楊成鵬，張娟，王佩艷

(西北工業(yè)大學力學與土木建筑學院，陜西西安710129)

0 引言

速度合成定理是理論力學教學中的重點和難點，涉及的諸多概念不僅抽象，而且相互關系錯綜復雜，教師講授與學生學習都有不少困惑。關于速度合成定理的推導，文獻中有兩種方法，所謂的解析法[1-4]與幾何法[4-7]。必須指出：長期以來，關于速度合成定理的幾何法推導，爭議頗多。然而，大多數(shù)理論力學教材正是采用幾何法，因此這種爭議會直接影響到理論力學的課堂教學。

質(zhì)疑幾何法的教師認為：幾何法中牽連位移的概念模糊，相對速度的數(shù)學推導有誤[7-9]。而支持幾何法的教師則認為：幾何法證明速度合成定理同樣具有普遍性，而且直觀、簡明、易懂[4,10]。孰是孰非，問題擺在了廣大教師面前。我們有理由相信這種爭議會促使廣大教師對速度合成定理的推證過程進行深入思考，進而改善教學。

本文將基于點的運動描述的矢量法，深入剖析三種運動(速度)的物理和數(shù)學內(nèi)涵；給出速度合成定理的解析法與幾何法推導過程，并闡明其求解思路的差異、模型構建的異同，以及數(shù)學表征的特殊性；根據(jù)差異性分析，論證相關概念的準確性，以及兩種推證的合理性與統(tǒng)一性。

1 描述點的運動的矢量法

1.1 絕對運動

動點相對于定系的運動稱為絕對運動，動點相對于定系的運動軌跡則稱為絕對運動軌跡。先回顧一下點的運動描述的矢量法。設點P沿圖1所示軌跡運動，從瞬時t到t+Δt，動點由M運動到M′，相對定系Oxyz的矢徑分別為r和r′。

圖1 定系中點的速度描述

動點P在Δt內(nèi)的絕對位移可表示為

(1)

它在t瞬時的絕對速度可描述為

(2)

方向沿運動軌跡在M點的切線。應該注意，動點相對于定系之矢徑r稱為絕對矢徑，該矢量在定系中對時間t的導數(shù)也稱為絕對導數(shù)。

1.2 相對運動

動點相對于動系的運動為相對運動，動點相對于動系的運動軌跡則為相對運動軌跡。設動點P沿圖2所示軌跡運動，從瞬時t到t+Δt，動點由M運動至M2，相對于動系O′x′y′z′的矢徑分別為ρ和ρ′，則動點P在Δt內(nèi)的相對位移為

(3)

必須指出，該位移須在動系中觀測[11]。同時，給出動點在t瞬時的相對速度為

(4)

方向沿相對運動軌跡在M點的切線。注意，動點相對于動系之矢徑ρ稱為相對矢徑，該矢量在動系中對時間t的導數(shù)稱為相對導數(shù)。相對導數(shù)并不能反映動系相對于定系的運動情況。

圖2 動系中點的速度描述

2 速度合成定理的兩種推證

2.1 解析法(運動耦合求導法)

設動點為P，定系原點為O；動系固連于某剛體；動系原點為O′，其絕對矢徑為rO′；動點的絕對矢徑為r，相對矢徑為ρ。解析法的總體思路就是基于圖3所示的矢量關系，直接求矢導數(shù)，然后根據(jù)點的運動描述的矢量法，尋求三種速度之間的關系。

圖3 矢量關系圖

圖示矢量滿足：

r=rO′+ρ=rO′+x′i′+y′j′+z′k′

(5)

上式在定系中對時間t求導，有

(6)

(7)

考慮到式(4)和泊松公式，得到

(8)

式中ω為動系繞O′點轉(zhuǎn)動的角速度。從而得到

va=vr+vO′+ω×ρ

(9)

式中vO′+ω×ρ是動系上與動點P重合的點相對于定系的速度，即牽連速度ve。于是，可得速度合成定理的表達式

va=vr+ve

(10)

因為牽連運動為動系相對于定系的運動，所以，當動系平移時，ω=0，ve=vO′；當動系繞O′作定軸轉(zhuǎn)動時，ve=ω×ρ。

2.2 幾何法(運動解耦分析法)

設在t瞬時，動點處在M位置，與動系重合的點為m。假定動點相對于動系O′x′y′z′沿某一曲線(即相對運動軌跡)運動的同時，動系本身相對于定系作某種運動，經(jīng)過微小時間間隔Δt，動點相對于定系由M點運動至M′點。該絕對運動可視為兩個運動的合成運動，通常分解為：動點先隨動系從M點運動至M1點，該過程無相對運動；后沿相對運動軌跡從M1點運動至M′點，該過程無牽連運動。相應的運動軌跡見圖4。

圖4 運動分解示意圖

下文將基于運動分解的數(shù)學內(nèi)涵尋求t瞬時動點的絕對速度與相對速度、牽連速度之間的關系。

2.2.1 絕對速度

根據(jù)點的速度的矢量描述方法，若絕對矢徑隨時間的變化規(guī)律已知，即

r=r(t)

(11)

其矢端圖即為動點的絕對運動軌跡(圖4)，則動點絕對速度可描述為

(12)

方向沿著絕對運動軌跡在M點的切線，指向運動前進的方向。

2.2.2 牽連速度

牽連速度即牽連點相對于定系的速度。雖然牽連點具有瞬時性，但是在所關注的t瞬時，只需研究牽連點m的絕對速度。此時，點m就是動系上一個既定的點。要求出點m的絕對速度，需要知道它的運動方程。為此，引入點m相對于定系的矢徑rm，如圖4所示，進而給出t時刻m的絕對速度：

(13)

即為ve，方向沿牽連點m的絕對運動軌跡在M點的切線，指向運動前進的方向。

進一步用解析法進行深入分析。牽連點的絕對矢徑表示為rm=rO′+ρm，O′為動系原點，對該矢量關系式在定系中求導，有

(14)

(15)

運動分解后，動點隨動系從M點運動至M1點的過程中無相對運動，牽連點m相對于動系靜止，即

(16)

由于動點與牽連點重合，有ρm=ρ，且vr=0，

ve=vm=vO′+ω×ρ

(17)

式(17)正是解析法得出的牽連速度之矢量表達式。

2.2.3 相對速度

動點相對于動系的速度可由相對矢徑ρ的變化規(guī)律得出。假定矢量形式的運動方程已知，即

ρ=ρ(t)=x′(t)i′+y′(t)j′+z′(t)k′

(18)

根據(jù)相對導數(shù)的物理含義，給出相對速度的數(shù)學表達式:

(19)

方向必沿著相對運動軌跡在M點的切線，指向相對運動前進的方向。

(20)

不難理解，相對于動系而言，式(19)和式(20)所描述的相對速度是完全相同的。

進一步用解析法對式(20)進行深入分析。注意到，運動分解后，動點沿相對運動軌跡運動時無牽連運動影響，即動系相對于定系的位置處于設想中的凍結(jié)狀態(tài)，在任意t時刻，有

(21)

此條件下，對式(5)求絕對導數(shù)，得絕對速度與相對速度vr相等；且相對矢徑ρ的絕對導數(shù)與相對導數(shù)相等，為t瞬時動點之相對速度，即

(22)

式(22)具有很強的實際指導意義，即在定系中畫任意t瞬時動點之相對速度矢量時，其方向沿相對運動軌跡在M點的切線。

2.2.4 速度合成

上述分析中，Δr為動點P的絕對位移，Δρ為動點P的相對位移，而Δrm為動系上m點的絕對位移，見圖5。

圖5 速度合成圖

從圖5可以看出，三種位移滿足：

(23)

式(23)兩邊同時除以Δt，在定系中令Δt→0,取極限，有

(24)

對式(24)逐項進行分析，注意到式(12)和(13)，有

(25)

最后一個極限包含兩層含義，即動點和動系均無限趨近于其t時刻在定系中所處的位置，同時考慮到式(22)，有

(26)

從定系中看，相對速度沿相對運動軌跡在M點的切線，而絕非沿圖5中的M1點之切線，因為Δt趨于零時，M1點無限趨近于M點。

至此，相對速度相對于定系和動系的大小和方向也唯一確定，從而可得點的速度合成定理。特別指出：幾何法本質(zhì)上是運動解偶分析法，我們認為其求解思路和極限運算是嚴謹?shù)?、合理的，而且論證過程直觀、簡明、易懂；從推證過程看出，幾何法同樣具有普遍性。

3 結(jié)論

1)解析法具有嚴謹?shù)臄?shù)學意義，涉及的概念不難理解，但推導過程和表達式比較復雜，對學生的數(shù)學思維要求比較高。

2)幾何法證明速度合成定理同樣具有普遍性，且證明過程直觀、形象、易于理解，符合學生的認知規(guī)律和認知能力。

3)幾何法與解析法的過程差異源于不同的推證思路，幾何法基于運動的分解，而解析法基于矢量的求導，兩種方法都是嚴謹?shù)?、合理的?/p>