(惠州市實(shí)驗(yàn)中學(xué)，廣東 惠州 516008)

(2019年內(nèi)蒙古自治區(qū)高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽預(yù)賽試題第9題)

筆者應(yīng)用向量方法得到了賽題較為簡潔的證法，并由此得到了四面體A1A2A3A4的廣義Prouhet球面的幾個(gè)有趣性質(zhì).現(xiàn)整理出來與讀者分享，為敘述方便將上述試題記為性質(zhì)1，即：

由于G是線段OH的中點(diǎn)，從而

代入上式可得

證明由題意可知

而頂點(diǎn)Ai(其中i=1,2,3,4)在球面S(O,R)上，故

因此

因此

綜合性質(zhì)1～3，可得：

實(shí)際上，在性質(zhì)4中，當(dāng)四面體A1A2A3A4為垂心四面體時(shí)，令點(diǎn)H為其垂心，就得到了如下命題：

這就是1863年法國數(shù)學(xué)家Prouhet將三角形的九點(diǎn)圓定理類比推廣到垂心四面體中得到的結(jié)論，由此產(chǎn)生了Prouhet球面的概念.