隆 勇 李 力

(重慶市清華中學(xué),重慶 400054)

高中物理教學(xué)中常見這樣一類勻強(qiáng)電場(chǎng)的典型問(wèn)題:假設(shè)勻強(qiáng)電場(chǎng)的電場(chǎng)線與某平面共面,已知該平面上某幾點(diǎn)的電勢(shì)數(shù)值,要求解場(chǎng)強(qiáng)的大小和方向.近幾年這種類型的問(wèn)題在各種高考復(fù)習(xí)資料以及高考試題中多次出現(xiàn),例如2017年全國(guó)高考課標(biāo)Ⅲ卷的第21題的(A)選項(xiàng)即為:一勻強(qiáng)電場(chǎng)的方向平行于xOy平面,平面內(nèi)a、b、c3點(diǎn)的位置如圖1所示,3點(diǎn)的電勢(shì)分別為10 V、17 V、26 V,求電場(chǎng)強(qiáng)度的大小.

圖1

通常的求解方法是:計(jì)算某線段上的各個(gè)n等分點(diǎn)的電勢(shì),從中尋找同某個(gè)已知電勢(shì)的點(diǎn)具有相等電勢(shì)的點(diǎn),將這兩點(diǎn)相連得到一條等勢(shì)線(由于勻強(qiáng)電場(chǎng)的等勢(shì)線是直線),再畫出與之垂直且從高電勢(shì)指向低電勢(shì)的方向即得場(chǎng)強(qiáng)方向(須算出表示這一方向的角度),然后求出另一已知電勢(shì)的點(diǎn)到該等勢(shì)線的距離d,最后由E=U/d計(jì)算場(chǎng)強(qiáng)大小.

圖2

從物理的角度看,不妨稱這種方法為“等電勢(shì)法”,從數(shù)學(xué)上看是一種幾何法,步驟比較繁瑣,而且當(dāng)各點(diǎn)的電勢(shì)數(shù)值或各點(diǎn)的位置關(guān)系比較一般化時(shí),等電勢(shì)點(diǎn)的尋找和幾何計(jì)算都會(huì)很費(fèi)事,求解過(guò)程中可能遇到相當(dāng)大的難度.特別是當(dāng)所給電勢(shì)和坐標(biāo)為一系列已知字母時(shí),等電勢(shì)點(diǎn)的確定無(wú)從下手,這種幾何法將完全失效.

其實(shí),根據(jù)電磁學(xué)中靜電場(chǎng)電場(chǎng)強(qiáng)度與電勢(shì)梯度之間的關(guān)系[1],即電勢(shì)φ的負(fù)梯度等于電場(chǎng)強(qiáng)度E,將E=-φ沿勻強(qiáng)電場(chǎng)所在平面的兩個(gè)直角坐標(biāo)軸Ox、Oy分解[2],得到Ex=-?φ/?x,Ey=-?φ/?y,又由于勻強(qiáng)電場(chǎng)處處相等,Ex、Ey皆常量,故可寫為

(1)

(1)式便是簡(jiǎn)捷求解這類問(wèn)題的解析式,用它可以如下求解上述高考試題:首先如前述求得φO=1 V后,用(1)式得

這一方法從數(shù)學(xué)上看是一種解析法,它根本不需要尋找等電勢(shì)點(diǎn),也不需要有一定技巧的幾何計(jì)算,而是直接簡(jiǎn)明地求出了場(chǎng)強(qiáng)矢量,明顯優(yōu)于“通過(guò)尋找等電勢(shì)點(diǎn)再確定等勢(shì)(面)線及場(chǎng)強(qiáng)方向最后計(jì)算場(chǎng)強(qiáng)大小”的幾何方法,值得在教學(xué)中向師生們介紹推廣.