彭超權(quán)，李傲，郭軍

(中南民族大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)學(xué)院,武漢 430074)

通常，可穿透障礙物的聲波散射問題可以通過Helmholtz方程以及障礙物邊界上的傳輸條件來刻畫.但是，在一些實際問題中，障礙物的部分邊界可能為理想狀態(tài)下的薄導(dǎo)體，此時聲波會從邊界的其余部分透射進入障礙物，這就是本文所要考慮的問題.文獻(xiàn)[1]利用線性采樣方法重構(gòu)了散射體，但其中的正散射問題沒有給出詳細(xì)證明.類似的散射問題也出現(xiàn)在電磁波、彈性波散射現(xiàn)象中[2,3].

圖1 模型簡圖

1 邊界積分方程組

我們考慮如下邊值問題：

(1)

首先證明問題解的存在性.

定理1邊值問題(1)最多只有一個解.

因此我們有：

證畢.

令us，v有如下形式的解：

(2)

(3)

那么在邊界Γ1上：

us和v在邊界Γ3,Γ2上分別有：

如果定義:

(4)

Aχ=B.

(5)

定義Sobolev空間

以及共軛空間

X*=H1/2(Γ1)×H-1/2(Γ1)×H1/2(Γ3)×H1/2(Γ2),

A顯然是從X映射到X*的有界算子.

2 積分方程(5)的解

定理2A是零指數(shù)的Fredholm算子.

這里j,l=1,2,3.當(dāng)j=1,2時算子定義在?D上，當(dāng)j=3時算子定義在?Ω上；當(dāng)l=1,2時，算子在?D上取值，當(dāng)l=3時，算子在?Ω上取值.

由參考文獻(xiàn)[7]，存在正下有界算子:

Sl:H-1/2(?D)→H1/2(?D),-Tl:H1/2(?D)→H-1/2(?D),

使得：

和

并且

是緊算子,其中l(wèi)=1,2.參考文獻(xiàn)[3]第七章.

定義：

Y：=H-1/2(?D)×H1/2(?D)×H-1/2(?Ω)×H-1/2(?D),Y*：=H1/2(?D)×H-1/2(?D)×H1/2(?D)×H1/2(?D),

因此有：

定理3 算子A:X→X*是單射.

證明設(shè)χ:=[a,b,c,e]T滿足Aχ=0.接下來證明χ=0.

因Aχ=0意味位勢滿足齊次方程，根據(jù)定理2，知

現(xiàn)在重新定義位勢us,v形式如(2)和(3)式，但us定義在D上，v定義在D0上.us和v在相應(yīng)的區(qū)域滿足Helmholtz方程.利用單雙層位勢的跳躍關(guān)系，在邊界Γ1上：

在Γ2上：

根據(jù)上面4個式子，得到：

與定理1的證明過程相似，上式只有唯一解，故

因此：

證得a=b=c=e=0，故A是單射.

結(jié)合定理1～3，根據(jù)Fredholm定理位勢算子的性質(zhì)，問題(1)存在唯一解,且滿足：