王奇勝, 高博青, 吳 慧

(1. 浙江大學(xué) 建筑工程學(xué)院， 杭州 310058； 2. 浙江財(cái)經(jīng)大學(xué) 公共管理學(xué)院， 杭州 310018)

隨著計(jì)算機(jī)輔助設(shè)計(jì)技術(shù)的突破和建造工藝的提升，世界各地出現(xiàn)了越來(lái)越多的自由曲面建筑，如上海陽(yáng)光谷世博軸[1]和天津于家堡綜合交通樞紐站[2].該類建筑通常具有獨(dú)特的造型需求，常規(guī)的網(wǎng)格結(jié)構(gòu)難以表達(dá)，而已有的自由曲面網(wǎng)格設(shè)計(jì)方法，要么耗時(shí)耗力，要么適用范圍有限.為復(fù)雜的自由曲面生成符合建筑要求的網(wǎng)格，是現(xiàn)代空間結(jié)構(gòu)研究的難點(diǎn)與熱點(diǎn).Owen[3]總結(jié)了經(jīng)典的網(wǎng)格劃分算法，如Delaunay法[4]、波前法[5]、映射法[6]及其組合[7-8].但這些方法在自由曲面上的應(yīng)用有局限性，無(wú)法滿足建筑上對(duì)網(wǎng)格規(guī)整、流暢的要求.近些年，針對(duì)自由曲面網(wǎng)格生成的研究，取得了一定的進(jìn)展.Su等[9]在波前法中引入主應(yīng)力線來(lái)控制網(wǎng)格走向，生成均勻的三角形網(wǎng)格，但網(wǎng)格的流暢性較差.Zheleznyakova和Wang等[10-12]采用基于物理模擬的方法優(yōu)化節(jié)點(diǎn)分布，再結(jié)合Delaunay法和映射法生成空間網(wǎng)格，但對(duì)于曲率較大的曲面，網(wǎng)格容易產(chǎn)生映射畸變.Gao等[13]在曲面的參數(shù)域中以直線段為引導(dǎo)線調(diào)控網(wǎng)格走向，采用兩種方法推進(jìn)引導(dǎo)線并結(jié)合曲面的參數(shù)化關(guān)系生成流暢的空間網(wǎng)格，稱為映射引導(dǎo)線法.但是，該方法僅適用于空間域和參數(shù)域?qū)?yīng)關(guān)系較好的曲面，否則易引起網(wǎng)格畸變.

為了生成規(guī)整、流暢、走向可控的建筑網(wǎng)格，基于引導(dǎo)線偏移的思想，提出一種自由曲面網(wǎng)格劃分方法，即空間引導(dǎo)線法.通過(guò)直接在曲面上偏移曲線避免了映射畸變，引入偏移距離函數(shù)實(shí)現(xiàn)了曲線間距的控制，并通過(guò)與兩種現(xiàn)有方法的對(duì)比說(shuō)明空間引導(dǎo)線法的優(yōu)勢(shì).

1 曲線偏移

1.1 非均勻有理B樣條技術(shù)

非均勻有理B樣條(Non-Uniform Rational B-Splines，NURBS)[14]，是建筑上常用來(lái)表達(dá)自由曲面的技術(shù).NURBS曲線、曲面是由節(jié)點(diǎn)矢量、控制點(diǎn)、權(quán)值確定的參數(shù)方程，通過(guò)調(diào)整這3個(gè)變量可以實(shí)現(xiàn)幾何形狀的自由變化.對(duì)于邊界復(fù)雜的自由曲面，常用裁剪曲面表達(dá).裁剪曲面是由完整的NURBS曲面和用于裁剪的NURBS曲線聯(lián)合表示的曲面.

基于NURBS技術(shù)，針對(duì)曲線和曲面的幾何操作，如曲線延伸、曲面延伸、線線求交、線面求交、曲線擬合等，都已有成熟的算法實(shí)現(xiàn)，在Rhinoceros、3DS Max等軟件中有著廣泛的應(yīng)用.

1.2 基本算法

引導(dǎo)線是直接在曲面上勾勒的曲線，一般由建筑師給定.在曲面上偏移引導(dǎo)線時(shí)，偏移得到的曲線(偏移線)必須要保證本身在曲面上、端點(diǎn)在曲面邊界線上，與引導(dǎo)線走勢(shì)一致且間距合理.鑒于已有的曲線偏移方法難以滿足上述要求，本文提出一種在曲面上偏移曲線的方法，偏移引導(dǎo)線的過(guò)程如圖1所示.

圖1 偏移引導(dǎo)線的過(guò)程

以圖1(a)所示的曲面S為例，為了保證后續(xù)生成的偏移線有足夠的長(zhǎng)度，先延伸曲面S(裁剪曲面取其完整曲面進(jìn)行延伸)和引導(dǎo)線G，得到曲面S′和在曲面S′上的引導(dǎo)線G′(圖1(b)).在曲線G′上布置n個(gè)點(diǎn)作為偏移的基準(zhǔn)點(diǎn)，記為點(diǎn)集P.過(guò)點(diǎn)集P中一點(diǎn)p，生成垂直曲線G′的平面V，同時(shí)以點(diǎn)p為球心、偏移距離為半徑生成球面B(圖1(c)).求平面V、球面B和曲面S′的交點(diǎn)，若交點(diǎn)存在，則作為點(diǎn)p在引導(dǎo)線兩側(cè)的偏移點(diǎn)q.遍歷點(diǎn)集P中的點(diǎn)，得到由偏移點(diǎn)q組成的點(diǎn)集Q.將點(diǎn)集Q中在同一側(cè)的偏移點(diǎn)按順序擬合成曲面S′上的曲線C(圖1(d)).裁去曲線C不在曲面S上的部分，得到偏移線C′(圖1(e)).在引導(dǎo)線的同一側(cè)上，以剛生成的偏移線為引導(dǎo)線，采用上述方法生成新的偏移線，如此迭代，得到一組偏移線(圖1(f)).

在上述過(guò)程中，基準(zhǔn)點(diǎn)的數(shù)目和間距需要合理設(shè)置.數(shù)目過(guò)大或間距過(guò)小時(shí)，會(huì)導(dǎo)致偏移線不光滑且運(yùn)算更耗時(shí)；數(shù)目過(guò)小或間距過(guò)大時(shí)，會(huì)導(dǎo)致偏移曲線不能體現(xiàn)引導(dǎo)線的形態(tài).實(shí)踐表明，根據(jù)偏移距離控制基準(zhǔn)點(diǎn)的數(shù)目和間距，使相鄰的球面B正好有少量的重疊，可以取得相對(duì)較好的計(jì)算結(jié)果.

1.3 間距控制

通過(guò)調(diào)控各基準(zhǔn)點(diǎn)的偏移距離，可以控制偏移線與引導(dǎo)線的間距.當(dāng)各基準(zhǔn)點(diǎn)對(duì)應(yīng)的偏移距離R都等于基本間距s時(shí)，上述偏移為等間距偏移，反之為不等距偏移.等間距偏移有助于后續(xù)生成均勻、規(guī)整的網(wǎng)格，所以更為常用；合適的不等距偏移可以得到間距按一定規(guī)律變化的曲線組.這可為建筑師提供一種更加靈活的選擇，有一定的應(yīng)用前景.為實(shí)現(xiàn)間距的等比、等差或自定義規(guī)律的變化，下面構(gòu)造相應(yīng)的基準(zhǔn)點(diǎn)偏移距離函數(shù).

采用橫向(沿引導(dǎo)線走向)比例rh和縱向(垂直引導(dǎo)線方向)比例rz來(lái)實(shí)現(xiàn)偏移距離的等比調(diào)控.第j次偏移的引導(dǎo)線上第i個(gè)基準(zhǔn)點(diǎn)pij對(duì)應(yīng)的偏移距離為

(1)

當(dāng)rh=rz=1時(shí)，生成等間距偏移線；rh≠1時(shí)，生成間距沿橫向漸變的曲線，如圖2(a)中的曲線分布為下側(cè)較密，右上側(cè)較疏；rz≠1時(shí)，生成間距沿縱向漸變的曲線，如圖2(b)中靠近初始引導(dǎo)線的相鄰曲線間距較小，遠(yuǎn)離的曲線間距較大.圖2中的曲線雖然間距不同，但間距變化自然，疏密有致，具有一定的美感.

圖2 偏移間距的調(diào)控

類似地，采用橫向差值ah和縱向插值az實(shí)現(xiàn)偏移距離的等差調(diào)控.基準(zhǔn)點(diǎn)pij的偏移距離為

Rij=s+ah(i-1)+az(j-1)

(2)

除了等比和等差調(diào)控外，也可根據(jù)需要自定義偏移距離函數(shù)R(s,hi,zj)，實(shí)現(xiàn)曲線間距的特定調(diào)控，其中hi和zj是跟基準(zhǔn)點(diǎn)編號(hào)i、j有關(guān)的函數(shù).

1.4 形態(tài)優(yōu)化

在曲面較為平坦且引導(dǎo)線彎折不顯著時(shí)，由上述方法偏移得到的曲線一般都較為光順，但當(dāng)偏移距離相對(duì)引導(dǎo)線或曲面的曲率半徑較大時(shí)，擬合的偏移線可能較不光順，甚至出現(xiàn)交叉.以圖1(a)所示的曲面S為例，由初始引導(dǎo)線迭代地朝兩側(cè)偏移得到的曲線如圖3(a)所示.圖中圈出的曲線(紅線)存在扭曲、自交的情況.為此，對(duì)上述偏移算法進(jìn)行局部調(diào)整，將滿足下式的相鄰偏移點(diǎn)合并為兩者的中點(diǎn)：

di,i+1

(3)

i=1,2,…,n-1

式中：k為調(diào)整系數(shù)，一般取0.5；Ri和Ri+1分別為第i和第i+1個(gè)基準(zhǔn)點(diǎn)的偏移距離；di,i+1為第i和第i+1個(gè)基準(zhǔn)點(diǎn)對(duì)應(yīng)的偏移點(diǎn)之間的距離.

通過(guò)合并距離過(guò)近的偏移點(diǎn)，優(yōu)化了偏移線的形態(tài)，避免了曲線彎折突兀，甚至交叉的情況出現(xiàn).優(yōu)化后的偏移線形態(tài)光順，與引導(dǎo)線的間距合理、走勢(shì)吻合，如圖3(b)所示.

圖3 偏移線的形態(tài)優(yōu)化

2 生成網(wǎng)格

2.1 單引導(dǎo)線

基于給定的單條引導(dǎo)線，在曲面上迭代地進(jìn)行偏移后，得到一組布滿整個(gè)曲面的偏移線.以偏移線(包括初始引導(dǎo)線)為網(wǎng)格線，直接按照一定的規(guī)律進(jìn)行分解和連接，形成最終的網(wǎng)格.例如，先按相同桿長(zhǎng)將偏移線等分，再用曲面上的約束Delaunay法將分段點(diǎn)連接成三角形網(wǎng)格(見(jiàn)圖4(a)).此外，也可以采用其他方法在曲面上生成另一組曲線，使其與偏移線相交而構(gòu)成網(wǎng)格.例如，由等距斷面線(曲面上的等高線)與偏移線構(gòu)成網(wǎng)格，如圖4(b)所示.

由于偏移線已經(jīng)基本決定了網(wǎng)格的走向和布局，所以基于引導(dǎo)線偏移生成的網(wǎng)格能較好地反映建筑師的要求，體現(xiàn)建筑意蘊(yùn).

圖4 基于單引導(dǎo)線生成的網(wǎng)格

2.2 雙引導(dǎo)線

如果勾勒了兩條相交的引導(dǎo)線，那么分別對(duì)這兩條引導(dǎo)線迭代地進(jìn)行偏移，得到兩組偏移線.通過(guò)求交、連線等操作，將這兩組偏移線構(gòu)成的曲線網(wǎng)轉(zhuǎn)換為四邊形網(wǎng)格，如圖5(a)所示.若需要三角形網(wǎng)格，則先在延伸的曲面上采用上述方法生成四邊形網(wǎng)格，再連接四邊形的對(duì)角線形成三角形網(wǎng)格，然后將不在原曲面上的部分剔除，得到曲面上的三角形網(wǎng)格，如圖5(b)所示.

圖5 基于雙引導(dǎo)線生成的網(wǎng)格

通過(guò)布置雙引導(dǎo)線，建筑師可以從兩個(gè)方向上引導(dǎo)網(wǎng)格走向，控制網(wǎng)格形態(tài)，往往比單引導(dǎo)線能更好地表達(dá)建筑美感.

基于雙引導(dǎo)線偏移生成的網(wǎng)格，雖然在整體上較為規(guī)整、流暢，但在邊界附近存在桿長(zhǎng)參差不齊、節(jié)點(diǎn)數(shù)目較多的缺點(diǎn).為此，可以合并邊界上相距較近的節(jié)點(diǎn)并采用基于彈簧-質(zhì)點(diǎn)模型的網(wǎng)格松弛方法[15]調(diào)整網(wǎng)格形態(tài)，得到如圖6所示的網(wǎng)格.調(diào)整后的網(wǎng)格仍保持原來(lái)的網(wǎng)格走勢(shì)，且邊界附近的桿長(zhǎng)均勻性得到提升，節(jié)點(diǎn)數(shù)目明顯減少，但線條的流暢性降低，以致建筑美感下降.鑒于調(diào)整前后的網(wǎng)格各有優(yōu)劣，建筑師可以根據(jù)需求進(jìn)行選擇.

圖6 調(diào)整后的網(wǎng)格

3 分析和比較

圖7是一個(gè)外邊界近似為圓角六邊形、內(nèi)邊界近似為圓形的裁剪曲面，且其參數(shù)域?yàn)樽陨淼乃酵队?分別以兩對(duì)相交的曲線為引導(dǎo)線，采用空間引導(dǎo)線法生成兩組不同的網(wǎng)格，如圖8(a)和(b)所示.參數(shù)設(shè)置完畢后，空間引導(dǎo)線法僅需數(shù)秒即可完成曲面的網(wǎng)格劃分，而生成的網(wǎng)格既規(guī)整又流暢，能較好地體現(xiàn)建筑意蘊(yùn).

作為對(duì)比，采用現(xiàn)有的等參線法和映射引導(dǎo)線法[13]對(duì)圖7中的曲面進(jìn)行網(wǎng)格劃分.等參線法是按一定間距提取NURBS曲面的等參線，形成四邊形網(wǎng)格，如圖8(c)所示.映射引導(dǎo)線法是在曲面的參數(shù)域中等間距偏移直線段，再映射到曲面上形成網(wǎng)格，如圖8(d)所示(圖中黃線對(duì)應(yīng)于參數(shù)域中的直線段).這兩種方法得到的網(wǎng)格也具有相對(duì)較好的流暢性，但參數(shù)域中很規(guī)整的網(wǎng)格，在映射到曲面后由于尺度的非均勻變化而使其規(guī)整性明顯下降.此外，這兩種方法難以調(diào)控網(wǎng)格走勢(shì)或調(diào)控能力有限.

圖7 給定的曲面和引導(dǎo)線

圖8 采用3種方法生成的網(wǎng)格

因此，與現(xiàn)有方法相比，空間引導(dǎo)線法避免了映射畸變，提高了網(wǎng)格的規(guī)整性，提升了對(duì)網(wǎng)格走勢(shì)的調(diào)控能力，更符合建筑網(wǎng)格設(shè)計(jì)的需求.

4 結(jié)語(yǔ)

為生成符合建筑意蘊(yùn)的網(wǎng)格，提出了空間引導(dǎo)線法.首先，確定合適的曲線作為引導(dǎo)線并在其上布置適量的基準(zhǔn)點(diǎn).接著，在過(guò)基準(zhǔn)點(diǎn)垂直引導(dǎo)線的平面內(nèi)，求取以基準(zhǔn)點(diǎn)為圓心、偏移距離為半徑的圓與曲面的交點(diǎn)，作為偏移點(diǎn)，并遍歷各基準(zhǔn)點(diǎn)，得到兩組在不同偏移方向上的偏移點(diǎn).將兩組偏移點(diǎn)按順序分別擬合成兩條曲面上的曲線，作為偏移線.然后，以這兩條偏移線為引導(dǎo)線，分別向兩側(cè)推進(jìn)生成新的偏移線.如此迭代，在曲面上生成一組按特定間距分布的網(wǎng)格線.最后，通過(guò)分段、連線等操作，以偏移線為網(wǎng)格線生成流暢網(wǎng)格.通過(guò)偏移距離函數(shù)調(diào)控偏移線的間距；通過(guò)合并過(guò)近的偏移點(diǎn)，優(yōu)化偏移線的形態(tài)；通過(guò)布置兩條引導(dǎo)線，從兩個(gè)方向上控制網(wǎng)格走向.與兩種現(xiàn)有網(wǎng)格劃分方法的算例對(duì)比表明，空間引導(dǎo)線法既保證了較好的網(wǎng)格流暢性，又避免了映射畸變，能得到更規(guī)整的網(wǎng)格，還能更靈活地調(diào)控網(wǎng)格走勢(shì).