徐 坤，曾 京，黃彩虹，祁亞運(yùn)

(西南交通大學(xué) 牽引動(dòng)力國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，四川 成都 610031)

根據(jù)電機(jī)懸掛方式的不同，驅(qū)動(dòng)裝置的結(jié)構(gòu)形式通常有軸懸式、架懸式和體懸式之分[1]。在軸懸式中，牽引電機(jī)大半質(zhì)量成為簧下質(zhì)量，這既增加了車(chē)輛對(duì)軌道的動(dòng)力破壞作用，又將輪軌間產(chǎn)生的沖擊與振動(dòng)直接傳遞給牽引電機(jī)，加大了電機(jī)的機(jī)械載荷，所以該結(jié)構(gòu)一般使用在低速動(dòng)車(chē)上，不宜在高速動(dòng)車(chē)上使用。國(guó)內(nèi)外高速動(dòng)車(chē)上普遍采用的是有利于降低動(dòng)作用力的架懸式與體懸式。架懸式牽引電機(jī)整體懸掛在轉(zhuǎn)向架構(gòu)架上，屬于一系簧上質(zhì)量，體懸式牽引電機(jī)安裝在車(chē)體底架上，屬于二系簧上質(zhì)量。但由于在體懸式中，萬(wàn)向軸制造工藝要求高，驅(qū)動(dòng)裝置結(jié)構(gòu)復(fù)雜，制造及維護(hù)成本較高[2]，架懸式被越來(lái)越多地使用，如CRH1、CRH2和CRH3動(dòng)車(chē)組采用架懸式牽引電機(jī)。

國(guó)內(nèi)外學(xué)者對(duì)牽引電機(jī)架懸參數(shù)對(duì)車(chē)輛系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)的影響進(jìn)行了廣泛的研究。文獻(xiàn)[3]對(duì)分別采用剛性架懸和彈性架懸方案時(shí)機(jī)車(chē)的橫向穩(wěn)定性、平穩(wěn)性、輪軸橫向力、輪重動(dòng)態(tài)變化等進(jìn)行了比較研究。研究結(jié)果表明，采用彈性架懸方案時(shí)機(jī)車(chē)各項(xiàng)直線高速運(yùn)行指標(biāo)均有所改善，且機(jī)車(chē)的動(dòng)力學(xué)性能對(duì)懸掛參數(shù)的敏感性減弱。文獻(xiàn)[4]對(duì)牽引電機(jī)剛性架懸與彈性架懸在非線性穩(wěn)定性、直線運(yùn)行性能及曲線運(yùn)行性能進(jìn)行了比較。研究發(fā)現(xiàn)：驅(qū)動(dòng)裝置彈性架懸方案可以明顯降低機(jī)車(chē)直線運(yùn)行的輪軸橫向力，改善機(jī)車(chē)通過(guò)大、中半徑曲線的橫向性能，提高平穩(wěn)性。文獻(xiàn)[5]考慮牽引電機(jī)懸掛吊桿橡膠關(guān)節(jié)的彈性及電機(jī)輸出軸端與小齒輪連接軸的彈性，分析異步牽引電機(jī)諧波轉(zhuǎn)矩對(duì)牽引電機(jī)傳動(dòng)裝置振動(dòng)的影響。文獻(xiàn)[6]提出3個(gè)剛體的機(jī)車(chē)橫向振動(dòng)簡(jiǎn)單模型，結(jié)合輪對(duì)橫向隨機(jī)響應(yīng)的特點(diǎn)，分析不同速度下，驅(qū)動(dòng)裝置懸掛參數(shù)對(duì)機(jī)車(chē)受迫振動(dòng)的影響。以上文獻(xiàn)大部分都是采用商業(yè)軟件建模，對(duì)架懸參數(shù)與轉(zhuǎn)向架蛇行失穩(wěn)之間的內(nèi)在關(guān)系闡述的不夠清楚。文獻(xiàn)[7]根據(jù)電機(jī)架懸特點(diǎn)，推導(dǎo)出動(dòng)車(chē)轉(zhuǎn)向架動(dòng)力學(xué)方程，分析了牽引電機(jī)架懸參數(shù)對(duì)轉(zhuǎn)向架線性臨界速度的影響。文獻(xiàn)[8-9]針對(duì)機(jī)車(chē)某B0轉(zhuǎn)向架建立了10自由度單轉(zhuǎn)向架橫向動(dòng)力學(xué)模型，從動(dòng)力吸振角度對(duì)電機(jī)彈性懸掛做出了理論解釋。文獻(xiàn)[10]不僅分析了牽引電機(jī)架懸參數(shù)對(duì)整車(chē)線性臨界速度的影響，還利用非線性方法研究架懸參數(shù)對(duì)整車(chē)臨界速度的影響，該臨界速度在工程應(yīng)用中也被稱為實(shí)際臨界速度[11]或者失穩(wěn)速度。在實(shí)際工程應(yīng)用中，由于在評(píng)價(jià)實(shí)際臨界速度上的標(biāo)準(zhǔn)不一致[12]，往往會(huì)得到不一樣的實(shí)際臨界速度。在仿真計(jì)算中，應(yīng)該以非線性臨界速度作為評(píng)價(jià)指標(biāo)[13]。

本文采用延續(xù)算法[14]求得動(dòng)車(chē)轉(zhuǎn)向架在不同架懸參數(shù)下的蛇行運(yùn)動(dòng)極限環(huán)曲線，得到線性臨界速度和非線性臨界速度，進(jìn)而研究牽引電機(jī)架懸參數(shù)對(duì)動(dòng)車(chē)轉(zhuǎn)向架穩(wěn)定性的影響。利用Hopf分叉范式理論分析動(dòng)車(chē)轉(zhuǎn)向架運(yùn)動(dòng)系統(tǒng)的三次共振項(xiàng)系數(shù)與線性、非線性臨界速度的關(guān)系。

1 數(shù)學(xué)模型

客車(chē)轉(zhuǎn)向架采用各種型式的定位裝置，使輪對(duì)通過(guò)軸箱與轉(zhuǎn)向架構(gòu)架之間有不同程度的彈性約束，特別是高速動(dòng)車(chē)組轉(zhuǎn)向架，為了保證獲得較高的臨界速度，一系定位剛度都比較大，剛度越大，越接近剛性轉(zhuǎn)向架的運(yùn)動(dòng)形式，這一點(diǎn)在轉(zhuǎn)向架蛇行運(yùn)動(dòng)的試驗(yàn)和穩(wěn)定性理論計(jì)算中都得到了證實(shí)[15]。為了便于數(shù)學(xué)建模，重點(diǎn)突出研究對(duì)象，把某型動(dòng)車(chē)轉(zhuǎn)向架簡(jiǎn)化為剛性轉(zhuǎn)向架，重點(diǎn)研究牽引電機(jī)架懸參數(shù)對(duì)其穩(wěn)定性的影響。

由于穩(wěn)定性屬于橫向動(dòng)力學(xué)問(wèn)題，與垂向自由度沒(méi)有關(guān)系，又因?yàn)楸疚闹谎芯哭D(zhuǎn)向架的穩(wěn)定性，車(chē)體自由度不考慮，僅作為一個(gè)參考系沿著軌道方向以恒定的速度運(yùn)行。考慮到影響架懸動(dòng)車(chē)組轉(zhuǎn)向架蛇行運(yùn)動(dòng)穩(wěn)定性的主要因素是電機(jī)的橫移模態(tài)，電機(jī)搖頭模態(tài)的影響相對(duì)較小[7]?；谝陨峡紤]，在進(jìn)行動(dòng)力學(xué)建模過(guò)程中，只考慮剛性轉(zhuǎn)向架的橫移(yb)、搖頭(φb)和兩個(gè)電機(jī)的橫移(ym1、ym2)，共4個(gè)自由度，其模型如圖1所示。

圖1 動(dòng)力學(xué)模型

電機(jī)1受到的橫向力

(1)

電機(jī)2受到的橫向力

(2)

構(gòu)架受到的電機(jī)的反向橫向力

Fb1=-Fm1Fb2=-Fm2

(3)

車(chē)輪受到的輪緣力(采用文獻(xiàn)[16]中的光滑連續(xù)處理)

(4)

除此之外，構(gòu)架還受彈性約束力及車(chē)輪受到橫向、縱向蠕滑力和重力復(fù)原力和重復(fù)原力矩，不考慮車(chē)輪受到的自旋蠕滑力。在本系統(tǒng)中，車(chē)輪受到的輪緣力是唯一的非線性項(xiàng)。系統(tǒng)微分方程如下：

構(gòu)架橫移

(5)

構(gòu)架搖頭

2Wλbφb

(6)

電機(jī)1橫移

(7)

電機(jī)2橫移

(8)

為了便于求解，令

(9)

則式(5)～式(8)可以表示為

dy(1)=y(2)

(10)

Kmy×y(5)+Cmy×y(6)+Kmy×y(7)+

Cmy×y(8)-2(α1×y(1)3+α2×y(1)5)]/Mb

(11)

dy(3)=y(4)

(12)

2Kmy×L2-2Wλb)y(3)-[2Csx×a2+

L×y(5)+Cmy×L×y(6)-Kmy×L×

y(7)-Cmy×L×y(8)]/Ib

(13)

dy(5)=y(6)

(14)

(15)

dy(7)=y(8)

(16)

(17)

以上符號(hào)意義及數(shù)值見(jiàn)表1。

表1 動(dòng)力學(xué)方程參數(shù)意義及數(shù)值

由于電機(jī)吊掛方式不定，為了便于表達(dá)，在下面的論述中使用電機(jī)橫移頻率fmy和橫移阻尼比ξmy來(lái)代替電機(jī)懸掛總的橫移剛度Kmy和總的橫移阻尼Cmy。Kmy、Cmy與fmy、ξmy的關(guān)系如下

(18)

2 轉(zhuǎn)向架蛇行運(yùn)動(dòng)Hopf分叉特性

2.1 臨界速度的定義及分叉類(lèi)型

在車(chē)輛系統(tǒng)穩(wěn)定性分析中，主要是通過(guò)線性臨界速度和非線性臨界速度來(lái)評(píng)價(jià)的。在求線性臨界速度時(shí)，先求線性系統(tǒng)的雅克比矩陣，再求雅克比矩陣的特征值。隨著速度的變化，當(dāng)雅克比矩陣的特征值出現(xiàn)一對(duì)純虛根時(shí)，此時(shí)速度為線性臨界速度。非線性臨界速度是根據(jù)非線性系統(tǒng)極限環(huán)曲線來(lái)求得的，非線性轉(zhuǎn)向架系統(tǒng)蛇行運(yùn)動(dòng)典型的極限環(huán)曲線如圖2所示。

圖2中虛線表示不穩(wěn)定的極限環(huán)，實(shí)線表示穩(wěn)定的極限環(huán)。V0為線性臨界速度，V1為非線性臨界速度。當(dāng)V

(a)亞臨界Hopf分叉

(b)超臨界Hopf分叉

當(dāng)fmy=1.6，ξmy=0.1時(shí)，其余參數(shù)數(shù)值參照表1中的數(shù)值，帶入式(10)～式(17)，利用延續(xù)算法求得轉(zhuǎn)向架蛇行運(yùn)動(dòng)極限環(huán)曲線，如圖3所示。

圖3 轉(zhuǎn)向架蛇行運(yùn)動(dòng)極限環(huán)曲線

由圖3可知，系統(tǒng)發(fā)生了亞臨界Hopf分叉，AB為不穩(wěn)定極限環(huán)，BC為穩(wěn)定極限環(huán)，線性臨界速度V0=344.52 km/h，非線性臨界速度V0=160.45 km/h。當(dāng)運(yùn)行速度以低于非線性臨界速度、位于非線性臨界速度與線性臨界速度之間、高于線性臨界速度運(yùn)行時(shí)，構(gòu)架橫移的相平面如圖4所示。

當(dāng)運(yùn)行速度低于非線性臨界速度運(yùn)行時(shí)，整個(gè)相平面都是平衡點(diǎn)(0，0)的吸引域，如圖4(a)所示；當(dāng)運(yùn)行速度在非線性臨界速度與線性臨界速度之間時(shí)，相平面包含一個(gè)穩(wěn)定極限環(huán)(實(shí)線)、一個(gè)不穩(wěn)定極限環(huán)(虛線)和一個(gè)穩(wěn)定平衡點(diǎn)，此時(shí)平衡點(diǎn)(0，0)是一個(gè)吸引子，整個(gè)相平面中不穩(wěn)定極限環(huán)內(nèi)部區(qū)域是平衡點(diǎn)的吸引域，不穩(wěn)定極限環(huán)外部區(qū)域是穩(wěn)定極限環(huán)的吸引域，如圖4(b)所示；當(dāng)運(yùn)行速度高于線性臨界速度時(shí)，相平面包含一個(gè)穩(wěn)定極限環(huán)(實(shí)線)和一個(gè)不穩(wěn)定平衡點(diǎn)，此時(shí)平衡點(diǎn)(0，0)不再是吸引子，整個(gè)相平面中都是穩(wěn)定極限環(huán)的吸引域，如圖4(c)所示。

(a)運(yùn)行速度為100 km/h時(shí)構(gòu)架橫移相平面圖

(b)運(yùn)行速度為280 km/h時(shí)構(gòu)架橫移相平面圖

(c)運(yùn)行速度為430 km/h時(shí)構(gòu)架橫移相平面圖

2.2 利用Hopf分叉范式理論判別分叉類(lèi)型

考慮單參數(shù)平面自治系統(tǒng)[17]

(19)

(20)

式中：λ(α)=μ(α)+iω(α)；μ(0)=0；ω(0)=ω0>0。

當(dāng)矩陣A(α)出現(xiàn)一對(duì)純虛根特征值時(shí)，發(fā)生Hopf分叉，由平衡點(diǎn)分叉出周期解。引入復(fù)變量z，系統(tǒng)可表示為

(21)

x與z滿足

(22)

假設(shè)α=0，F(xiàn)(x，α)可表示為

(23)

式中：B(x，x)和C(x，x，x)為對(duì)稱多重線性型。

(24)

(25)

經(jīng)過(guò)推導(dǎo)，系統(tǒng)可簡(jiǎn)化為只含共振三次項(xiàng)的方程。

(26)

一般稱c1(α)為三次共振項(xiàng)系數(shù)，Rec1(0)決定了Hopf分叉是超臨界分叉還是亞臨界分叉。當(dāng)Rec1(0)>0時(shí)，為亞臨界分叉，當(dāng)Rec1(0)<0時(shí)，為超臨界分叉。

Rec1(0)表達(dá)式為

(27)

下面使用Hopf分叉范式理論分析上述參數(shù)數(shù)值下轉(zhuǎn)向架橫移運(yùn)動(dòng)分叉特性。

B(ξ，η)=[0 0 0 0 0 0 0 0]T

(28)

根據(jù)式(27)可得

(29)

可知系統(tǒng)發(fā)生了亞臨界分叉，與利用極限環(huán)圖分析得到的結(jié)果一致。

3 電機(jī)架懸參數(shù)對(duì)動(dòng)車(chē)轉(zhuǎn)向架穩(wěn)定性的影響

3.1 電機(jī)橫移頻率fmy和阻尼比ξmy對(duì)轉(zhuǎn)向架穩(wěn)定性的影響

電機(jī)橫移頻率fmy為0.5～15 Hz，阻尼比ξmy在0.1～1之間變化，對(duì)轉(zhuǎn)向架的線性、非線性臨界速度如圖5所示。

(a)電機(jī)懸掛頻率fmy和阻尼比ξmy對(duì)轉(zhuǎn)向架線性臨界速度的影響

(b)電機(jī)懸掛頻率fmy和阻尼比ξmy對(duì)轉(zhuǎn)向架非線性臨界速度的影響

從圖5可以看出：轉(zhuǎn)向架的線性、非線性臨界速度在無(wú)電機(jī)懸掛工況均高于電機(jī)剛性懸掛工況，但是非線性臨界速度的增加幅度要小于線性臨界速度的增加幅度。當(dāng)fmy較小時(shí)，轉(zhuǎn)向架線性、非線性臨界速度接近無(wú)電機(jī)懸掛工況；當(dāng)fmy較大時(shí)，轉(zhuǎn)向架線性、非線性臨界速度接近電機(jī)剛性懸掛工況。當(dāng)ξmy較小時(shí)(比如ξmy=0.1)，轉(zhuǎn)向架的線性、非線性臨界速度均隨著fmy的增大先增加后減小，最后趨于電機(jī)剛性懸掛工況，出現(xiàn)這種現(xiàn)象的原因是電機(jī)彈性架懸的數(shù)學(xué)模型本質(zhì)上屬于動(dòng)力吸振器，輪對(duì)的蛇行運(yùn)動(dòng)作為激勵(lì)。隨著電機(jī)懸掛頻率fmy的增加，構(gòu)架振動(dòng)響應(yīng)逐漸減小，所以轉(zhuǎn)向架臨界速度逐漸增大，當(dāng)fmy接近轉(zhuǎn)向架蛇行頻率時(shí)，構(gòu)架振動(dòng)達(dá)到最小值，轉(zhuǎn)向架臨界速度達(dá)到最大值，當(dāng)繼續(xù)增加fmy，構(gòu)架振動(dòng)忽然增大，轉(zhuǎn)向架臨界速度會(huì)忽然降低，構(gòu)架振動(dòng)最大時(shí)，轉(zhuǎn)向架臨界速度最低。如果繼續(xù)增加fmy，構(gòu)架振動(dòng)趨于穩(wěn)定，轉(zhuǎn)向架臨界速度也趨于穩(wěn)定。當(dāng)ξmy較大時(shí)(比如ξmy=1)，轉(zhuǎn)向架的線性、非線性臨界速度均隨著fmy的增大而減小，最后也趨于電機(jī)剛性懸掛工況。值得注意的是，當(dāng)ξmy>0.3時(shí)，轉(zhuǎn)向架的非線性臨界速度隨fy的變化規(guī)律幾乎一致。

3.2 電機(jī)橫移頻率fmy和電機(jī)質(zhì)量Mm對(duì)轉(zhuǎn)向架穩(wěn)定性的影響

當(dāng)電機(jī)懸掛橫移阻尼比ξmy=0.3時(shí)，橫移頻率fmy在0.5～15 Hz之間變化，電機(jī)質(zhì)量Mm分別取500、950、1 800 kg，轉(zhuǎn)向架的線性、非線性臨界速度如圖6所示。

(a)電機(jī)懸掛頻率fmy和電機(jī)質(zhì)量Mm對(duì)轉(zhuǎn)向架線性臨界速度影響

(b)電機(jī)懸掛頻率fmy和電機(jī)質(zhì)量Mm對(duì)轉(zhuǎn)向架非線性臨界速度影響

從圖6可以看出，當(dāng)fmy較小時(shí)(比如fmy=0.5)，不管電機(jī)質(zhì)量多大，轉(zhuǎn)向架的線性、非線性臨界速度都與無(wú)電機(jī)懸掛工況幾乎一致。當(dāng)fmy較小時(shí)，電機(jī)質(zhì)量越大，轉(zhuǎn)向架的線性、非線性臨界速度越大，相反，當(dāng)fmy較大時(shí)，電機(jī)質(zhì)量越大，轉(zhuǎn)向架的線性、非線性臨界速度越小，這也說(shuō)明了對(duì)于大質(zhì)量電機(jī)，彈性懸掛的必要性。

4 三次共振項(xiàng)系數(shù)實(shí)部與線性、非線性臨界速度之間的關(guān)系

利用轉(zhuǎn)向架的極限環(huán)曲線很容易求得轉(zhuǎn)向架的線性、非線性臨界速度，但是利用延續(xù)算法求極限環(huán)曲線比較費(fèi)時(shí)間。由于微分方程的三次共振項(xiàng)系數(shù)實(shí)部能判別系統(tǒng)分叉特性，通過(guò)微分方程的三次共振項(xiàng)系數(shù)實(shí)部比較系統(tǒng)的線性、非線性臨界速度。選取了四組有代表性的懸掛參數(shù)，在這四組參數(shù)下，轉(zhuǎn)向架橫移運(yùn)動(dòng)的分叉曲線如圖7所示(為了表達(dá)方便，不穩(wěn)定極限環(huán)也用實(shí)線表示)，其Rec1(0)值見(jiàn)表2。

圖7 四組懸掛參數(shù)下的轉(zhuǎn)向架橫移極限環(huán)曲線

表2 四組懸掛參數(shù)下的Rec1(0)的比較

從圖7和表2可以看出，線性臨界速度相差較大，非線性臨界速度不一定相差很大(第一組與第二組比較)；線性臨界速度相差較小，非線性臨界速度不一定相差很小(第三組與第四組比較)。線性臨界速度大，非線性臨界速度不一定大(第一組與第三組比較)。所以，線性臨界速度與非線性臨界速度之間沒(méi)有必然的關(guān)系。但是通過(guò)比較Rec1(0)，可以得到這樣一個(gè)規(guī)律：每組的線性臨界速度與非線性臨界速度相差越大，Rec1(0)值越大，這個(gè)規(guī)律反映在極限環(huán)曲線上就是極限環(huán)曲線越往左“扭曲”，其Rec1(0)值越大，這與文獻(xiàn)[18]得出的結(jié)論是一致的。因此在確定懸掛參數(shù)時(shí)，在線性臨界速度比較接近的幾組參數(shù)中，可以直接通過(guò)比較Rec1(0)值來(lái)比較非線性臨界速度大小，而不必畫(huà)出極限環(huán)曲線，這樣可以節(jié)約大量的計(jì)算時(shí)間。

5 結(jié)論

(1)在選取電機(jī)懸掛參數(shù)時(shí)，要兼顧轉(zhuǎn)向架的線性臨界速度和非線性臨界速度，因?yàn)榫€性臨界速度高，非線性臨界速度不一定高。

(2)相對(duì)于轉(zhuǎn)向架的線性臨界速度，其非線性臨界速度對(duì)電機(jī)懸掛參數(shù)不敏感，特別是當(dāng)電機(jī)懸掛頻率fy、阻尼比ξy較大時(shí)，非線性臨界速度基本上不受懸掛參數(shù)的影響。

(3)電機(jī)質(zhì)量對(duì)轉(zhuǎn)向架的線性、非線性臨界速度都有較大的影響，但線性臨界速度受其影響程度要比非線性臨界速度大。

(4)轉(zhuǎn)向架的線性臨界速度與非線性臨界速度相差越大，系統(tǒng)方程在分叉點(diǎn)的三次共振項(xiàng)系數(shù)實(shí)部(即Rec1(0))越大。