江蘇省溧陽市埭頭中學(xué) 吳耀軍

多元不等式問題中，由于未知的元不止一個(gè)，無法單純地判斷某一個(gè)的范圍，常需要利用基本不等式來解決.多元問題一般屬于較難題，如何有效突破這類問題，進(jìn)而提高解題應(yīng)變能力，以期養(yǎng)成良好思維品質(zhì)，是我們“準(zhǔn)高三”學(xué)生應(yīng)該多加思考的.下面筆者通過實(shí)例講起，試圖探索該類問題的常見解法.

一、問題展示

題已知實(shí)數(shù)x，y滿足x＞y＞0，且x＋y≤2，則的最小值為____.

分析由條件x＞y＞0知，x-y＞0，x＋3y＞0，故（x＋3y）＋（x-y）＝2x＋2y≤4.

點(diǎn)評(píng)此處筆者提供的方法中，巧妙地運(yùn)用了來轉(zhuǎn)化目標(biāo)式，這種思路的關(guān)鍵是需要發(fā)現(xiàn)目標(biāo)式中分母x＋3y與x-y的和與條件中x＋y的倍數(shù)關(guān)系，將x＋3y與x-y看成整體，即（x＋3y）＋（x-y）＝2x＋2y，故有在解決本類型問題時(shí)，注意目標(biāo)式結(jié)構(gòu)特征顯得尤為重要.

二、拓展延伸

我們應(yīng)該多想一步：命題者為何會(huì)這樣出題呢？

分析由等量關(guān)系x＋2y＝2，而目標(biāo)式即為可以直接采用常數(shù)代換或者消元減少變量轉(zhuǎn)為函數(shù)問題.

解法1（常數(shù)代換法）8）＝9.

解法2（消元法）由x＝2-2y＞0知，0＜y＜1，

分子分母同除以t得

（當(dāng)且僅當(dāng)t＝2時(shí)取“＝”）

這里也可以采用求函數(shù)最值的一般方法，如二次函數(shù)、求導(dǎo)等.再看下題.

分析條件與題1類似，但目標(biāo)表達(dá)式分子次數(shù)為2次，結(jié)構(gòu)相對(duì)復(fù)雜，需要將分子拆為分母的形式或使用換元法整體替換.下面僅用換元法示例.

解（換元法）令m＝x＋2＞2，n＝y(tǒng)＋1＞1，則m＋n＝4，

本題若采用消元策略，則函數(shù)式較復(fù)雜，運(yùn)算過程較繁，不建議使用.

三、點(diǎn)滴思考

思考1：高中數(shù)學(xué)中，線性齊次約束條件下的線性目標(biāo)最值或范圍求解問題一般用線性規(guī)劃方法解決即可，而對(duì)于非線性目標(biāo)最值或范圍求解問題，除了有特殊的幾何背景外一般可以有以下步驟分析解答.

（a）觀察所給條件，若條件中變量都為正實(shí)數(shù)，則優(yōu)先考慮使用基本不等式工具解決.

（b）結(jié)合條件，分析所求目標(biāo)結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，如變量出現(xiàn)在目標(biāo)式分母位置，考慮分母相加是否與條件有等量或大小關(guān)系，具體可參考上例，利用整體思想、常數(shù)代換法、換元法等價(jià)轉(zhuǎn)化解決.

（c）除上所述，若條件中變量可以相互轉(zhuǎn)化表示，則亦可考慮消元法，減少目標(biāo)式變量出現(xiàn)位置，甚至減少為只含單個(gè)變量，從而直接轉(zhuǎn)化為函數(shù)，利用函數(shù)的方法加以解決.當(dāng)然同時(shí)也要注意變量限制，即函數(shù)定義域.

思考2：若所給題目中含有3個(gè)變量，一般也是利用整體思想，把表達(dá)式看成2個(gè)部分.如題：設(shè)正實(shí)數(shù)x，y，z 滿足x＋2y＋z＝1，求的最小值.此題中把x＋2y＋z轉(zhuǎn)化為x＋y，y＋z兩個(gè)整體的和，然后在目標(biāo)表達(dá)式中采用常數(shù)代換法即可.

高中數(shù)學(xué)中多元問題類型多樣，內(nèi)涵豐富，但熟能生巧，期待勤奮好學(xué)的你能利用復(fù)習(xí)的契機(jī)，勤歸納、多探究，鋪好復(fù)習(xí)之路.