知識理解,明白了正余弦定理各自對待的不同情況,對知識的深入思考有助于思維的嚴(yán)密性和嶄新認(rèn)識.

        二、解題教學(xué)中的深入思考

        數(shù)學(xué)問題以抽象性著稱,問題的求解過程實(shí)質(zhì)是不斷轉(zhuǎn)化、不斷深化思維的過程,從解題教學(xué)來看,如何讓學(xué)生掌握問題解決過程中思維的實(shí)質(zhì)是關(guān)鍵.筆者以為,這需要探析教學(xué)中思考的重要性,以恒成立問題為例,如何引導(dǎo)學(xué)生理解恒成立問題解決的原理?如何破解成為關(guān)鍵.

        分析本題是單變量恒成立問題,變量是x,參量是y,從這其中尋找恒成立問題解決的一般原理.要思考如何將這個(gè)原理表述的更為貼切?讓學(xué)生易懂?筆者給出了這樣的比喻:

        教師設(shè)喻:(如圖)若我們班即將來一位新同學(xué),目前我們只知道他比我們班任何一個(gè)都要高,那么你們能否猜出他的身高范圍?

        學(xué)生試著設(shè)喻:(如圖)學(xué)校搞活動(dòng),從體育學(xué)校來了一個(gè)籃球班,所有人的身高都高于我們班同學(xué).

        說明:恒成立問題需要說明參變分離做法的合理性,這就需要教師深入的思考,為什么要參變?為什么大于最大值?小于最小值?這些問題解決理論研究清楚了,自然而然獲得了最為合理的本質(zhì)探究.教師要做到,恰恰是對數(shù)學(xué)最深入的思考,唯有自身努力的思考,才能讓學(xué)生更為深刻地理解數(shù)學(xué)本質(zhì),這正是思考的價(jià)值所在.

        總之,教學(xué)不能僅僅只教會(huì)表層的解題使用,更要注重?cái)?shù)學(xué)知識的理解,從核心素養(yǎng)的角度來說,教學(xué)更要從根本入手,更要關(guān)注思考的價(jià)值,久而久之才能培養(yǎng)學(xué)生的思維,使其真正理解數(shù)學(xué)、運(yùn)用數(shù)學(xué),對于教師而言也能獲得更多的專業(yè)化成長.

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