馬秀偉

摘要：數(shù)學(xué)建模是將抽象簡化的數(shù)學(xué)模型應(yīng)用于解決實(shí)際問題的一種解決問題的思維模式，也是一種解決實(shí)際問題的工具。本案例本著以學(xué)生為中心，以實(shí)例為基礎(chǔ)，以培養(yǎng)學(xué)科素養(yǎng)為目標(biāo)的教學(xué)理念，將數(shù)學(xué)建模的思想融入于三角計(jì)算解決實(shí)際應(yīng)用題。案例研究體會(huì)數(shù)學(xué)建模的全過程，強(qiáng)化數(shù)學(xué)建模的應(yīng)用，借助適當(dāng)?shù)男畔⒒侄危芯M(jìn)行數(shù)學(xué)建模思維的訓(xùn)練，既減輕了學(xué)習(xí)三角計(jì)算應(yīng)用的負(fù)擔(dān)，又提升了建模的魅力，將數(shù)學(xué)理論與實(shí)際進(jìn)行了有機(jī)的結(jié)合，為數(shù)學(xué)理論知識(shí)指導(dǎo)實(shí)踐找到了有效的路徑。

關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)建模;三角計(jì)算;案例

一、引言

數(shù)學(xué)建模概括的說就是對(duì)現(xiàn)實(shí)問題進(jìn)行簡化抽象為數(shù)學(xué)模型，人們通過對(duì)問題的深入研究、了解問題的具體信息、對(duì)問題做出客觀的簡化假設(shè)、分析問題的內(nèi)在規(guī)律，用數(shù)學(xué)的符號(hào)和語言建立數(shù)學(xué)模型，對(duì)實(shí)際問題做出表述，從而達(dá)到對(duì)實(shí)際問題進(jìn)行定量地分析和研究的目的。

三角計(jì)算在數(shù)學(xué)教學(xué)中具有十分重要的地位，是數(shù)學(xué)學(xué)科與諸多工科專業(yè)學(xué)習(xí)內(nèi)容的基礎(chǔ)，其內(nèi)容具有如下幾個(gè)特點(diǎn)：第一，涵蓋內(nèi)容較繁雜，包括兩角和與差的余弦公式與正弦公式、二倍角公式、正弦型函數(shù)、正弦定理和余弦定理等概念;第二，三角計(jì)算知識(shí)是電類、機(jī)類、建筑類等學(xué)習(xí)的必備知識(shí)，具有較強(qiáng)的應(yīng)用價(jià)值。其在教學(xué)中要本著“以服務(wù)為宗旨，以就業(yè)為導(dǎo)向”的教學(xué)理念進(jìn)行教學(xué)設(shè)計(jì)，要跳出數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)學(xué)科體系，盡量本著密切結(jié)合生產(chǎn)實(shí)際、解決實(shí)際案例問題的思想進(jìn)行教學(xué)。

二、三角計(jì)算及應(yīng)用問題的數(shù)學(xué)建模案例

受眾學(xué)生為機(jī)電技術(shù)應(yīng)用專業(yè)中職二年級(jí)學(xué)生，傳統(tǒng)數(shù)學(xué)對(duì)于他們而言顯得枯燥無味，但專業(yè)學(xué)習(xí)中經(jīng)常遇見數(shù)學(xué)問題，需要貼近專業(yè)的數(shù)學(xué)。本著通過教學(xué)讓學(xué)生掌握錐角與錐度的數(shù)學(xué)概念及運(yùn)算、掌握板材下料的計(jì)算，能夠應(yīng)用數(shù)學(xué)建模的方法解決機(jī)械加工中的典型案例，同時(shí)有助于強(qiáng)化學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)視角解決現(xiàn)實(shí)問題的意識(shí)、培養(yǎng)創(chuàng)新精神的目的，對(duì)數(shù)學(xué)建模進(jìn)行簡化為五個(gè)環(huán)節(jié)，將數(shù)學(xué)模型與機(jī)械加工問題有機(jī)融合，為三角計(jì)算應(yīng)用注入活力。

（一）案例一軸承錐角計(jì)算

聚焦問題（模型準(zhǔn)備）：學(xué)生觀看視頻，了解軸承應(yīng)用領(lǐng)域;從卡車車輪圓錐軸承入手，通過三維交互動(dòng)畫，剖析結(jié)構(gòu)，將實(shí)物轉(zhuǎn)化成截面圖形;下發(fā)“學(xué)案”介紹數(shù)學(xué)建模的方法及“六步”的含義，根據(jù)數(shù)學(xué)建模理念進(jìn)行解決實(shí)際應(yīng)用題。

合理假設(shè)（模型假設(shè)）：設(shè)定軸承截面圖為軸截面。

合理假設(shè)（模型建立）：此環(huán)節(jié)借助三維交互動(dòng)畫，呈現(xiàn)三角模型建立過程，明確錐度、錐角、圓錐臺(tái)上、下端直徑及高的含義，破解學(xué)生難以將實(shí)物抽象成數(shù)學(xué)模型、確定數(shù)學(xué)參數(shù)能力不足的教學(xué)難點(diǎn)。

推演公式（模型求解）：

（1）建立圓錐臺(tái)圓錐角的平面幾何關(guān)系圖，給出相關(guān)參數(shù)的概念：圓錐臺(tái)上底圓的直徑為D、下底圓的直徑為d、高為L;

（2）進(jìn)行模型求解：推導(dǎo)出圓錐臺(tái)的錐度定義式，找出圓錐臺(tái)圓錐角與D、d、L之間的關(guān)系，建立關(guān)系式。

錐度是指圓錐的底面直徑與錐體高度之比，常用字母C表示。如果是圓錐臺(tái)，則為上、下兩底圓的直徑差與圓臺(tái)高度之比值。

在角 所在的直角三角形中，得出關(guān)系式

理性回歸（模型分析）：組織學(xué)生梳理關(guān)系式，剖析參數(shù)由來及相互關(guān)系，應(yīng)用CAD Models展示參數(shù)變化對(duì)軸承的影響，通過推演公式、理性回歸兩步，完成教學(xué)重點(diǎn)的學(xué)習(xí)。

案例應(yīng)用（模型檢驗(yàn)）：完成學(xué)案中軸承外圈計(jì)算，依據(jù)結(jié)果應(yīng)用3D打印技術(shù)，打印出圓錐軸承外圈模型，與內(nèi)圈進(jìn)行匹配，體驗(yàn)原型檢驗(yàn)，完成驗(yàn)證題目。

（二）案例三板材下料問題

聚焦問題（模型準(zhǔn)備）：展示動(dòng)畫“板材下料”，了解鐵板焊接的下料方法;下發(fā)“學(xué)案”，讓學(xué)生依據(jù)數(shù)學(xué)建模步驟解決實(shí)際問題。

合理假設(shè)（模型假設(shè)）：兩塊寬度不同的鐵板，要對(duì)接焊接成固定角。

合理假設(shè)（模型建立）：完成“兩塊寬分別為a、b的鐵板，對(duì)接焊接成θ角，如何下料”的平面幾何圖。

推演公式（模型求解）：在Rt△ABD和Rt△ACB中，設(shè)AB的長為m，則

理性回歸（模型分析）：當(dāng)焊接角度一定的情況下，假設(shè)兩塊板材的寬度

a〉b，那么

（1）板材寬度值越大切割后對(duì)接的角度越大，反之越小;

（2）當(dāng)兩塊板材的寬度越接近相等，對(duì)接角度越接近。

案例應(yīng)用（模型檢驗(yàn)）：

將模型分析結(jié)果與實(shí)際情形進(jìn)行比較，通過實(shí)際應(yīng)用題目來驗(yàn)證模型的合理性、準(zhǔn)確性及適用性。

三、結(jié)束語

將數(shù)學(xué)建模的思想融入到三角計(jì)算解決實(shí)際應(yīng)用題中，不僅幫助學(xué)生化解了單純學(xué)習(xí)三角計(jì)算知識(shí)的枯燥無趣、培養(yǎng)了學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣;同時(shí)也破解了學(xué)生運(yùn)用三角知識(shí)解決實(shí)際問題的難點(diǎn)，較好的掌握了靈活運(yùn)用三角計(jì)算解決應(yīng)用題的思維方法。學(xué)生通過積極參與數(shù)學(xué)模型的準(zhǔn)備、假設(shè)、建立、求解、分析、檢驗(yàn)六個(gè)步驟的思維過程，強(qiáng)化學(xué)生數(shù)學(xué)建模思想、培養(yǎng)學(xué)生形成數(shù)學(xué)智慧;數(shù)學(xué)建模這一工具的應(yīng)用培養(yǎng)了學(xué)生概括抽象問題的綜合能力，處理不同問題的應(yīng)變能力，提升了解決實(shí)際問題的自信心。

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