王偉琴

[摘 要]反例是用來推翻某個命題或者結(jié)論的最簡潔有力的途徑，反例一出，一個不合理的結(jié)論就會不攻自破。反例可為數(shù)學(xué)教學(xué)服務(wù)，反例的特殊性和證明力可以一針見血地指出學(xué)生認(rèn)知中的不合理成分，幫助學(xué)生構(gòu)建概念、突破難點(diǎn)、汲取有益經(jīng)驗。

[關(guān)鍵詞]反例;認(rèn)知;回歸

[中圖分類號] G623.5 [文獻(xiàn)標(biāo)識碼] A [文章編號] 1007-9068（2019）26-0037-02

反例是指符合某個定義的題設(shè)但是卻得出相反的結(jié)論，從而推翻原結(jié)論的例子，因其揭露結(jié)論的前后矛盾，直觀簡潔，所以具有很強(qiáng)的說服力。因此，舉反例來否定某結(jié)論的做法在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中很盛行，且作用巨大。只要施策恰當(dāng)、時機(jī)合適，巧妙運(yùn)用反例能有效幫助學(xué)生理解知識、突破難點(diǎn)、辨析正誤、靈活思考，使學(xué)習(xí)效率事半功倍。

一、建構(gòu)概念時引用反例，堵住漏洞

深刻理解概念是學(xué)好知識的前提和基本保障，然而小學(xué)生的直觀思維功能發(fā)達(dá)，抽象的數(shù)學(xué)概念難以進(jìn)入學(xué)生的思維神經(jīng)中樞。在學(xué)習(xí)過程中，學(xué)生對概念的理解往往很片面，因此在實(shí)際運(yùn)用中屢屢出錯。而典型、鮮明、直觀的反例，卻能給學(xué)生朦朧的認(rèn)知帶來強(qiáng)烈的刺激。引導(dǎo)學(xué)生比較、辨析反例與結(jié)論的異同，重新審視概念，界定概念的外延，可讓學(xué)生對所學(xué)概念有較為精準(zhǔn)到位的把握。

例如，在教學(xué)“平行線”概念時，概念中的定語“在同一平面”“永不相交”是并列存在的必要條件。為了幫助學(xué)生準(zhǔn)確到位地掌握概念，不妨舉兩個缺失必要條件的反例：第一個反例是，上下分離交叉的立交橋缺失“同一平面”這一條件;第二個反例是，兩條線在有限距離不相交，但是延伸后相交于一點(diǎn)。通過這兩個反例，學(xué)生對平行線概念的把握更精確深刻，明白只有同時滿足“在同一平面、永不相交”這兩點(diǎn)，平行線的概念才能成立?？梢姡?dāng)學(xué)生對內(nèi)涵豐富的概念的認(rèn)識有局限時，可以通過反例來凸顯構(gòu)成概念的必備要素，從而讓學(xué)生注意到概念的本質(zhì)屬性，更深刻、全面地構(gòu)建概念。

數(shù)學(xué)概念的定義是非常精練簡潔的，短短的一句話蘊(yùn)含著多個限制條件和豐富內(nèi)涵。學(xué)生在學(xué)習(xí)概念時，感知籠統(tǒng)，這樣一旦遇到迷惑性很高的相似概念，就會容易混淆，甚至產(chǎn)生認(rèn)知混亂，這時推出反例恰好可以引起學(xué)生對概念中各個限制條件的注意。

二、突破難點(diǎn)時引用反例，不攻自破

突破教學(xué)難點(diǎn)是一節(jié)課的重頭戲。運(yùn)用反例來攻破難點(diǎn)，可以對錯誤認(rèn)知起到釜底抽薪的作用。小學(xué)生的思維方式還處于形象向抽象轉(zhuǎn)化的階段，看問題有很大的局限性。在學(xué)生似懂非懂時，運(yùn)用反例，可讓學(xué)生在正反對比中豁然開朗，迅速洞明真相。

譬如，“乘法分配律”（a+b）c=ac+bc是教學(xué)的重難點(diǎn)之一。學(xué)生很容易想當(dāng)然地寫成：（a+b）[×]c=a[×]c+c，（a+b）[×]c=a[×]c+b，a[×]c+b[×]c=（a+c）[×]b等。為了突破這個難點(diǎn)，不妨設(shè)計以下反例，讓學(xué)生先判斷正誤，然后集中更正。

①（15+33）[×]2=15[×]2+33

②（25+11）[×]4=25[×]4+11

③5[×]16+14[×]16=（16+14）[×]5

學(xué)生往往會因為對“乘法分配律”不同程度的錯誤理解而做出誤判。這時，教師不要急著指正，而是將檢驗的機(jī)會留給學(xué)生。對比數(shù)值后學(xué)生開始發(fā)現(xiàn)錯誤，產(chǎn)生追根究底的強(qiáng)烈動機(jī)，迫切想查出問題所在。在這個糾錯的過程中，學(xué)生自然會通過對比辨析運(yùn)算律的正確運(yùn)用。3個反例暴露了3個方面的典型錯誤，學(xué)生通過對這3個錯誤的清醒認(rèn)識，堵住了分配律運(yùn)用的3個常見漏洞。巧用反例，引發(fā)學(xué)生的認(rèn)知沖突，促使學(xué)生積極反思、反省、自查、自糾，正確運(yùn)用乘法分配律。

數(shù)學(xué)概念和規(guī)律很多都是通過公式呈現(xiàn)的，但是公式的結(jié)構(gòu)會隨著代數(shù)的變形而千變?nèi)f化，這時學(xué)生很難準(zhǔn)確識別哪個變式是正確的，哪個變式是錯誤的。實(shí)踐是檢驗真理的唯一標(biāo)準(zhǔn)，反例就是實(shí)踐過程中的一塊試金石。

三、判斷命題破定式時引入反例，汲取經(jīng)驗

相似度和關(guān)聯(lián)度極高的命題，非常容易引起學(xué)生思維混亂，其原因主要是對舊概念的刻板印象影響了對新概念的接收。此時，可以通過反例重現(xiàn)被學(xué)生忽略的本質(zhì)屬性，讓學(xué)生自覺摒除錯誤認(rèn)知，辨清相似概念的異同，從另一個角度切入，自覺與前一個概念區(qū)別開來，補(bǔ)齊正面教學(xué)的短板。

如教學(xué)完分?jǐn)?shù)乘法的運(yùn)算意義和算法后，對因數(shù)與積之間的大小關(guān)系，擬一道判斷題“一個數(shù)乘分?jǐn)?shù)，積一定比原數(shù)大”。該題考查學(xué)生對原數(shù)的特殊性和分?jǐn)?shù)的意義的認(rèn)知情況。學(xué)生一般會忽視原數(shù)是非0數(shù)，分?jǐn)?shù)分為小于1和大于1這兩種情況，加上分?jǐn)?shù)有真分?jǐn)?shù)和假分?jǐn)?shù)之別，而假分?jǐn)?shù)里面又要分類討論，是大于1還是等于1都需要做出精細(xì)劃分。此時舉個反例，將所有的可能情況囊括進(jìn)去，引導(dǎo)學(xué)生層層分析，歸納出“原數(shù)不同、分?jǐn)?shù)不同的情況下，結(jié)果也不同”，讓學(xué)生記憶猶新。

不難發(fā)現(xiàn)，課本一般只會出示正例。因此，學(xué)生往往只會根據(jù)表面特征套公式，或沿用慣例。學(xué)生在長期的正例的“麻痹”下，無視公式成立的前提條件或適用范圍，從而輕率武斷地用老公式去解決背景和形式已經(jīng)改變的新問題，導(dǎo)致解題錯誤。因此，在思維定式成型前，用反例來矯正，或者直接就地取材，采用學(xué)生因思維定式而生成的反例，能使學(xué)生吃一塹長一智，牢牢記住數(shù)學(xué)本質(zhì)。例如，在教學(xué)百分?jǐn)?shù)應(yīng)用題后，出示練習(xí)題：甲乙兩人騎電瓶車從A、B兩鎮(zhèn)相向而行，甲騎車需要3小時到達(dá)B鎮(zhèn)，乙騎車需要4小時到達(dá)A鎮(zhèn)。甲的車速比乙的車速快幾分之幾？學(xué)生在思維定式的作用下，容易得出（4-3）[÷]4的錯解。教師可引導(dǎo)學(xué)生辨析：“錯在哪里？為什么會出錯？”學(xué)生經(jīng)過合作探究，交流意見，得出錯誤的根源在于將題目告知的行車時間當(dāng)作所求的速度比。學(xué)生在找錯、論錯、認(rèn)錯、改錯的過程中，明確錯誤的來源，汲取了有益的經(jīng)驗。這樣才能形成防錯機(jī)制，更有利于學(xué)生牢固掌握知識，培養(yǎng)學(xué)生思維的深刻性。

一個概念或者命題的推出往往與學(xué)生所學(xué)的知識范圍相適應(yīng)，但是隨著知識的延伸和拓展，前概念開始顯現(xiàn)其滯后性，但課本為了強(qiáng)化學(xué)生對前概念的認(rèn)知，往往會出示大量經(jīng)典的正例來佐證，這時，學(xué)生就會形成思維定式。因而，當(dāng)新知識超過原概念的適用范圍時，學(xué)生若仍按原路徑思考，勢必會出錯。這時，舉反例無疑是最好的方式。

在教學(xué)中，教師巧設(shè)經(jīng)典反例，或隨機(jī)引進(jìn)一些反例，不僅會使課堂教學(xué)變得更有活力，而且能促進(jìn)學(xué)生對抽象概念的深刻理解，清晰地認(rèn)識數(shù)學(xué)本質(zhì)，從而提高思辨力和創(chuàng)造力。

[ 參 考 文 獻(xiàn) ]

[1] 丁華.巧用數(shù)學(xué)反例? ?凸顯概念本質(zhì)[J].小學(xué)教學(xué)參考，2015（32）：83.

[2] 張金花.小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中如何利用反例[J].江西教育，2016（27）：75.

（責(zé)編 羅 艷）