江蘇省吳江盛澤中學(xué) 孫四周

概念有四個要素，第一要素就是“意義”（另外的三個是：事例、特征、符號）.作為這個專欄的首篇，為什么不談“意義”而是談“無意義”呢？請往下看.

數(shù)學(xué)上印象最深的“無意義”，可能是小學(xué)時的“0做除數(shù)”，當(dāng)時的說法是“0不能做除數(shù)”，后來又說成“0做分母無意義”.初中有了“負(fù)數(shù)開平方無意義”，高中又有了“00無意義”，等等.數(shù)學(xué)上許多東西都是人為規(guī)定的，為何還有那么多的無意義呢？為什么不給它們“規(guī)定”一個意義？

現(xiàn)在來看00，如果允許你去規(guī)定，你認(rèn)為該規(guī)定它等于多少才算合適呢？如果注意到這個序列：

應(yīng)該規(guī)定00＝1；

而對于這個序列：

似乎又該規(guī)定00＝0.

數(shù)學(xué)家們還發(fā)現(xiàn)了類似的其他序列，按照那些序列呈現(xiàn)出的“規(guī)律”性，00又似乎是另外的值！進(jìn)一步的研究可以發(fā)現(xiàn)，對于任何一個正數(shù)，我們都可以找到這樣的序列，使得序列的“規(guī)律”指向它.如此一來，你認(rèn)為該規(guī)定00等于哪個值呢？

所有的“規(guī)定”都是人為的，但人不可妄為.數(shù)學(xué)上，在有了必要性和可行性時，才會去進(jìn)行人為的規(guī)定.即數(shù)學(xué)上的某個東西非常重要，“必須”有意義，否則就會有很多困擾；而它本身又沒有“現(xiàn)成的”意義，這時數(shù)學(xué)家就會嘗試去規(guī)定一個.這個“規(guī)定”自然要滿足兩點：一是要解決存在的困擾，二是不能引發(fā)新的矛盾.比如，“任何數(shù)乘以0都等于0”就是一個人為規(guī)定，它解決了乘法運算的很多問題又不引起矛盾.如果你規(guī)定“任何數(shù)乘以0都等于這個數(shù)”，那就會引起矛盾，因而不能采納.

00 的意義，需要規(guī)定嗎？好像是的，在心理上我們總希望自己看到的東西是有意義的.那么，可以規(guī)定00的意義嗎？現(xiàn)在還沒有找到規(guī)定它的方法，也就是：規(guī)定它等于任何一個實數(shù)都會導(dǎo)致矛盾.如此，只好不做規(guī)定.也就是認(rèn)為00無意義.你是不是感到很遺憾？沒必要，“00無意義”就是它的意義.

人類總是在尋找世界（和人生）的意義，也總希望自己感受到的東西、經(jīng)歷過的事件是實在的.如果你突然發(fā)現(xiàn)，面前站著的人是“虛幻”的，那個感覺可不美妙.在邏輯上證明某個東西“不可能有意義”，比認(rèn)定一個東西“有意義”要困難得多.因此，對數(shù)學(xué)上“無意義”的東西我們會有深刻的記憶，深刻程度超過眾多“有意義”的東西.

我們今天在這里談“無意義”，希望大家注意以下兩點：

第一，“無意義”和“有意義”是相對的，無意義可以發(fā)展為有意義，有意義也可能變得無意義.比如：7除以3無意義（除不盡）、小數(shù)減大數(shù)無意義（不夠減）、大于180°的角無意義（不存在）等，現(xiàn)在它們都變成了有意義.還有很多的無意義，比如：負(fù)面積、負(fù)數(shù)開平方、負(fù)數(shù)的對數(shù)等，在以后也會變得有意義.每一次把無意義轉(zhuǎn)化為有意義，都是認(rèn)識上的巨大突破.

第二，某些看似天然“有意義”的概念被質(zhì)疑，即被懷疑為“無意義”，會促進(jìn)人們的思考，突破眼界的局限，進(jìn)入新的認(rèn)知領(lǐng)域.

比如“線段長度”，意義似乎非常清楚，只要是認(rèn)識數(shù)碼的人就會利用刻度尺把一個長度量出來，似乎沒什么好研究的.而實際上，“尺子量出來”的那個數(shù)據(jù)是很表象化的東西，知道它“能不能度量”才是深刻的.由此前沿的思想家們考察了曲線的長度、不連續(xù)數(shù)集的長度、海岸線長度等，發(fā)展出了微積分學(xué)、勒貝格測度、分形理論等彪炳史冊的偉大理論.即便現(xiàn)在，對于空間、時間等基本概念，人類還沒有認(rèn)識清楚，這已經(jīng)是科學(xué)的最前沿了.

概念，是邏輯思維的結(jié)果，也是思維過程的凝結(jié)，還是繼續(xù)思維的載體.人類的靈性，就體現(xiàn)在對抽象概念的理解和應(yīng)用上.這，也是我們開設(shè)“概念理解”專欄的意義.我們會把更多的意義揭示出來，以饗讀者，也讓我們的學(xué)習(xí)充滿意義.