蔡錦曦

(杭州育瀾劍橋國際中心,浙江 杭州 310000)

近年來,國際學(xué)校和國際課程在我國各省市迅速發(fā)展,筆者自2008年開始進(jìn)行英國A-LEVEL國際課程教學(xué),在迄今10年的時(shí)間里,筆者一直在國際高中擔(dān)任物理教師,使用英國的教材、利用英語進(jìn)行授課、與外籍同事一起輔導(dǎo)學(xué)生參加由英國劍橋大學(xué)國際考試委員會(CIE)組織的全球統(tǒng)考,取得了優(yōu)異的成績,也積累了一定的教學(xué)經(jīng)驗(yàn)．2013年筆者也曾赴英國利物浦嘉德中學(xué)(Calday Grange Grammar School)進(jìn)行短期交流和學(xué)習(xí),了解了A-LEVEL課程在英國本土的開設(shè)情況．在本文中筆者將就英國A-LEVEL物理課程中對實(shí)驗(yàn)不確定度分析的要求進(jìn)行總結(jié),以供國內(nèi)物理教師參考．

1 誤差與不確定度的區(qū)別

首先有必要對物理實(shí)驗(yàn)中兩個(gè)常用的但又容易混淆的概念進(jìn)行區(qū)別:誤差與不確定度．

誤差(Error)一般又稱為測量誤差,它導(dǎo)致測量值跟被測物理量的真實(shí)值之間存在差異．一般分為兩類:系統(tǒng)誤差(systematic error)和偶然誤差(random error),詳見表1.

表1

在人教版《物理》必修1中還提到了絕對誤差和相對誤差的概念,值得一提的是,從人教版教材所表達(dá)的意義來看,按照嚴(yán)格的國際規(guī)范,[1]這里的“誤差”其實(shí)是另外一個(gè)概念——不確定度(uncertainty)．

一般來說,“誤差”是導(dǎo)致測量值偏離真實(shí)值的因素,是一種“問題”(problem)．而不確定度是測量中多個(gè)測量值的實(shí)際范圍,測量者會認(rèn)為真實(shí)值就位于這個(gè)范圍之內(nèi)(The uncertainty is an actual range of values around a measurement, within which you expect the true value to lie[2]),所以不確定度有確切的數(shù)值和單位．

在A-Level物理課程中,不確定度被分為不確定度(actual uncertainty或absolute uncertainty)和相對不確定度(percentage uncertainty或fractional uncertainty)兩類．

為了表示實(shí)驗(yàn)結(jié)果的準(zhǔn)確程度,科學(xué)的表達(dá)形式為

實(shí)驗(yàn)結(jié)果=測量值±不確定度=x±Uc，其中x是測量值,Uc是不確定度．舉例來說,如果某一長度的真實(shí)值是21.0 cm,而誤差導(dǎo)致測量值為21.5 cm,那么由于真實(shí)值與測量值的偏離程度為0.5 cm,所以不確定度為±0.5 cm,這個(gè)測量結(jié)果應(yīng)該被寫作21.5±0.5 cm．但為了更好地表示測量結(jié)果的準(zhǔn)確程度,又引入相對不確定度的概念:

教師的專業(yè)成長是教師從事教學(xué)工作時(shí)，通過有意識組織的各種活動，引導(dǎo)教師自我反省教學(xué)知識、技能及態(tài)度的過程，其目的在于促進(jìn)教師教學(xué)效率最大化，完成教育目標(biāo)，是教師在其教學(xué)生涯中不斷追求個(gè)人專業(yè)知識、技能與態(tài)度等進(jìn)步與發(fā)展的努力及意愿。立足課堂教學(xué)，利用各種形式的教學(xué)活動能使教師本身的專業(yè)知識、專業(yè)技能及專業(yè)態(tài)度有所改善，并在實(shí)際的教學(xué)工作中得到發(fā)展，進(jìn)而促進(jìn)個(gè)人意愿的自我實(shí)現(xiàn)。

2 不確定度與有效數(shù)字

在A-Level物理課程及考試中對有效數(shù)字的一致性(consistency)要求較為嚴(yán)格,對于物理測量中的測量值與不確定度的表達(dá)形式一般遵循以下兩條規(guī)則: (1) 不確定度的數(shù)值中只能有一個(gè)非零的數(shù)字; (2) 測量值的最后一個(gè)有效數(shù)字與不確定度的非零數(shù)字應(yīng)該在同一數(shù)字位上．舉例說明如表2所示.

表2

從以上幾例可以發(fā)現(xiàn),不確定度的有效數(shù)字一般應(yīng)為一個(gè),實(shí)驗(yàn)結(jié)果的最后表達(dá)形式中測量值根據(jù)不確定度而定．

例1.一位學(xué)生通過測量算出聲音在空氣中的速度為327.66 m·s-1,該結(jié)果的相對不確定度為±3%,則以下哪一個(gè)結(jié)果的有效數(shù)字是正確的?

(A) 327.7 m·s-1. (B) 328 m·s-1.

(C) 330 m·s-1. (D) 300 m·s-1.

解析:首先算出不確定度=327.66×3%=±9.8298 m·s-1,根據(jù)第一條規(guī)則,必須將9.8298進(jìn)行四舍五入變成10,這樣它只有一個(gè)非零的數(shù)字“1”,于是結(jié)果可以寫為327.66±10 m·s-1．根據(jù)第二條規(guī)則,由于不確定度的最后一位有效數(shù)字“1”(注意此時(shí)0為非有效數(shù)字)位于十位上,所以必須將327.66寫作330,以保證有效數(shù)字位置的一致性,最后結(jié)果應(yīng)寫成330±10 m·s-1,或者(3.3±0.1)×102ms-1,所以正確選項(xiàng)為(C)．

3 不確定度的判定

在之前的例子中,由于知道真實(shí)值,所以不確定度可以很容易地被計(jì)算出來,但在實(shí)際測量中往往真實(shí)值是無法得知的,這時(shí)候就必須要通過一定的方法來確定不確定度的大小．必須指出,在近8年的A-Level教學(xué)中,筆者研究和參考了眾多的教材、教輔書籍和考試試卷及評分標(biāo)準(zhǔn),這些資料對于不確定度的判定標(biāo)準(zhǔn)都不太一致,幾乎沒有一本書能給出非常確切的準(zhǔn)則,甚至有一些是基于經(jīng)驗(yàn)法則,考慮到科學(xué)測量的多樣性和復(fù)雜性,這也可以理解,不過由于缺乏統(tǒng)一的標(biāo)準(zhǔn),確實(shí)給教師和學(xué)生帶來了一定的困惑．以下試討論幾種筆者總結(jié)出來的常見情況．

(2) 單次測量數(shù)據(jù)，根據(jù)儀器標(biāo)準(zhǔn)差確定不確定度.

(3) 在某些難度較大的測量中,由于系統(tǒng)誤差較大,對不確定度的估計(jì)要適當(dāng)放大．

圖1

例如,使用精度為0.015的秒表來測量參加100m跑的運(yùn)動員的成績,考慮到測量者按表的反應(yīng)時(shí)間,測量誤差的增大會導(dǎo)致不確定度的增大．

又如,在2013年5月劍橋大學(xué)A-Level實(shí)驗(yàn)考試(Paper 33)中,考生被要求測量一個(gè)放置在不透明軌道中的小球的底部到實(shí)驗(yàn)桌面的高度h(如圖1)．雖然使用的刻度尺的精度是1 mm,但是由于小球的下半部分在軌道里無法被看到,所以難以準(zhǔn)確確定小球底部的位置,在此情況下要適當(dāng)放大測量誤差,如2-5 mm．然后估算不確定度.

4 間接量不確定度的確定

在物理實(shí)驗(yàn)中經(jīng)過測量得到的直接物理量具有不確定度,所以由后續(xù)計(jì)算得到的間接物理量當(dāng)然也有不確定度,一般分兩種情況來討論．

(1) 經(jīng)過加減運(yùn)算得到的物理量,其不確定度由被加減的物理量的不確定度相加而得．如表3.

表3

(2) 經(jīng)過乘除運(yùn)算得到的物理量,其相對不確定度由被乘除的物理量的相對不確定度相加而得．如表4.

表4

例3.在某次實(shí)驗(yàn)中,一個(gè)遙控小車用了2.50±0.05 s的時(shí)間通過了40.0±0.1 m的距離,則小車的平均速度和不確定度為多少?

(A) 16±1 m·s-1.

(B) 16.0±0.2 m·s-1.

(C) 16.0±0.4 m·s-1.

(D) 16.00±0.36 m·s-1.

5 利用圖像計(jì)算不確定度

在A-Level物理課程中還可以利用圖像來計(jì)算不確定度,一般要求A2階段(相當(dāng)于國內(nèi)的高三年級)的學(xué)生掌握,以下舉例說明．

在研究胡克定律的實(shí)驗(yàn)中,某學(xué)生測量彈簧伸長量與所掛鉤碼重力的關(guān)系,得到以下6組數(shù)據(jù)(表5).

表5

圖2