趙曉云 張丙開(kāi) 王春曉 唐義甲

(阜陽(yáng)師范學(xué)院物理與電子工程學(xué)院,阜陽(yáng) 236037)

1 引 言

等離子體中的帶電粒子撞擊到器壁表面會(huì)使表面發(fā)射二次電子,發(fā)射的二次電子在鞘層電場(chǎng)的作用下向鞘層空間運(yùn)動(dòng),能夠改變等離子體鞘層的結(jié)構(gòu),從而影響著等離子體的應(yīng)用,如等離子體濺射[1]、離子注入[2]以及聚變裝置中粒子和能量的傳輸[3]等.在實(shí)驗(yàn)室等離子體中,等離子體作用器壁發(fā)射的二次電子導(dǎo)致鞘層結(jié)構(gòu)受到影響.發(fā)射探針利用表面電子發(fā)射測(cè)量等離子體電位,發(fā)射鞘層的細(xì)節(jié)對(duì)其研究至關(guān)重要[4,5].在托卡馬克裝置中偏濾器靶板表面的二次電子發(fā)射對(duì)熱損耗和等離子體約束有著顯著的影響[6?8].此外,等離子體裝置的性能,如霍爾推進(jìn)器的器壁材料使用性能也與器壁發(fā)射的二次電子有著重要的關(guān)聯(lián)[9?12].因此,等離子體與壁相互作用發(fā)射的二次電子是邊界等離子體研究中一個(gè)重要的問(wèn)題[13?15].

關(guān)于等離子體與壁面相互作用發(fā)射的二次電子,已經(jīng)有很多文獻(xiàn)做了具體的研究[16?25].從器壁發(fā)射的二次電子,可以導(dǎo)致鞘層電勢(shì)增加,鞘層電場(chǎng)強(qiáng)度減小,鞘層厚度變窄,當(dāng)二次電子發(fā)射系數(shù)超過(guò)臨界發(fā)射系數(shù)之后,鞘層電勢(shì)出現(xiàn)反轉(zhuǎn),鞘層空間不再是離子鞘.但是在上述文獻(xiàn)的研究中,粒子分布主要考慮為遵守Boltzmann-Gibbs熵為基礎(chǔ)的經(jīng)典統(tǒng)計(jì)力學(xué)下的麥克斯韋分布[26,27].然而,麥克斯韋分布使用有其局限性,不適用于描述長(zhǎng)程相互作用、純電子等離子體等系統(tǒng)[28?30].針對(duì)Boltzmann-Gibbs熵不能很好描述的系統(tǒng),Tsallis將熵的概念推廣到非廣延性下的廣義上熵[31],非廣延性下兩個(gè)獨(dú)立子系統(tǒng)的總熵滿足

其中A,B代表兩個(gè)獨(dú)立的子系統(tǒng);kB是玻爾茲曼常數(shù);q是描述非廣延性質(zhì)的參數(shù),q<1 ,q=1 和q>1分別對(duì)應(yīng)于超廣延、廣延和亞廣延情形,當(dāng)q=1時(shí),Sq回到了經(jīng)典的Boltzmann-Gibbs熵.

近年來(lái),在研究等離子體不穩(wěn)定性、等離子體鞘層以及非線性波等方面已經(jīng)考慮了帶電粒子呈現(xiàn)非廣延性分布的情形[32?39].在等離子體鞘層方面的研究,涉及鞘層玻姆判據(jù)、塵埃等離子體以及電負(fù)性等離子體等的其中帶電粒子呈現(xiàn)非廣延性分布的等離子體鞘層特性,結(jié)果顯示帶電粒子的非廣延性分布的鞘層物理特性與廣延分布下有著較大的區(qū)別.但當(dāng)?shù)入x子體鞘層中電子分布滿足非廣延分布時(shí),電子與金屬器壁作用從器壁發(fā)射的二次電子目前仍沒(méi)有研究.正由于二次電子發(fā)射對(duì)等離子體鞘層物理特性的重要影響,而二次電子發(fā)射與等離子體鞘層中電子的分布函數(shù)有著重要的關(guān)聯(lián),在以往的研究中,僅研究了帶電粒子呈現(xiàn)廣延分布(q=1)情形下的二次電子發(fā)射特性,為了更好地了解非廣延分布下的等離子體鞘層結(jié)構(gòu),本文擬利用一維流體模型,通過(guò)數(shù)值模擬,研究等離子體鞘層中非廣延分布的電子與金屬器壁相互作用發(fā)射的二次電子的特性,其結(jié)果對(duì)于聚變等離子體以及塵埃等離子體等放電過(guò)程中邊界等離子體特性的研究有重要的參考意義.

2 鞘層模型

考慮一維穩(wěn)態(tài)的無(wú)限大平板模型,從等離子體垂直指向壁面的方向?yàn)閤軸方向,x=0 對(duì)應(yīng)等離子體中性區(qū)域與鞘層分界面,x<0和x>0 區(qū)域分別對(duì)應(yīng)中性等離子體區(qū)域和等離子體鞘層區(qū)域,xw表示器壁位置處,如圖1所示.

鞘層中主要包含電子、離子以及電子撞擊到器壁發(fā)射的二次電子.對(duì)于等離子體鞘層區(qū)域,由于處于等離子體邊界與器壁結(jié)合處,離子溫度相對(duì)較低,故可忽略離子溫度的影響,于是離子在等離子體鞘層中的運(yùn)動(dòng),根據(jù)連續(xù)性方程和運(yùn)動(dòng)方程有

圖1 等離子體鞘層示意圖Fig.1.Schematic diagram of plasma sheath.

其中?代表鞘層電勢(shì);e是基礎(chǔ)電荷元電量;mi,ni和vi分別代表離子的質(zhì)量、數(shù)密度和速度.

等離子體鞘層中的電子假設(shè)遵守Tsallis統(tǒng)計(jì)力學(xué)模型,一維情形下電子速度非廣延性分布函數(shù)分布式可表示為[31]

其中me,ve和Te分別代表電子的質(zhì)量、速度和溫度;kB是玻爾茲曼常數(shù).Cq是歸一化無(wú)量綱常數(shù),其形式為

上述表達(dá)式中ne0的下標(biāo)“0”代表處于等離子體鞘層邊界x=0 位置,Γ 代表標(biāo)準(zhǔn)伽馬函數(shù).

根據(jù)電子速度分布函數(shù)(4)式,對(duì)電子的速度空間進(jìn)行積分,可得電子密度分布函數(shù)[32,37]

電子到達(dá)等離子體器壁與其作用,將使器壁表面發(fā)射出二次電子,二次電子在鞘層電勢(shì)的作用下將加速離開(kāi)器壁向鞘層空間運(yùn)動(dòng),在等離子體器壁位置x=xw處,由作用到器壁的電子流從器壁發(fā)射出的二次電子流滿足

這里je,js和γ分別代表到達(dá)器壁x=xw處的電子流、從器壁發(fā)射出的二次電子流和器壁表面二次電子發(fā)射系數(shù).對(duì)于穩(wěn)態(tài)等離子體,根據(jù)器壁電流守恒可得[38]

這里

其中?w代表器壁x=xw處電勢(shì),ns和vs分別代表二次電子的數(shù)密度和速度.由于電子與器壁作用產(chǎn)生的二次電子,離開(kāi)器壁要克服器壁材料表面的束縛能,所以由電子撞擊器壁發(fā)射出的二次電子可看成冷的流體進(jìn)行分析,二次電子進(jìn)入鞘層中的運(yùn)動(dòng)滿足[13]

從器壁發(fā)射出的二次電子在器壁電勢(shì)的作用下迅速進(jìn)入等離子體鞘層,鞘層電勢(shì)在電子、離子和二次電子的共同作用下滿足的方程為

其中ε0是真空介電常數(shù).

在等離子體中性區(qū)域與等離子體鞘層分界面處(x=0),根據(jù)電中性條件,可得在鞘邊的帶電粒子數(shù)密度滿足

由于描述等離子體鞘層區(qū)域的各參數(shù)數(shù)量級(jí)差別較大,為了便于分析,對(duì)上述表達(dá)式(2)—(16)中各物理量引入下列無(wú)量綱化參量:這里λD和Mi分別是電子德拜長(zhǎng)度和離子馬赫數(shù),根據(jù)無(wú)量綱化參量,由表達(dá)式(2)—(16)可以得到

(21)式中φw為無(wú)量綱化后的器壁電勢(shì),可聯(lián)立器壁位置流守恒表達(dá)式(7)—(11)來(lái)確定:

(22)式中的δ是等離子體鞘邊的電子數(shù)密度與離子數(shù)密度的比值,對(duì)應(yīng)不同的發(fā)射系數(shù)γ以及參量q,可結(jié)合(16)與(21)式得到

3 數(shù)值結(jié)果與討論

3.1 玻姆判據(jù)

玻姆判據(jù)是判定等離子體鞘層穩(wěn)定性的重要條件.對(duì)于無(wú)碰撞僅含有數(shù)密度為麥克斯韋分布(q=1)的電子和冷的離子的等離子體,當(dāng)鞘層穩(wěn)定時(shí),離子到達(dá)鞘邊的速度必定大于或等于離子聲速,即Mi≥1[40].當(dāng)電子呈現(xiàn)非廣延性分布(q=1)時(shí),電子分布偏離了麥克斯韋分布,此時(shí)鞘邊玻姆速度的變化,可根據(jù)(17)式進(jìn)行分析,對(duì)等式(17)兩邊乘以?φ/?ξ,再對(duì)空間變量ξ進(jìn)行積分,可得

這里

化簡(jiǎn)(26)式,得到鞘邊的玻姆判據(jù)為

表達(dá)式(27)給出了從中性等離子體區(qū)域進(jìn)入等離子體鞘層的離子在鞘邊必須滿足的最小速度(玻姆速度)與等離子體中電子非廣延分布參量q的關(guān)系.從(27)式可以看出,離子到達(dá)鞘邊的玻姆判據(jù)會(huì)跟隨非廣延分布參量q的變化而變化.當(dāng)二次電子發(fā)射系數(shù)γ=0 ,(27)式變?yōu)?/p>

這個(gè)結(jié)果與文獻(xiàn)[34,35]中描述一致,且當(dāng)q=1時(shí),Mi≥1 ,此時(shí)對(duì)應(yīng)電子呈麥克斯韋分布的冷等離子體的鞘層玻姆判據(jù)[40].

結(jié)合方程(22)和(23),根據(jù)不等式(27)可以得到在器壁二次電子發(fā)射系數(shù)不同(γ=0 ,γ=0.4和γ=0.8)時(shí),非廣延參量q對(duì)鞘邊玻姆判據(jù)最小值Mi(min)的影響,見(jiàn)圖2.從圖2可以看到,玻姆判據(jù)的最小值Mi(min)隨著非廣延參量q的增加而減小,并且器壁二次電子發(fā)射系數(shù)越大,玻姆判據(jù)的最小值越大.q值的增加,對(duì)應(yīng)低速運(yùn)動(dòng)的電子數(shù)目增多,導(dǎo)致鞘層中凈電荷密度增加,于是離子到達(dá)鞘邊的速度減小.對(duì)比圖2中三條曲線(γ=0 ,γ=0.4和γ=0.8),發(fā)現(xiàn)非廣延參量q的變化對(duì)不同二次電子發(fā)射系數(shù)下的玻姆判據(jù)最小值的改變程度有所不同,器壁二次電子發(fā)射系數(shù)越大,非廣延參量q對(duì)其狀態(tài)的等離子體的玻姆判據(jù)最小值改變幅度越小.

3.2 器壁電勢(shì)

當(dāng)電子分布呈現(xiàn)廣延性分布(q=1)時(shí),器壁二次電子發(fā)射,導(dǎo)致器壁鞘層和器壁電勢(shì)增加,這個(gè)在許多文獻(xiàn)中已經(jīng)討論過(guò)[9?17].圖3顯示的是器壁二次電子發(fā)射系數(shù)不同時(shí),非廣延參量對(duì)器壁電勢(shì)的影響.由圖3可以發(fā)現(xiàn),隨著非廣延參量q的增加,盡管器壁二次電子發(fā)射系數(shù)不同,但器壁電勢(shì)都是隨著參量q的增加而增加,并且增加的幅度有所不同.由圖3(a)可得,在器壁二次電子發(fā)射系數(shù)γ=0.4 情形下,非廣延參量q=0.5 時(shí),器壁電勢(shì)φw=?26.3;q=1.0 時(shí),器壁電勢(shì)φw=?2.31 ,可見(jiàn)在參量q從 0.5 增加到1時(shí),器壁電勢(shì)增加率為90.2%.由圖3(b)可得,對(duì)于發(fā)射系數(shù)γ=0.4 ,q=2.0時(shí),器壁電勢(shì)φw=?0.65 ,此時(shí)在參量q從1.0增加到2.0時(shí),器壁電勢(shì)增加率為 71.7%.通過(guò)比較參量q在 0.5→1和1.0→2.0 之間的變化給器壁電勢(shì)帶來(lái)的影響,發(fā)現(xiàn)在 0.5

此外,對(duì)比圖3中三條曲線(γ=0 ,γ=0.4 和γ=0.8)可以發(fā)現(xiàn),器壁二次電子發(fā)射系數(shù)越大,非廣延參量對(duì)器壁電勢(shì)的影響越小.在參量q從0.5→2.0的變化中,對(duì)于器壁二次電子發(fā)射系數(shù)γ=0,γ=0.4和γ=0.8 三種情形來(lái)說(shuō),器壁電勢(shì)增加的比值分別為98.4%,97.5%和95.3%.

圖2 二次電子發(fā)射系數(shù)不同時(shí)臨界馬赫數(shù)隨q的變化(γ=0 ,γ=0.4和γ=0.8)Fig.2.Critical Mach number versus nonextensive parameter q for different values of secondary electron emission coefficients (γ=0 ,γ=0.4 and γ=0.8).

圖3 二次電子發(fā)射系數(shù)不同時(shí)器壁電勢(shì)隨參量q的變化 (a) q=0.5—1.0; (b) q=1.0—2.0Fig.3.Wall potential versus nonextensive parameter q for different values of secondary electron emission coefficients (γ=0 ,γ=0.4 and γ=0.8): (a) q=0.5?1.0; (b) q=1.0?2.0.

非廣延參量的變化,對(duì)于器壁電勢(shì)的影響,可以參見(jiàn)文獻(xiàn)[37]中的圖2,與q=1.0 比較,當(dāng)q>1.0時(shí),電子處于亞廣延性分布,低速運(yùn)動(dòng)的電子數(shù)量增多,且運(yùn)動(dòng)速度小于麥克斯韋極限熱速度;當(dāng)q<1.0 時(shí),電子處于超廣延性分布,電子的運(yùn)動(dòng)速度可能超過(guò)麥克斯韋極限熱速度,且高速運(yùn)動(dòng)的電子數(shù)量增加.所以圖3中q值對(duì)于器壁電勢(shì)的影響,主要是由于q值在從0.5到2.0的變化過(guò)程中,到達(dá)器壁的電子速度在逐漸降低,這將使得形成穩(wěn)定鞘層時(shí)到達(dá)器壁的電子數(shù)減少,于是器壁電勢(shì)增加.

3.3 二次電子臨界發(fā)射系數(shù)

器壁二次電子的發(fā)射,導(dǎo)致鞘層電勢(shì)增加(絕對(duì)值減小)、電場(chǎng)強(qiáng)度降低,當(dāng)器壁二次電子發(fā)射系數(shù)達(dá)到一定的值時(shí),器壁電場(chǎng)(Ew=??φ/?ξ|wex)減小到零,此時(shí)對(duì)應(yīng)的發(fā)射系數(shù)為二次電子臨界發(fā)射系數(shù)γc.

對(duì)于電子分布呈現(xiàn)廣延性分布(q=1)的等離子體鞘層,其器壁二次電子臨界發(fā)射系數(shù)可表示為[13]

對(duì)于非廣延分布(q=1)的等離子體鞘層,根據(jù)器壁電場(chǎng)等于零,結(jié)合(24)式有

聯(lián)立 (22),(23)和(27) 式,可以得到對(duì)應(yīng)不同非廣延參量q時(shí)的器壁二次電子臨界發(fā)射系數(shù)γc.圖4呈現(xiàn)的是非廣延參量q對(duì)不同種類(H+,Ar+與Xe+)等離子體器壁的二次電子臨界發(fā)射系數(shù)的影響.隨著非廣延參量q的增加,器壁二次電子臨界發(fā)射系數(shù)逐漸減小,當(dāng)電子分布呈現(xiàn)超廣延分布(q<1)時(shí),器壁二次電子臨界發(fā)射系數(shù)大于廣延分布(q=1)時(shí)的值,而當(dāng)電子分布處于亞廣延分布(q>1)時(shí),器壁二次電子臨界發(fā)射系數(shù)則要比廣延分布時(shí)的值小.對(duì)H+等離子體,q=0.5 ,1.0和2.0時(shí)的二次電子臨界發(fā)射系數(shù)分別為γc=0.88 ,0.82和 0.77.對(duì)比三條圖線(H+,Ar+與Xe+),可以發(fā)現(xiàn)在同一非廣延參量q值情形下,分別含有三種不同種類離子的等離子體的二次電子臨界發(fā)射系數(shù)大小順序分別為Xe+等離子體中最大,Ar+等離子體中次之,H+等離子體中最小.當(dāng)q=1 時(shí),對(duì)應(yīng)H+,Ar+和Xe+等離子體,其器壁二次電子臨界發(fā)射系數(shù)分別為γc=0.82 ,0.97和0.98.同時(shí)非廣延參量q的變化對(duì)H+等離子體的器壁二次電子臨界發(fā)射系數(shù)影響程度最大,對(duì)Ar+等離子體影響次之,對(duì)Xe+等離子體影響最小,當(dāng)q從0.5增加到2.0時(shí),由圖4可得分別對(duì)應(yīng)H+,Ar+與Xe+這三種離子的等離子體的器壁二次電子臨界發(fā)射系數(shù)減小的比值分別為12.0%,1.1%與0.6%.

圖4 器壁二次電子臨界發(fā)射系數(shù) γc 隨q的變化Fig.4.Critical emission coefficient of secondary electrons versus nonextensive parameter q for different kinds of plasma.

非廣延參量q對(duì)于器壁二次電子臨界發(fā)射系數(shù)的影響,主要是由于參量q的改變,對(duì)應(yīng)電子呈現(xiàn)不同的分布狀態(tài),導(dǎo)致鞘層電勢(shì)降發(fā)生變化,在q從0.5增加到2.0過(guò)程中,電子分布從超廣延性

(q<1)到廣延性(q=1)、再到亞廣延性(q>1),高速運(yùn)動(dòng)的電子數(shù)目越來(lái)越少,于是形成鞘層時(shí)器壁電勢(shì)增加,由于鞘層為離子鞘,電勢(shì)從鞘邊到器壁是單調(diào)下降,所以器壁電場(chǎng)強(qiáng)度減小,因此要想器壁電場(chǎng)強(qiáng)度達(dá)到零,只需要越來(lái)越小的二次電子發(fā)射系數(shù)即可.而對(duì)于H+,Ar+與Xe+這三種離子的器壁二次電子臨界發(fā)射系數(shù)有所不同,則是與這三種離子質(zhì)量數(shù)有關(guān),離子的質(zhì)量數(shù)越大,器壁電場(chǎng)強(qiáng)度越大,因此只有較高的二次電子發(fā)射系數(shù)才能使器壁電場(chǎng)強(qiáng)度滿足等于零的條件.

3.4 二次電子數(shù)密度

圖5呈現(xiàn)的是參量q分別等于0.8,1.2和1.3時(shí),等離子體鞘層中二次電子數(shù)密度的不同分布曲線,在等離子體鞘層中,盡管電子分布呈現(xiàn)非廣延性,但從器壁發(fā)射的二次電子在鞘層中仍然是單調(diào)變化的,這主要源于非廣延性分布的電子并未改變等離子體鞘層離子鞘特性,并且隨著參量q的增加,鞘邊與器壁之間的距離(鞘層的厚度)有所減小,鞘層中二次電子數(shù)密度跟著增加.

從器壁發(fā)射的二次電子在鞘層電場(chǎng)的作用下,將加速向鞘邊運(yùn)動(dòng),從而到達(dá)中性等離子體區(qū)域.圖6顯示的是參量q對(duì)不同二次電子發(fā)射系數(shù)下到達(dá)鞘邊的二次電子數(shù)密度的影響.從圖6可以看出,隨著參量q的增加,從器壁發(fā)射而到達(dá)鞘邊的二次電子數(shù)增多,對(duì)比γ=0.4 ,γ=0.6 和γ=0.8三條曲線,可以發(fā)現(xiàn),參量q的變化對(duì)不同二次電子發(fā)射系數(shù)下發(fā)射的二次電子數(shù)密度影響程度不同.對(duì)于γ=0.4 ,γ=0.6和γ=0.8 三種情形,當(dāng)q=0.5時(shí),到達(dá)鞘邊的二次電子數(shù)密度分別為Ns0=0.00248,0.00702,0.02922; 當(dāng)q=2.0 時(shí),由器壁發(fā)射而到達(dá)鞘邊的二次電子數(shù)密度則分別為Ns0=0.01121,0.02743,0.10616.參量q的增加,運(yùn)動(dòng)速度較低的電子數(shù)目增多,導(dǎo)致器壁電勢(shì)增加,所以結(jié)合(21)式可得從鞘邊的二次電子數(shù)密度增加.

圖5 參量q對(duì)鞘層中二次電子數(shù)密度的影響(γ=0.4)Fig.5.Normalized density of secondary electrons in plasma sheath versus x for different values of nonextensive parameter q (γ=0.4).

圖6 參量q對(duì)不同發(fā)射系數(shù)下到達(dá)鞘邊二次電子數(shù)密度的影響Fig.6.Normalized density of secondary electrons at the sheath edge versus nonextensive parameter q for different values of secondary electron emission coefficients (γ=0 ,γ=0.4 and γ=0.8).

4 結(jié) 論

本文采用一維流體模型研究了等離子體鞘層中電子呈現(xiàn)非廣延分布時(shí)作用器壁發(fā)射的二次電子特性,討論了非廣延參量對(duì)含有二次電子發(fā)射的等離子體鞘層玻姆判據(jù)、器壁電勢(shì)、器壁二次電子臨界發(fā)射系數(shù)以及等離子體鞘層中二次電子數(shù)密度的影響.從研究的結(jié)果看,q=1 是廣延分布,此時(shí)鞘層空間回到麥克斯韋分布等離子體鞘層.當(dāng)電子分布呈現(xiàn)非廣延分布(q=1)時(shí),不論是超廣延分布(q<1)還是亞廣延分布(q>1),隨著非廣延參量的增加,形成穩(wěn)定鞘層時(shí)鞘邊離子臨界馬赫數(shù)和器壁二次電子臨界發(fā)射系數(shù)都減小,并且等離子體鞘層中離子質(zhì)量數(shù)越大,器壁二次電子臨界發(fā)射系數(shù)越大,含有質(zhì)量數(shù)越大的離子種類的等離子體鞘層中,非廣延參量對(duì)器壁二次電子臨界發(fā)射系數(shù)的影響越小,而器壁電勢(shì)和發(fā)射的二次電子數(shù)密度卻隨著參量q的增加而增加.相比較電子分布處于超廣延分布和亞廣延分布,超廣延分布對(duì)等離子體鞘層中二次電子發(fā)射特性帶來(lái)的影響更大.