江蘇省吳江盛澤中學(xué) 李宏銘

對(duì)于一個(gè)函數(shù)f（x），如果f（x）≤2恒成立，能否說f（x）的最大值等于2？顯然不能.比如對(duì)于函數(shù)f（x）＝-x2＋1，其最大值是1，我們也照樣可以說f（x）≤2是恒成立的（雖然“等號(hào)”取不到），不但如此，我們還可以說f（x）≤3，f（x）≤4，f（x）≤5等都是恒成立的.

對(duì)于一個(gè)函數(shù)f（x），如果f（x）≤f（5）恒成立，能否說f（x）的最大值等于f（5）呢？那是肯定的.區(qū)別在哪里？在于后面的那個(gè)“常數(shù)”是否能作為一個(gè)函數(shù)值.

作如此細(xì)致入微的辨析，有什么好處？先來看下面的兩個(gè)例題：

設(shè)想看到例1，基本上會(huì)往這個(gè)方向上考慮：求出f（x）的最大值（用a表示），再令這個(gè)最大值等于a＋6，就可以求出a的值.但是，對(duì)于這個(gè)函數(shù)f（x），求它的最大值可不是容易的事，這個(gè)方法很難實(shí)施.

而在面對(duì)例2時(shí)，情況變了，我們很容易想到下面的解法：

解因?yàn)閒（x）的最大值是f（1），故f（x）≤f（1）恒成立，即

（1）當(dāng)x＝1時(shí)，①式即為0≤0，a可以為任意實(shí)數(shù).

（2）當(dāng)x ∈［-1，1）時(shí)，①式化為（x2＋x＋1）-（a＋1）（x＋1）＋2a≥0，即得令t＝1-x（t∈（0，2］）得：

值得一提的是，例1中的a＋6與例2中的f（1）其實(shí)是同一個(gè)量，即f（1）＝a＋6.于是我們回過頭來可以給出例1的解法：

解因?yàn)閒（x）的最大值是a＋6，即移項(xiàng)、因式分解得（x-1）［（x2＋x＋1）-（a＋1）（x＋1）＋2a］≤0（以下同例2的解法，略）.

此處的“解”和前面的“設(shè)想”，難度相差非常大，根源僅僅在于對(duì)“最大值”概念的利用上.“解”直接利用了“a＋6是最大值”，“設(shè)想”則先撇開這個(gè)條件不用，另外去求函數(shù)的最大值（再讓它等于a＋6）.

現(xiàn)在我們有必要回顧一下，什么是函數(shù)的最大值.下面給出的是蘇教版高中《數(shù)學(xué)（必修1）》第39頁給出的說法：

這里不僅要看到f（x）≤f（x0），還要看到f（x0）是“可以取到的函數(shù)值”，二者缺一不可.于是我們很自然地知道，f（x）≤f（x0）與f（x）≤M（M 是常數(shù)）有很大的不同，不僅是形式上的而且是本質(zhì)上的.

即使在f（x0）＝M 的情況下，上述兩個(gè)式子對(duì)思維的啟發(fā)力度也有明顯的差異.“f（x）≤f（x0）”的啟發(fā)性更強(qiáng).

明了這兩點(diǎn)，就更容易看清楚在用基本不等式求最值時(shí)，為什么要強(qiáng)調(diào)“等號(hào)能取到”了.只不過不等式里可能有兩個(gè)或更多的變量，這時(shí)如果我們將其看作多元函數(shù)，理解上也就和此處完全一致了.下面我們把例2中的表達(dá)式換一下，并把“最大值”改為“最小值”，看一個(gè)變式題，即

（請(qǐng)先給出解答，然后再往下看……）

因?yàn)閯倓傃芯客昀?，你對(duì)那里的解答一定還印象深刻，于是仿照之用f（x）≥f（1），這也確實(shí)容易完成解答.但是我們還有另外一個(gè)更加容易的解法，那就是由三次函數(shù)的圖象知立刻解得這里采用的是關(guān)于最值的另一種視角，那就是“形”的視角：函數(shù)圖象上最高（低）點(diǎn)的縱坐標(biāo)分別是函數(shù)的最大（?。┲担@個(gè)觀點(diǎn)可帶來強(qiáng)烈的直觀化效果.

還有一個(gè)容易困惑的問題，那就是：常函數(shù)是否有最大值？是否有最小值？

這往往會(huì)被認(rèn)為是個(gè)“刁鉆”的問題，但如果我們對(duì)“函數(shù)最值”的概念很清楚，并且有依靠定義來判斷的習(xí)慣，它就是顯而易見的了：任意常函數(shù)，其最大值和最小值都是這個(gè)函數(shù)值本身.因?yàn)槲覀兛梢赃x擇自變量的任何一個(gè)值作為x0，則所有的函數(shù)值都滿足f（x）≤f（x0），因而f（x0）是最大值.同時(shí)也滿足f（x）≥f（x0），因此f（x0）也是最小值.

我們應(yīng)該養(yǎng)成一個(gè)思維習(xí)慣，那就是：做判斷時(shí)回到定義，回到定義就是“回到問題本身”.這不是技巧，也不是規(guī)則，而是——智慧！