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        基于算符正規(guī)乘積的拉蓋爾多項(xiàng)式與厄米多項(xiàng)式關(guān)系推導(dǎo)

        2019-10-17 10:00:40萬(wàn)志龍王剛李恒梅黃紅云王震
        關(guān)鍵詞:蓋爾恒等式將式

        萬(wàn)志龍,王剛,李恒梅,黃紅云,王震

        (常州工學(xué)院理學(xué)院,江蘇常州213032)

        0 引言

        厄米多項(xiàng)式和拉蓋爾多項(xiàng)式是量子物理學(xué)中的兩個(gè)非常重要的特殊函數(shù),在量子光學(xué)、數(shù)理方程中也有廣泛應(yīng)用[1-3]。例如厄米多項(xiàng)式與量子諧振子的波函數(shù)、坐標(biāo)本征態(tài)等有關(guān)[4],拉蓋爾多項(xiàng)式與氫原子、類氫原子和堿金屬原子體系的能級(jí)和徑向波函數(shù)有關(guān)[5],在量子光學(xué)中,厄米多項(xiàng)式態(tài)的非經(jīng)典性質(zhì)一直是熱門的研究課題[6]。文獻(xiàn)[7]通過(guò)厄米方程和拉蓋爾方程之間的聯(lián)系,得到了厄米多項(xiàng)式和拉蓋爾多項(xiàng)式的關(guān)系,但推導(dǎo)方法過(guò)于抽象,并未給出拉蓋爾多項(xiàng)式的遞推關(guān)系,對(duì)量子力學(xué)初學(xué)者有一定難度。本文利用算符正規(guī)乘積的性質(zhì),從算符厄米多項(xiàng)式的定義出發(fā),推導(dǎo)出拉蓋爾多項(xiàng)式和其母函數(shù)形成、厄米多項(xiàng)式之間的關(guān)系,并且給出了拉蓋爾多項(xiàng)式的遞推關(guān)系。此方法簡(jiǎn)捷明了,有助于學(xué)生在學(xué)習(xí)量子力學(xué)時(shí)加深對(duì)厄米多項(xiàng)式和拉蓋爾多項(xiàng)式的理解,幫助學(xué)生拓寬學(xué)習(xí)思路。

        1 算符正規(guī)乘積性質(zhì)簡(jiǎn)介

        2 推導(dǎo)拉蓋爾多項(xiàng)式的關(guān)系式

        在數(shù)學(xué)上將e2λx-λ2按λ的冪級(jí)數(shù)展開(kāi),即可得到厄米多項(xiàng)式的母函數(shù)

        (1)

        將式(1)中的自變量x用坐標(biāo)算符X來(lái)代替,就可以得算符厄米多項(xiàng)式的母函數(shù)

        (2)

        利用正規(guī)乘積的性質(zhì)和Baker-Hausdorff算符公式[8],不難得到兩個(gè)有關(guān)算符厄米多項(xiàng)式的恒等式[9]

        Hn(X)=∶(2X)n∶

        (3)

        Xn=(2i)-n∶Hn(iX)∶

        (4)

        根據(jù)數(shù)理方程泰勒級(jí)數(shù)展開(kāi)理論和式(3),容易得到

        (5)

        (6)

        (7)

        (8)

        為了得到拉蓋爾多項(xiàng)式的具體形式,我們不妨采用待定系數(shù)法,將式(8)冪級(jí)數(shù)展開(kāi)

        (9)

        其中Ln(X)為待定算符多項(xiàng)式,比較式(8)和式(9)中的tn系數(shù),可得

        (10)

        再利用式(3),得到

        (11)

        再將式(11)中的動(dòng)量算符X用經(jīng)典數(shù)x代替,恰好就是拉蓋爾多項(xiàng)式的原始定義式

        (12)

        (13)

        上述推導(dǎo)過(guò)程是以厄米多項(xiàng)式的母函數(shù)為出發(fā)點(diǎn),由此可見(jiàn)厄米多項(xiàng)式和拉蓋爾多項(xiàng)式之間必然存在某種聯(lián)系,接下來(lái)我們將利用量子力學(xué)中坐標(biāo)表象完備性關(guān)系推導(dǎo)兩者之間的關(guān)系。

        3 推導(dǎo)厄米多項(xiàng)式與拉蓋爾多項(xiàng)式的關(guān)系

        進(jìn)一步將式(13)推廣為伴隨拉蓋爾多項(xiàng)式的母函數(shù)(推導(dǎo)過(guò)程見(jiàn)附錄)

        (14)

        (15)

        t=λ,得到

        (16)

        (17)

        (18)

        比較式(18),可得新的算符恒等式

        (19)

        再借助式(4),可得

        (20)

        最后將式(20)中的算符iX替換成經(jīng)典數(shù)x,即可得到厄米多項(xiàng)式與拉蓋爾多項(xiàng)式的關(guān)系

        (21)

        可以看出,這樣可以非常方便快捷地推導(dǎo)出厄米多項(xiàng)式與拉蓋爾多項(xiàng)式的關(guān)系。

        4 推導(dǎo)拉蓋爾多項(xiàng)式的遞推關(guān)系

        利用算符恒等式H2n(X)=22n∶X2n∶,將其代入式(21)即可得到式(19)的反演形式

        (22)

        再次利用坐標(biāo)表象完備性和有序算符內(nèi)的積分技術(shù)可得

        (23)

        另一方面,利用式(14)可得

        (24)

        聯(lián)立式(23)和式(24)可得

        (25)

        再將式(25)左邊進(jìn)行冪級(jí)數(shù)展開(kāi)得到

        (26)

        比較式(26)中兩邊tn的系數(shù)得到

        (27)

        將式(27)與式(22)結(jié)合,可得算符拉蓋爾多項(xiàng)式的遞推關(guān)系

        (28)

        最后將算符用經(jīng)典數(shù)取代,即可得到拉蓋爾多項(xiàng)式的遞推關(guān)系

        (29)

        由此可見(jiàn),利用算符多項(xiàng)式方法,可以方便地討論厄米多項(xiàng)式函數(shù)和拉蓋爾多項(xiàng)式函數(shù)的性質(zhì)。

        5 結(jié)論

        本文從厄米多項(xiàng)式的原始定義出發(fā),利用算符正規(guī)乘積的性質(zhì),借助坐標(biāo)表象完備性和有序算符內(nèi)的積分技術(shù),簡(jiǎn)潔明了地推導(dǎo)出了拉蓋爾多項(xiàng)式,在此基礎(chǔ)上,進(jìn)一步導(dǎo)出了厄米多項(xiàng)式與拉蓋爾多項(xiàng)式的關(guān)系和拉蓋爾多項(xiàng)式的遞推關(guān)系。另外,利用量子力學(xué)中的表象完備性,也可以將一些特殊的算符表達(dá)式展開(kāi)成厄米多項(xiàng)式或拉蓋爾多項(xiàng)式,從而得到一些新的公式。

        附錄:推導(dǎo)伴隨拉蓋爾多項(xiàng)式

        利用式(3)得

        (30)

        (31)

        (32)

        再將式(32)左邊以zn展開(kāi),可得

        (33)

        比較式(32)和式(33)中zn的系數(shù),可得

        (34)

        再利用算符厄米多項(xiàng)式恒等式(3),得到

        (35)

        即可得到伴隨拉蓋爾多項(xiàng)式的定義式

        (36)

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