楊 娟, 李 星， 周躍亭

(1.寧夏大學(xué) 民族預(yù)科教育學(xué)院，銀川 750002；2.寧夏大學(xué) 數(shù)學(xué)統(tǒng)計(jì)學(xué)院，銀川 750021；3.同濟(jì)大學(xué) 航空航天與力學(xué)學(xué)院，上海 200092 )

1984年準(zhǔn)晶體的發(fā)現(xiàn)是近年來(lái)凝聚態(tài)物理的一大突破。準(zhǔn)晶作為一類新型材料，與傳統(tǒng)材料相比，由于其獨(dú)特的準(zhǔn)周期結(jié)構(gòu)，表現(xiàn)出與眾不同的一些性能，在眾多科學(xué)技術(shù)領(lǐng)域有廣泛的應(yīng)用前景。由于準(zhǔn)晶中相位子場(chǎng)的存在,導(dǎo)致準(zhǔn)晶壓電性能比傳統(tǒng)晶體要復(fù)雜得多。目前，含缺陷準(zhǔn)晶材料的斷裂問(wèn)題研究已取得了大量的重要成果[1-4]。壓電準(zhǔn)晶材料是一種特殊的壓電材料,正是由于準(zhǔn)晶材料具有壓電效應(yīng)這種特殊性能，與一般的壓電材料相比,允許有五次或高于六次的旋轉(zhuǎn)對(duì)稱操作。所以, 壓電準(zhǔn)晶材料比普通的壓電材料有著良好的應(yīng)用前景。對(duì)于壓電效應(yīng)下的準(zhǔn)晶斷裂問(wèn)題在近幾年才有研究，目前壓電準(zhǔn)晶材料的方程已經(jīng)初步建立[5],文獻(xiàn)[6]指出,三維準(zhǔn)晶和部分擁有中心對(duì)稱的二維準(zhǔn)晶是沒(méi)有壓電效應(yīng)的,因此研究主要放在了一維壓電準(zhǔn)晶材料上。在實(shí)際的工程應(yīng)用中，材料破壞的形式多種多樣，實(shí)際的結(jié)構(gòu)也千變?nèi)f化。一般而言，材料開(kāi)孔現(xiàn)象非常常見(jiàn)，比如機(jī)械結(jié)構(gòu)中的螺栓孔，飛機(jī)蒙皮中的鉚釘孔等。在復(fù)雜的加載環(huán)境下，含孔洞的結(jié)構(gòu)不可避免的會(huì)出現(xiàn)應(yīng)力集中，在孔邊誘發(fā)裂紋，從而導(dǎo)致材料的斷裂破壞。因此，研究孔邊裂紋問(wèn)題具有重要的理論意義和工程價(jià)值。文獻(xiàn)[7]采用Green函數(shù)法研究界面上含圓孔邊界徑向有限長(zhǎng)度裂紋的兩半無(wú)限壓電材料對(duì)SH波的散射和裂紋尖端動(dòng)應(yīng)力強(qiáng)度因子問(wèn)題。文獻(xiàn)[8]采用“鏡像”和“剖分-契合”等方法,對(duì)SH波作用下半空間孔邊界面裂紋的動(dòng)應(yīng)力問(wèn)題進(jìn)行了研究。文獻(xiàn)[9]采用 Green 函數(shù)法對(duì)壓電材料中多個(gè)孔邊徑向裂紋的相互作用問(wèn)題進(jìn)行了研究。文獻(xiàn)[10]采用數(shù)字激光動(dòng)態(tài)焦散線實(shí)驗(yàn)系統(tǒng)，研究爆炸荷載作用下空孔缺陷對(duì)裂紋擴(kuò)展行為的作用關(guān)系，以及裂紋擴(kuò)展行為的規(guī)律。

近幾年,關(guān)于一維壓電準(zhǔn)晶材料彈性與斷裂力學(xué)研究成果已經(jīng)涌現(xiàn)了不少[11-20]。從上述文獻(xiàn)中可以看出，涉及準(zhǔn)晶材料斷裂力學(xué)研究問(wèn)題時(shí)，缺乏數(shù)值算例。因?yàn)橹挥型ㄟ^(guò)數(shù)值分析， 解決準(zhǔn)晶材料本質(zhì)的物理問(wèn)題，比如聲子-相位子場(chǎng)的耦合、電場(chǎng)耦合、相位子場(chǎng)的出現(xiàn)對(duì)裂紋的影響等等，這樣才對(duì)研究準(zhǔn)晶材料有意義，并有別于其他的材料。論文作者曾借助于保角映射在滲透型邊界條件和非滲透型邊界條件下研究了一維六方準(zhǔn)晶中圓孔邊單裂紋和三條不對(duì)稱裂紋的電彈問(wèn)題，通過(guò)數(shù)值分析探討了裂紋長(zhǎng)度、半徑、耦合系數(shù)、聲子場(chǎng)載荷、以及相位子場(chǎng)載荷和電載荷對(duì)應(yīng)力強(qiáng)度因子和電位移強(qiáng)度因子的影響[21-22]，在此基礎(chǔ)上，Yang等[23]考慮部分滲透電邊界條件，基于Stroh公式，研究了壓電效應(yīng)下一維六方準(zhǔn)晶材料中具有不對(duì)稱共線裂紋的橢圓孔邊反平面斷裂問(wèn)題，給出裂紋尖端場(chǎng)強(qiáng)度因子和能量釋放率的解析表達(dá)式，通過(guò)數(shù)值算例分析了幾何參數(shù)、耦合系數(shù)、以及相位子場(chǎng)載荷和機(jī)電載荷對(duì)材料斷裂特性的影響規(guī)律。但值得注意的是，上述工作論文作者僅是針對(duì)圓孔邊單裂紋和三條不對(duì)稱裂紋以及不對(duì)稱共線裂紋的橢圓孔邊情況。而實(shí)際工程中多個(gè)裂紋的模型是普遍存在的，再者材料科學(xué)家和工程師們已經(jīng)開(kāi)始通過(guò)微結(jié)構(gòu)工程設(shè)計(jì)、研制各種復(fù)合材料，在計(jì)算機(jī)輔助復(fù)合材料設(shè)計(jì)中，通常設(shè)計(jì)具有周期分布微結(jié)構(gòu)的材料，而且現(xiàn)代材料制造技術(shù)已有能力實(shí)現(xiàn)精確周期分布。同時(shí)在研究大量缺陷相互作用時(shí)，將缺陷抽象為周期有序排列是一個(gè)實(shí)用、有效的力學(xué)模型。因此，對(duì)于周期型裂紋模型的研究也是有重要的實(shí)際工程意義的。除此之外，據(jù)論文作者所知，并無(wú)其他文獻(xiàn)對(duì)一維六方壓電準(zhǔn)晶中圓孔邊周期裂紋問(wèn)題進(jìn)行過(guò)研究。

本文借助于力學(xué)和應(yīng)用數(shù)學(xué)模型，運(yùn)用復(fù)變函數(shù)方法和解析函數(shù)理論，對(duì)一維六方壓電準(zhǔn)晶中圓孔邊周期裂紋反平面斷裂問(wèn)題進(jìn)行了分析研究。獲得電不可導(dǎo)通邊界條件和電可導(dǎo)通邊界條件下裂紋尖端應(yīng)力強(qiáng)度因子，電位移強(qiáng)度因子和能量釋放率。通過(guò)數(shù)值算例分析裂紋數(shù)、幾何參數(shù)、耦合參數(shù)、聲子場(chǎng)應(yīng)力、相位子場(chǎng)應(yīng)力和電載荷對(duì)材料斷裂特性的影響規(guī)律。

1 一維六方壓電準(zhǔn)晶基本理論

由文獻(xiàn)[24]知，對(duì)于其準(zhǔn)周期方向?yàn)檠豿3軸并且周期平面為(x1,x2)面的一維六方壓電準(zhǔn)晶體的反平面彈性問(wèn)題的最終控制方程為

(1)

式中：u3和v分別為聲子場(chǎng)和相位子場(chǎng)的位移；φ為電勢(shì)。由復(fù)變函數(shù)理論可知[25]，u3,v和φ可表示為三個(gè)解析函數(shù)的實(shí)部或虛部，不妨設(shè)

u3=Reφ1(z),v=Reφ2(z),φ=Reφ3(z)

(2)

式中：φi(z)(i=1,2,3)為任意三個(gè)解析函數(shù)。所以一維六方壓電準(zhǔn)晶的彈性平衡問(wèn)題最終歸結(jié)為在適當(dāng)邊界條件下求解式(2)。為了簡(jiǎn)便，下文中都有φi來(lái)表示φi(z)。

2 一維六方壓電準(zhǔn)晶中圓孔邊周期裂紋問(wèn)題的解析解

2.1 力學(xué)模型

如圖1所示，在一維六方壓電準(zhǔn)晶體中含一半徑為R的圓孔，沿孔壁均勻分布著k(k=1,2,3，…)個(gè)長(zhǎng)度為L(zhǎng)的周期徑向裂紋。假設(shè)x3軸方向?yàn)闇?zhǔn)周期方向，且裂紋穿透準(zhǔn)周期方向，垂直于準(zhǔn)周期方向的平面為坐標(biāo)平面x1-x2。準(zhǔn)晶體在無(wú)窮遠(yuǎn)處受沿聲子場(chǎng)與相位子場(chǎng)邊界的縱向剪應(yīng)力以及面內(nèi)電載荷的作用。

圖1 一維六方壓電準(zhǔn)晶中具有個(gè)周期裂紋的圓孔邊(An的坐標(biāo)為n=0,1,2,…,k-1)Fig.1 k periodic radial cracks emanating from a circular hole in 1D hexagonal piezoelectric quasicrystalsn=0,1,2,…,k-1)

2.2 場(chǎng)強(qiáng)度因子

2.2.1 電不可導(dǎo)通邊界條件

線彈性理論表明，僅對(duì)應(yīng)力集中而言，此問(wèn)題可以轉(zhuǎn)化為在無(wú)窮遠(yuǎn)處不受外應(yīng)力，僅在圓孔邊及其所帶裂紋的表面上受縱向剪切力和電載荷作用σ32=-τ1,H2=-τ2,D2=-D0，并考慮電不可導(dǎo)通邊界條件, 則該問(wèn)題的電力學(xué)邊界條件可表示為

(3)

式中：N為具有k(k=1,2,3,…)個(gè)周期徑向裂紋的圓孔邊的邊界；σ32和H2分別為聲子場(chǎng)和相位子場(chǎng);D2為電位移。

對(duì)于電不可導(dǎo)通邊界條件， 有

(4)

將邊界條件式(3)代入式(4)，可得

(5)

引入保角變換[26]

(6)

對(duì)式(6)兩端關(guān)于ζ求導(dǎo)，得

(7)

這里有

(8)

從式(7)，可得

(9)

其中，

A=-8(1+ε)e4nπi[-3+ε+(1+ε)cos(2nπ)]sin2(nπ);

[2ki(ε-1)cos(nπ)+(ε-7)sin(nπ)+(1+ε)sin(3nπ)]。又由式(8)有

(10)

(11)

式中：K為無(wú)量綱場(chǎng)強(qiáng)度因子，其表達(dá)式為

(12)

特別地，當(dāng)n=0時(shí),有式(12)得電不可導(dǎo)通邊界條件下一維六方壓電準(zhǔn)晶中圓孔邊k個(gè)周期裂紋在(A0,0,0)處聲子場(chǎng)與相位子場(chǎng)應(yīng)力強(qiáng)度因子及電位移強(qiáng)度因子分別為

(13)

式中：K*為無(wú)量綱場(chǎng)強(qiáng)度因子，為

(14)

2.2.2 電可導(dǎo)通邊界條件

考慮電可導(dǎo)通裂紋，則邊界條件為

(x1,x2)∈N∶σ32=-τ1,H32=-τ2,φ=C(常數(shù))

(15)

對(duì)于電可導(dǎo)通邊界條件， 有

(16)

所有的應(yīng)力與電位移均由φi(i=1,2,3)表示, 只要解出φi, 便可以確定應(yīng)力場(chǎng)和電位移場(chǎng)。

將邊界條件式(15)代入式(16)，可得

(17)

在電可導(dǎo)通邊界條件下，由Fan的研究得一維六方壓電準(zhǔn)晶中圓孔邊k個(gè)周期裂紋在(An,0,0)(n=0,1,2,…,k-1)處聲子場(chǎng)與相位子場(chǎng)應(yīng)力強(qiáng)度因子及電位移強(qiáng)度因子分別為

(18)

特別地，當(dāng)n=0時(shí),有式(18)得電可導(dǎo)通邊界條件下一維六方壓電準(zhǔn)晶中圓孔邊k個(gè)周期裂紋在(A0,0,0)處聲子場(chǎng)與相位子場(chǎng)應(yīng)力強(qiáng)度因子及電位移強(qiáng)度因子分別為

(19)

2.3 能量釋放率

當(dāng)不考慮電載荷作用時(shí)，由式(13)得一維六方彈性準(zhǔn)晶中圓孔邊k個(gè)周期裂紋在(A0，0，0)處聲子場(chǎng)和相位子場(chǎng)應(yīng)力強(qiáng)度因子分別為

(20)

此時(shí)，一維六方彈性準(zhǔn)晶中圓孔邊k個(gè)周期裂紋在(A0,0,0)處的能量釋放率為

(21)

當(dāng)不考慮相位子場(chǎng)作用時(shí)，由式(13)和式(19)分別得到在電不可導(dǎo)通和電可導(dǎo)通邊界條件下各向同性壓電材料中圓孔邊k個(gè)周期裂紋在(A0,0,0)處應(yīng)力強(qiáng)度因子和電位移強(qiáng)度因子分別為與文獻(xiàn)[28]中的結(jié)果完全一致。此時(shí)，在電不可導(dǎo)通和電可導(dǎo)通邊界條件下，各向同性壓電材料中圓孔邊k個(gè)周期裂紋在(A0,0,0)處能量釋放率分別為

(22)

(23)

(24)

(25)

2.4 結(jié)果與討論

(1) 當(dāng)k=1時(shí)，由式(13)和式(19)分別得

(26)

(27)

式(26)和式(27)分別是電不可導(dǎo)通和電可導(dǎo)通邊界條件下一維六方壓電準(zhǔn)晶中圓孔邊單裂紋在處的場(chǎng)強(qiáng)度因子，與Yang等研究的結(jié)果完全一致。

(2)當(dāng)k=2時(shí)，由式(13)和式(19)分別得

(28)

(29)

式(28)和式(29)分別是電不可導(dǎo)通和電可導(dǎo)通邊界條件下一維六方壓電準(zhǔn)晶中圓孔邊對(duì)稱共線裂紋在(A0,0,0)處的場(chǎng)強(qiáng)度因子。

(3)當(dāng)k=3時(shí),由式(13)和式(19)分別得

(30)

(31)

式中：K**為無(wú)量綱場(chǎng)強(qiáng)度因子，其表達(dá)式為

(32)

特別地，當(dāng)不考慮電場(chǎng)作用時(shí)，一維六方彈性準(zhǔn)晶中圓孔邊均勻分布的三個(gè)徑向裂紋在(A0,0,0)處能量釋放率為

(33)

當(dāng)不考慮相位子場(chǎng)作用時(shí)，在電不可導(dǎo)通和電可導(dǎo)通邊界條件下，各向同性壓電材料中圓孔邊均勻分布的三個(gè)徑向裂紋在(A0,0,0)處能量釋放率分別為

(34)

(35)

(4)當(dāng)k=4時(shí),由式(13)和式(19)分別得

(36)

(37)

式(36)和式(37)分別是電不可導(dǎo)通和電可導(dǎo)通邊界條件下一維六方壓電準(zhǔn)晶中圓孔邊對(duì)稱共線四裂紋在(A0,0,0)處的場(chǎng)強(qiáng)度因子。

(5)當(dāng)R→0時(shí)，由式(13)和式(19)分別得

(38)

(39)

式中:K***為無(wú)量綱場(chǎng)強(qiáng)度因子，其表達(dá)式為

(40)

式(38)和式(39)分別是電不可導(dǎo)通和電可導(dǎo)通邊界條件下一維六方壓電準(zhǔn)晶中星形裂紋(即k個(gè)共點(diǎn)的周期裂紋)在(A0,0,0)處的場(chǎng)強(qiáng)度因子。僅考慮聲子場(chǎng)，式(40)所得結(jié)果與文獻(xiàn)[29]一致。

特別地，當(dāng)不考慮電場(chǎng)作用時(shí)，一維六方彈性準(zhǔn)晶中星形裂紋在(A0,0,0)處能量釋放率為

(41)

當(dāng)缺失相位子場(chǎng)時(shí)，在電不可導(dǎo)通和電可導(dǎo)通邊界條件下，各向同性壓電材料中星形裂紋在(A0,0,0)處能量釋放率分別為

(42)

(43)

3 數(shù)值算例和分析

圖2顯示了在不同的裂紋長(zhǎng)度L/R下，無(wú)量綱場(chǎng)強(qiáng)度因子K*隨裂紋數(shù)k的變化關(guān)系。k=3時(shí)對(duì)應(yīng)的無(wú)量綱場(chǎng)強(qiáng)度因子是最大的，k=2,4時(shí)對(duì)應(yīng)的無(wú)量綱場(chǎng)強(qiáng)度因子相等，且大于k=1時(shí)對(duì)應(yīng)的無(wú)量綱場(chǎng)強(qiáng)度因子。這就說(shuō)明，圓孔邊均勻分布三裂紋的材料最危險(xiǎn)；含圓孔邊對(duì)稱共線裂紋或?qū)ΨQ四裂紋的材料比含圓孔邊單裂紋的材料危險(xiǎn)。另外，當(dāng)k>5時(shí)對(duì)應(yīng)的無(wú)量綱場(chǎng)強(qiáng)度因子小于k=1所對(duì)應(yīng)的無(wú)量綱場(chǎng)強(qiáng)度因子。還可以看出，隨著裂紋數(shù)量(k≥3)的增加，無(wú)量綱場(chǎng)強(qiáng)度因子進(jìn)一步減小。說(shuō)明，在材料中包含具有多個(gè)裂紋(k≥3)的圓孔, 增加裂紋的數(shù)量可以提高這種材料的可靠性。特別，裂紋的數(shù)量趨于無(wú)窮時(shí)，無(wú)量綱場(chǎng)強(qiáng)度因子趨于零，這是因?yàn)榫哂卸鄺l裂紋圓孔的邊界被認(rèn)為是一個(gè)新的圓孔，并且大于原來(lái)的圓孔。此外，L/R越大，K*也越大。

圖2 對(duì)不同L/R,K*隨k的變化(圓孔邊周期裂紋)Fig.2 Variations of K* with k for different L/R

圖3給出了k=1,2,3,4時(shí)，無(wú)量綱場(chǎng)強(qiáng)度因子K*隨裂紋長(zhǎng)度L/R的變化關(guān)系(R=0.05)。隨著裂紋長(zhǎng)度的增加，無(wú)量綱場(chǎng)強(qiáng)度因子逐漸增大，并且最終趨于某個(gè)常數(shù)。另外，在裂紋長(zhǎng)度一定的情況下，k=3時(shí)對(duì)應(yīng)的無(wú)量綱場(chǎng)強(qiáng)度因子最大，k=2,4時(shí)對(duì)應(yīng)的無(wú)量綱場(chǎng)強(qiáng)度因子相等，且大于k=1時(shí)對(duì)應(yīng)的無(wú)量綱場(chǎng)強(qiáng)度因子,與圖2中得到的結(jié)論一致。

圖3 對(duì)k=1,2,3,4,K*隨L/R的變化(圓孔邊周期裂紋)Fig.3 Variations of K* with k for k=1,2,3,4

圖4給出了k=1,2,3,4時(shí),無(wú)量綱場(chǎng)強(qiáng)度因子K*隨半徑R的變化關(guān)系(L/R=0.05)。隨著半徑的增加，無(wú)量綱場(chǎng)強(qiáng)度因子逐漸增大。并且在半徑大小一定的情況下，k=3時(shí)對(duì)應(yīng)的無(wú)量綱場(chǎng)強(qiáng)度因子最大，k=2,4時(shí)對(duì)應(yīng)的無(wú)量綱場(chǎng)強(qiáng)度因子相等，且大于k=1時(shí)對(duì)應(yīng)的無(wú)量綱場(chǎng)強(qiáng)度因子，與圖2中得到的數(shù)值結(jié)果一致。

圖5給出了在不同半徑R下，無(wú)量綱場(chǎng)強(qiáng)度因子K**隨裂紋長(zhǎng)度L/R的變化關(guān)系。當(dāng)半徑大小固定時(shí)，無(wú)量綱場(chǎng)強(qiáng)度因子隨裂紋長(zhǎng)度的增大而增大，但增加越來(lái)越緩慢。此外，半徑越大，無(wú)量綱場(chǎng)強(qiáng)度因子也越大，這表明，通過(guò)調(diào)整圓半徑可以消除裂紋尖端附近的應(yīng)力集中。

圖4 對(duì)k=1,2,3,4,K*隨R的變化(圓孔邊周期裂紋)Fig.4 Variations of K* with R for k=1,2,3,4

圖5 對(duì)不同R,K**隨L/R的變化(圓孔邊均布三裂紋)Fig.5 Variations of K** with L/R for different R

圖6給出了在不同的裂紋長(zhǎng)度L下，裂紋數(shù)k對(duì)無(wú)量綱場(chǎng)強(qiáng)度因子K***的變化關(guān)系。k=3時(shí)對(duì)應(yīng)的無(wú)量綱場(chǎng)強(qiáng)度因子最大，k=2,4時(shí)對(duì)應(yīng)的無(wú)量綱場(chǎng)強(qiáng)度因子相等，且大于k=1時(shí)對(duì)應(yīng)的無(wú)量綱場(chǎng)強(qiáng)度因子。這就說(shuō)明，具有共點(diǎn)的均勻分布三裂紋的材料最危險(xiǎn)；具有共點(diǎn)的對(duì)稱共線裂紋或?qū)ΨQ四裂紋的材料比具有單裂紋的材料危險(xiǎn)。另外，當(dāng)k>13時(shí)所對(duì)應(yīng)無(wú)量綱場(chǎng)強(qiáng)度因子小于k=1所對(duì)應(yīng)的無(wú)量綱場(chǎng)強(qiáng)度因子。還可以看出，隨著裂紋數(shù)(k≥3)的增加，無(wú)量綱場(chǎng)強(qiáng)度因子進(jìn)一步減小。說(shuō)明，在材料中包含具有多個(gè)共點(diǎn)的裂紋(k>3), 增加裂紋的數(shù)量可以提高這種材料的可靠性。特別，裂紋數(shù)趨于無(wú)窮時(shí)，無(wú)量綱場(chǎng)強(qiáng)度因子趨于零。此外，L越大，K***也越大。

圖6 對(duì)不同L,K***隨k的變化(星形裂紋)Fig.6 Variations of K*** with k for different L

圖7給出了在聲子場(chǎng)和相位子場(chǎng)共同作用下，不同的耦合系數(shù)R3對(duì)能量釋放率G/Gr隨裂紋數(shù)k的變化曲線。從圖中可以看出，耦合系數(shù)R3越大，能量釋放率也越大，但隨著裂紋數(shù)的不斷增加，耦合系數(shù)對(duì)能量釋放率的影響越來(lái)越小。所以，在工程實(shí)際中通過(guò)調(diào)整耦合系數(shù)可以降低裂紋尖端的集中。

圖7 對(duì)不同R3,G/Gr隨k的變化(圓孔邊周期裂紋)Fig.7 Variations of G/Grwith k for different R3

圖8顯示了在不同的聲子場(chǎng)和相位子場(chǎng)作用下，不同的裂紋長(zhǎng)度L/R對(duì)能量釋放率G/Gr隨裂紋數(shù)k的變化曲線。從圖可以看到，相位子場(chǎng)應(yīng)力τ2越大，能量釋放率也越大。結(jié)果表明,在給定的聲子場(chǎng)載荷下，相位子場(chǎng)載荷總是促進(jìn)裂紋擴(kuò)展。另外，裂紋長(zhǎng)度越大，能量釋放率也越大。結(jié)果顯示，裂紋長(zhǎng)度變得越長(zhǎng)越容易造成材料破壞，因此在實(shí)際應(yīng)用中可以通過(guò)檢測(cè)裂紋長(zhǎng)度的變化來(lái)預(yù)防因?yàn)榱鸭y擴(kuò)展而造成的工件失效。

圖8 對(duì)不同τ2和L/R,G/Gr隨k變化(圓孔邊周期裂紋)Fig.8 Variations of G/Grwith k for different τ2

從圖7和圖8中可以注意到，裂紋數(shù)對(duì)能量釋放率的影響規(guī)律情形與圖2中裂紋數(shù)對(duì)無(wú)量綱場(chǎng)強(qiáng)度因子的影響規(guī)律情形相似。

圖9和圖10分別給出了不同的耦合系數(shù)R3對(duì)能量釋放率G/Gr隨裂紋長(zhǎng)度L/R和相位子場(chǎng)載荷τ2的變化關(guān)系。從圖9和圖10可以看出, 耦合系數(shù)R3越大，能量釋放率G/Gr也越大。另外，能量釋放率隨著裂紋長(zhǎng)度的增大而增大，隨著相位子場(chǎng)載荷的的增大也增大。因此適當(dāng)調(diào)節(jié)相位子場(chǎng)載荷可以抑制材料的性質(zhì)變化和裂紋擴(kuò)展。

圖9 對(duì)不同R3,G/Gr隨L/R變化(圓孔邊均布三裂紋)Fig.9 Variations of G/Gr with L/R for different R3

圖10 對(duì)不同R3,G/Gr隨τ2變化(圓孔邊均布三裂紋)Fig.10 Variations of G/Gr with τ2 for different R3

圖11給出了在不同的聲子場(chǎng)和相位子場(chǎng)作用下，能量釋放率G/Gr隨半徑R的變化關(guān)系。從圖中可以看出，能量釋放率隨著半徑的增大而呈線性增加。但聲子場(chǎng)載荷τ1越大，能量釋放率反而越小，但總的來(lái)看聲子場(chǎng)載荷對(duì)能量釋放率的影響很小，因此在實(shí)際工程中可以適當(dāng)控制聲子場(chǎng)載荷有利于提高材料的抗斷裂能力。

圖11 對(duì)不同τ1,G/Gr隨R變化(圓孔邊均布三裂紋)Fig.11 Variations of G/Gr with R for different τ1

圖12給出了在聲子場(chǎng)和相位子場(chǎng)共同作用下，不同的耦合系數(shù)R3對(duì)能量釋放率G/Gr隨裂紋數(shù)k的變化曲線。從圖12中可以看出，耦合系數(shù)越大，能量釋放率也越大。但隨著裂紋數(shù)的不斷增加，耦合系數(shù)對(duì)能量釋放率的影響越來(lái)越小。所以，在工程實(shí)際中通過(guò)調(diào)整耦合系數(shù)可以降低裂紋尖端的集中。

圖12 對(duì)不同R3,G/Gr隨k變化(星形裂紋)Fig.12 Variations of G/Gr with k for different R3

圖13顯示了在不同的聲子場(chǎng)和相位子場(chǎng)作用下，不同的裂紋長(zhǎng)度L對(duì)能量釋放率G/Gr隨裂紋數(shù)k的變化曲線。從圖中可以注意到，相位子場(chǎng)應(yīng)力τ2越大，能量釋放率也越大。另外，裂紋長(zhǎng)度越大，能量釋放率也越大。但隨著裂紋數(shù)的不斷增加，相位子場(chǎng)和裂紋長(zhǎng)度對(duì)能量釋放率的影響都越來(lái)越小。

從圖12和圖13中可以注意到，裂紋數(shù)對(duì)能量釋放率的影響趨勢(shì)與圖6中裂紋數(shù)對(duì)無(wú)量綱場(chǎng)強(qiáng)度因子的影響趨勢(shì)相似。

圖14給出了壓電陶瓷(PZT-4)在電不可導(dǎo)通和電可導(dǎo)通邊界條件下，能量釋放率G/Gr隨裂紋數(shù)k的變化關(guān)系(τ1=2 MPa,D0=6×10-3C/m2,R=0.01,L/R=0.005)。從圖14中可以看出，裂紋數(shù)在兩種邊界條件下對(duì)能量釋放率的影響規(guī)律情形相似，且能量釋放率隨裂紋數(shù)的變化趨勢(shì)與圖2中無(wú)量綱場(chǎng)強(qiáng)度因子隨裂紋數(shù)量的變化趨勢(shì)相似。

圖14 G/Gr隨k的變化(圓孔邊周期裂紋)Fig.14 Variations of G/Grwith k

圖15給出了壓電陶瓷(PZT-4)在電不可導(dǎo)通和電可導(dǎo)通邊界條件下，能量釋放率G/Gr隨半徑R的變化關(guān)系(τ1=6 MPa,D0=2×10-3C/m2,L/R=0.05)。從圖15中可以看出，半徑在兩種邊界條件下對(duì)能量釋放率的影響規(guī)律情形相似。即能量釋放率隨著半徑的增加而正比例增加，表明半徑總是促進(jìn)裂紋增長(zhǎng)。

圖15 G/Gr隨R的變化(圓孔邊均布三裂紋)Fig.15 Variations of G/Grwith R

圖16給出了壓電陶瓷(PZT-4)在電不可導(dǎo)通和電可導(dǎo)通邊界條件下，在力電載荷給定下能量釋放率G/Gr隨裂紋長(zhǎng)度L/R的變化關(guān)系(τ1=6 MPa,D0=2×10-3C/m2,R=0.05)。可以看出，裂紋長(zhǎng)度在兩種邊界條件下對(duì)能量釋放率的影響規(guī)律情形相似，即隨著裂紋長(zhǎng)度的增加，能量釋放率在增加，表明裂紋長(zhǎng)度的增加容易促進(jìn)裂紋擴(kuò)展。

圖16 G/Gr隨L/R的變化(圓孔邊均布三裂紋)Fig.16 Variations of G/Gr with L/R

圖17給出了壓電陶瓷(PZT-4)在電不可導(dǎo)通和電可導(dǎo)通邊界條件下，能量釋放率G/Gr隨機(jī)械載荷τ1的變化關(guān)系(R=0.01,L/R=0.005,D0=2×10-3C/m2)?？梢?jiàn)，機(jī)械載荷在兩種邊界條件下對(duì)能量釋放率的影響規(guī)律情形相似。當(dāng)裂紋的幾何參數(shù)固定時(shí)，在一定的電載荷下，能量釋放率隨機(jī)械載荷的增加而增加。說(shuō)明，機(jī)械載荷始終促進(jìn)裂紋的擴(kuò)展。

圖17 G/Gr隨τ1的變化(圓孔邊均布三裂紋)Fig.17 Variations of G/Grwith τ1

圖18給出了壓電陶瓷(PZT-4)在電不可導(dǎo)通和電可導(dǎo)通邊界條件下，能量釋放率G/Gr隨電載荷D0的變化關(guān)系(R=0.01,L/R=0.005,τ1=6 MPa)。從圖中可以看出，在電可導(dǎo)通邊界條件下，電載荷對(duì)能量釋放率沒(méi)有影響，裂紋的能量釋放率僅依賴于機(jī)械載荷。在電不可導(dǎo)通邊界條件下，當(dāng)裂紋的幾何參數(shù)固定時(shí)，在一定的機(jī)械載荷下，能量釋放率隨著負(fù)電場(chǎng)量值大小的增加而減少。相比之下，隨著正電場(chǎng)從零開(kāi)始增加，能量釋放率逐漸增加，并在D0≈2.2×10-3C/m2時(shí)達(dá)到高峰，然后隨著正電場(chǎng)的進(jìn)一步增加，能量釋放率不斷減小。結(jié)果表明,對(duì)于電不可導(dǎo)通裂紋,在給定的機(jī)械載荷下，負(fù)電場(chǎng)總是阻礙裂紋擴(kuò)展，而正的電場(chǎng)可以促進(jìn)或阻滯裂紋擴(kuò)展，這取決于電載荷的大小、方向和作用方式。

圖18 G/Gr隨D0的變化(圓孔邊均布三裂紋) Fig.18 Variations of G/Grwith D0

圖19給出了壓電陶瓷(PZT-4)在電不可導(dǎo)通和電可導(dǎo)通邊界條件下，能量釋放率G/Gr隨裂紋數(shù)k的變化關(guān)系(τ1=2 MPa,D0=6×10-3C/m2,L=0.005)。從圖中可以看出，裂紋數(shù)在兩種邊界條件下對(duì)能量釋放率的影響規(guī)律情形相似，且能量釋放率隨裂紋數(shù)的變化趨勢(shì)與圖3中無(wú)量綱場(chǎng)強(qiáng)度隨裂紋數(shù)量的變化趨勢(shì)相似。

圖19 G/Gr隨k的變化(星性裂紋)Fig.19 Variations of G/Grwith k

從圖14～圖19中還可以看出，電可導(dǎo)通邊界條件下能量釋放率的值比電不可導(dǎo)通邊界條件下能量釋放率的值略大一些。

上述算例中得到的數(shù)值結(jié)果與Guo等研究中的數(shù)值結(jié)果相吻合。

4 結(jié) 論

本文運(yùn)用復(fù)變函數(shù)方法和解析函數(shù)理論，對(duì)一維六方壓電準(zhǔn)晶中圓孔邊周期裂紋反平面斷裂問(wèn)題進(jìn)行了分析研究，導(dǎo)出了電不可導(dǎo)通邊界條件和電可導(dǎo)通邊界條件下裂紋尖端場(chǎng)強(qiáng)度因子和能量釋放率的解析表達(dá)式。在缺失相位子場(chǎng)或電場(chǎng)時(shí)，所得結(jié)果和已有結(jié)果做了對(duì)比分析。通過(guò)數(shù)值算例分析了裂紋數(shù)、幾何參數(shù)、耦合參數(shù)、以及相位子場(chǎng)載荷和機(jī)電載荷對(duì)材料斷裂特性的影響規(guī)律。本研究為壓電準(zhǔn)晶元件的優(yōu)化設(shè)計(jì)和可靠性分析提供理論基礎(chǔ)，并豐富該領(lǐng)域斷裂力學(xué)的研究?jī)?nèi)容。