王江岑

摘? ?要：分歧是自然運(yùn)動(dòng)中的普遍現(xiàn)象，它所描述的是一個(gè)穩(wěn)定的定態(tài)運(yùn)動(dòng)狀態(tài)下當(dāng)某種參數(shù)超過(guò)一個(gè)臨界指標(biāo)時(shí)就會(huì)躍遷到另一種運(yùn)動(dòng)狀態(tài)。大自然中有很多分歧現(xiàn)象，如河水中突然出現(xiàn)一個(gè)漩渦、龍卷風(fēng)的形成等。文章研究一類(lèi)Pioneer-Climax物種模型的動(dòng)態(tài)分歧問(wèn)題，利用泛函中線(xiàn)性全連續(xù)場(chǎng)的譜理論、中心流形定理和吸引子分歧躍遷對(duì)Pioneer-Climax物種模型的動(dòng)態(tài)分歧進(jìn)行討論，得到了分歧躍遷的參數(shù)臨界值，給出了分歧解的表達(dá)式。

關(guān)鍵詞：物種模型;譜理論;中心流形定理;動(dòng)態(tài)分歧

1? ? 模型的處理

本文的Pioneer-Climax物種模型，是用來(lái)刻畫(huà)物種間的相互作用的，這些物種的生殖能力對(duì)其共享的生態(tài)環(huán)境中的生物密度非常敏感。具體方程如下：

（1）

其中，Ω∈Rn，ai，ci（i=1，2，3）均為正數(shù)，a3>a2，u1，u2，分別代表兩種物種Pioneer和Climax的濃度。

記u1，=u1（x，t），u2，=u2（x，t）。其中，x∈Ω∪Rn，n≤3，自然地，區(qū)域內(nèi)物種Pioneer和物種Climax的濃度分布不均會(huì)對(duì)其發(fā)展速度產(chǎn)生影響，這時(shí)，我們參考生物模型的方法擴(kuò)散項(xiàng)Δu1，Δu2其中，dΔu2的d是擴(kuò)散系數(shù)。當(dāng)然，在一定坐標(biāo)系變換下，可以使得擴(kuò)散系數(shù)d=1，配以邊界條件表示物種Pioneer和物種Climax的濃度在區(qū)域Ω內(nèi)外沒(méi)有相互影響。不失一般性。我們討論如下方程：

（2）

建立如下空間：

定義如下：

則Lλ為線(xiàn)性全連續(xù)場(chǎng)，方程可轉(zhuǎn)化為算子形式：

（3）

2? ? 抽象算子的特征值和特征向量

對(duì)于算子-Δ，在邊界條件下，記ξk是其第k個(gè)特征值，Ψk是其第k個(gè)特征向量[1-2]。同時(shí)，對(duì)Ψk做正規(guī)化約束∫ΩΨ 2kdx=1，可以得到，ξk=k2， ，若βk（λ）是Lλ的特征值，eλ是Lλ的對(duì)應(yīng)βk（a）特征向量，則Lλek=βk（a）ek;;;

征值特征向量滿(mǎn)足如下等式：

令λ1=k02，k0∈N，顯然在λ1附近Lλ的特征值滿(mǎn)足：

根據(jù)線(xiàn)性全連續(xù)場(chǎng)的譜理論[3]，在λ=λ1鄰域內(nèi)有如下空間分解：

其中，E1=span{e1}， E2=span{e12，ek1，ek2，k=2，3，…，}

是E2在X中的閉包，因而u∈X1，u=（u1，u2）T=w1+w2存在：ω1=x1e1∈E1，滿(mǎn)足：u=ω1+ω2。

3? ? 主要定理及其證明

在∫ΩΨ 31dx≠0，在上述條件下，方程（1）有如下結(jié)論成立：當(dāng)λ1-ε<λ<λ1時(shí)，方程（1）在（u1，u2）T=（0，0）T處發(fā)生分歧，即存在（u1，u2）T=（0，0）T的一個(gè)鄰域U∪X1，U=U1λ∪U2λ，其中，U1λ，U2λ均為開(kāi)集，在U1λ中原有平衡態(tài)失穩(wěn)[4-6]，并在U2λ中分歧出一個(gè)穩(wěn)定的奇點(diǎn)吸引子（λ）∈U2λ，滿(mǎn)足：

方程（1）在λ<λ1一側(cè)分歧出唯一的鞍點(diǎn)（λ）。

分歧出的奇點(diǎn)（λ）可表示為：

其中，a（λ）=c1∫ΩΨ 31dx。

證明：設(shè)u=ω1+ω2=x1e1+Φ（ω1，λ）∈X1，其中，Φ（.，λ）：E1→E2為中心流行函數(shù)。〈ut，e11*）〉=〈Lλu，e11*）〉+〈G（u，λ），e11*〉計(jì)算可得分歧：

（4）

〈G（u，λ），e11*〉∫ΩG（x1e1，λ）e1*dx=（-c1x12）∫ΩΨ 31dx+O（|x1|2）記a（λ）=c1∫ΩΨ 31dx

則方程可化為：

則方程分歧出的奇點(diǎn)可表示為：

當(dāng)λ<λ1時(shí)，β11（λ）<0，βk1<0，k=2，3，…，βk2<0，k=1，2，3，…，所以（λ）為鞍點(diǎn)。

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Dynamic bifurcation of Pioneer-Climax species model

Wang Jiangcen

（Sichuan Tourism University， Chengdu 610100， China）

Abstract：Bifurcation is a common phenomenon in natural motion， which describes a stable steady state of motion that jumps to another when a parameter exceeds a critical index. There are many diverging phenomena in nature， such as a sudden whirlpool in the river， the formation of tornadoes， and so on. In this paper， the dynamic bifurcation problem of a class of Pioneer-Climax species model is studied. The dynamic bifurcation of Pioneer-Climax species model is discussed by using the spectral theory of linear fully continuous field in functional， the central manifolds theorem and the bifurcation transition of attractor， and the critical value of the parameters of bifurcation transition is obtained. The expression of bifurcation solution is given.

Key words：species model; spectral theory; central manifold theorem; dynamic bifurcation