冷建成， 田洪旭, 徐 爽, 周國強(qiáng), 趙海峰

(1. 東北石油大學(xué) 機(jī)械科學(xué)與工程學(xué)院，黑龍江 大慶 163318； 2. 中國石油集團(tuán)工程技術(shù)研究院，天津 300451)

模型修正是有限元分析的逆命題，受模型簡化、加工制造誤差、邊界條件變化等因素的影響，有限元模型不一定能準(zhǔn)確反映結(jié)構(gòu)的真實(shí)情況。因此，需要對有限元模型進(jìn)行修正，使其獲得與真實(shí)結(jié)構(gòu)相一致的動(dòng)力和靜力響應(yīng)，這一過程即為模型修正。隨著有限元仿真在工程應(yīng)用中的不斷拓寬，模型修正技術(shù)也日漸凸顯出了其重要性，尤其是在安全性能評估、動(dòng)態(tài)響應(yīng)預(yù)測、結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)等領(lǐng)域，模型修正技術(shù)作為聯(lián)系數(shù)值模型和實(shí)體結(jié)構(gòu)間的紐帶，在解決工程問題的過程中發(fā)揮了關(guān)鍵性作用。

傳統(tǒng)的模型修正方法按修正對象可分為矩陣法和元素法兩類，前者基于矩陣攝動(dòng)理論并引入正交性和系統(tǒng)特征方程作為約束條件修正剛度和質(zhì)量矩陣[1-4]；后者將結(jié)構(gòu)的固有屬性，如密度、彈性模量、邊界條件等作為修正參數(shù)，構(gòu)建目標(biāo)函數(shù)[5-8]。上述方法由于在修正過程中需要大量的有限元迭代計(jì)算，修正效率受到了嚴(yán)重影響，使得模型修正往往需要耗費(fèi)大量的時(shí)間。近年來，為解決這一問題，代理模型法開始應(yīng)用于模型修正領(lǐng)域。該方法利用代理模型，包括多項(xiàng)式響應(yīng)面模型、縮階模型、支持向量機(jī)模型、神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型等，代替待修正參數(shù)與修正目標(biāo)間復(fù)雜的映射關(guān)系，減少了修正過程中的有限元計(jì)算量，因而顯著提高了修正效率。Fang等[9]提出將D最優(yōu)實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)方法和一階響應(yīng)面相結(jié)合用于解決模型修正問題，并利用鋼筋混凝土框架驗(yàn)證了該方法的有效性；宗周紅等[10]利用三階多項(xiàng)式代理模型修正了下白石大橋的初始有限元模型。然而，代理模型在推廣過程中也受到了一些質(zhì)疑，究其原因在于代理模型是具備統(tǒng)計(jì)特征的近似方法，存在著近似誤差的問題，而模型修正屬于一類不適定性問題，微小的干擾可能對最終結(jié)果產(chǎn)生較大的影響。為此，有學(xué)者從代理模型構(gòu)造方法出發(fā)提出了改進(jìn)方法。Chakraborty等[11]提出將滑動(dòng)最小二乘法引入到代理模型生成過程中，認(rèn)為基于滑動(dòng)最小二乘的自適應(yīng)模型修正方法相較于最小二乘法擁有更高的擬合精度。陳喆等[12]提出采用一種混合基函數(shù)形式的增廣SVM方法構(gòu)造代理模型，并通過算例說明該方法相較于普通SVM方法有著更高的精度。

源于地質(zhì)統(tǒng)計(jì)學(xué)的Kriging模型[13]是一種插值模型，其優(yōu)勢在于對非線性問題有著突出的擬合效果，在優(yōu)化設(shè)計(jì)和可靠性分析等領(lǐng)域有著廣泛的應(yīng)用[14-15]。張冬冬等[14]對Kriging模型在模型確認(rèn)領(lǐng)域的應(yīng)用進(jìn)行了探討，提出利用置信空間評價(jià)代理模型的有效性。韓忠華[15]總結(jié)了Kriging模型的進(jìn)展歷程，利用機(jī)翼優(yōu)化算例對基于Kriging模型的優(yōu)化設(shè)計(jì)理論進(jìn)行了驗(yàn)證?？梢姡摲椒ㄔ诤娇盏裙こ填I(lǐng)域已有成功應(yīng)用，本文以某導(dǎo)管架海洋平臺模型為研究對象，在研究Kriging代理模型修正方法的基礎(chǔ)上提出一種基于多目標(biāo)遺傳算法(Multi-Objective Genetic Algorithm，MOGA)的局部加點(diǎn)優(yōu)化方法以提高Kriging模型精度，并利用平臺物理模型試驗(yàn)驗(yàn)證了修正方法的有效性。

1 基本理論

1.1 Kriging模型

Kriging模型認(rèn)為隨機(jī)變量的分布規(guī)律是在全局期望的基礎(chǔ)上受一定的局部偏差影響而產(chǎn)生的，且該局部偏差呈高斯隨機(jī)分布，通過協(xié)方差表示其相關(guān)程度

Cov[Z(x),Z(x′)]=σ2R(x,x′)

(1)

式中:Z(x)，Z(x′)為局部偏差；σ2為局部偏差的高斯隨機(jī)函數(shù)方差；R(x,x′)為隨機(jī)變量中兩點(diǎn)相關(guān)性的相關(guān)函數(shù)，與兩點(diǎn)距離d和系數(shù)θ有關(guān)，基本形式為

(2)

得到的擬合結(jié)果可寫作

y(s)=f(x)+Z(x)

(3)

式中:f(x)為符合全局函數(shù)期望的回歸函數(shù)；Z(x)越趨近于0，擬合曲線越光滑。

在確定相關(guān)函數(shù)的前提下，Kriging模型可看作由β,σ2,θ組成，利用最大似然估計(jì)聯(lián)合貝葉斯方法，求得β0與σ2分別為

β0=(fTR-1F)-1FTR-1ys

(4)

(5)

式中:F=[f(x1)，f(x2),…，f(xn)];ys為各設(shè)計(jì)點(diǎn)的響應(yīng)值，R為相關(guān)性矩陣

(6)

記r為相關(guān)矢量，rT=[R(x1,x),R(x2,x), …,R(xn,x)]，則最終結(jié)果可表示為

(7)

1.2 Kriging模型修正方法

Kriging模型修正方法是在傳統(tǒng)模型修正方法求解目標(biāo)函數(shù)這一步驟中，利用Kriging模型代替復(fù)雜的有限元計(jì)算，其流程如圖1所示?？纱笾赂爬?個(gè)主要流程：①生成樣本空間，主要包括修正參數(shù)的選取及試驗(yàn)設(shè)計(jì)，其中試驗(yàn)設(shè)計(jì)的目的是在最小化選取樣本點(diǎn)數(shù)量的同時(shí)，最大化獲得修正空間內(nèi)的信息量，主要試驗(yàn)設(shè)計(jì)方法包括中心復(fù)合設(shè)計(jì)、D最優(yōu)設(shè)計(jì)、超拉丁方設(shè)計(jì)等；②Kriging模型的生成；③修正目標(biāo)的求解，常引入遺傳、粒子群、模擬退火等智能仿生算法以優(yōu)化求解過程，改善多個(gè)修正目標(biāo)下可能面臨的收斂問題。

圖1 Kriging代理模型修正框架圖Fig.1 Framework of Kriging model based model updating method

2 海洋平臺模型修正

2.1 初始有限元模型分析

選取一導(dǎo)管架海洋平臺的室內(nèi)物理模型作為研究對象。該試驗(yàn)?zāi)Ｐ鸵阅硨?dǎo)管架平臺為原型，按幾何相似比1∶50加工而成，模型總高度為3.506 m，分為7層，底層尺寸為1.739 m×1.447 m，共有8個(gè)樁腿，各樁腿通過底部的螺栓固定在底座基礎(chǔ)上。對該試驗(yàn)?zāi)Ｐ瓦M(jìn)行有限元建模，基于模態(tài)分析得到固有頻率及振型，如圖2所示，其中，前三階為結(jié)構(gòu)整體振型，分別為縱向彎曲(21.969 Hz)、橫向彎曲(23.603 Hz)和扭轉(zhuǎn)(33.785 Hz)。

圖2 前三階有限元計(jì)算模態(tài)振型圖Fig.2 View of the first three modes of vibration obtained by FE model

2.2 模型振動(dòng)試驗(yàn)

為獲取實(shí)測模態(tài)信息，采用上海北智公司17110型壓電式加速度傳感器和比利時(shí)LMS SCADAS Mobile測試系統(tǒng)對平臺進(jìn)行了力錘敲擊試驗(yàn)，在平臺模型上共布置了10個(gè)測點(diǎn)，如圖3所示。

圖3 測點(diǎn)布置圖Fig.3 View of measurement points

為確保測試結(jié)果真實(shí)有效，每次敲擊均由同一名試驗(yàn)人員在確保模型不受任何外力干擾的情況下完成。測試數(shù)據(jù)利用LMS Test Lab軟件進(jìn)行處理，由多參考點(diǎn)最小二乘復(fù)頻域法得出前三階實(shí)測固有頻率，并考察頻率相關(guān)性Eω[16]

(8)

式中：ωt為實(shí)測頻率；ωa為有限元計(jì)算頻率，計(jì)算結(jié)果如表1所示。

表1 平臺模型計(jì)算模態(tài)頻率與實(shí)測模態(tài)頻率的比較

2.3 修正參數(shù)選擇及試驗(yàn)設(shè)計(jì)

海洋平臺可供選擇的修正對象包括平臺桿件的截面及材料屬性、邊界條件、甲板附加質(zhì)量等。由于表1中一階模態(tài)頻率實(shí)測值與計(jì)算值相差較大，將樁腿底部縱向邊界條件改為彈性支承，將彈性支承的剛度K設(shè)為修正參數(shù)，以修正邊界條件簡化帶來的影響，降低一階頻率的計(jì)算值。同時(shí)將材料彈性模量E、平臺外側(cè)樁腿壁厚δ1、中間樁腿壁厚δ2以及頂層甲板厚度t設(shè)為修正參數(shù)，各參數(shù)的取值范圍及在有限元模型中的初始值，如表2所示。

表2 修正參數(shù)取值范圍

試驗(yàn)設(shè)計(jì)采取拉丁超立方抽樣方法，該方法是一種多維分層抽樣方法，相較于傳統(tǒng)方法能夠使選取的樣本點(diǎn)布滿樣本空間，從而避免堆積點(diǎn)的問題[17]。共選取了27個(gè)樣本點(diǎn)，如表3所示。

表3 拉丁超立方抽樣設(shè)計(jì)

2.4 Kriging模型生成

通過有限元計(jì)算得出樣本點(diǎn)處的頻率值，生成了Kriging模型。將參數(shù)K固定為1×107N/m，其余參數(shù)固定為初始值，對Kriging模型進(jìn)行局部靈敏度分析，結(jié)果如圖4所示。結(jié)合分析結(jié)果，選取對修正過程有顯著影響的參數(shù)，繪制響應(yīng)曲面，如圖5所示。

圖4 局部靈敏度示意圖Fig.4 Local sensitivity diagram

由圖4可知，前三階頻率與參數(shù)t呈負(fù)相關(guān)關(guān)系，與其余4個(gè)參數(shù)呈正相關(guān)關(guān)系。參數(shù)K僅對一階頻率有顯著影響，參數(shù)δ1對一階頻率和二階頻率有顯著影響，參數(shù)t對前三階頻率均有顯著影響，參數(shù)E,δ2對前三階模態(tài)頻率的影響相對較弱。

響應(yīng)曲面圖能夠直觀反映模態(tài)頻率隨修正參數(shù)變化的趨勢。由圖5可知，計(jì)算模態(tài)頻率能夠在修正域內(nèi)達(dá)到目標(biāo)值。對Kriging模型精度進(jìn)行檢驗(yàn)，計(jì)算均方根誤差(Root Mean Square Error，RMSE)如式(9)所示，前三階頻率計(jì)算結(jié)果分別為3.467×10-9,7.986×10-9,7.611×10-9，均趨近于0，說明Kriging模型能夠反映修正參數(shù)與模態(tài)頻率的映射關(guān)系，可以用于替代有限元模型進(jìn)行修正。

(9)

圖5 前三階模態(tài)頻率響應(yīng)曲面圖Fig.5 Response diagram of the first three modal frequencies

2.5 基于Kriging模型的平臺模型修正

利用MOGA在Kriging模型中求解全局最優(yōu)，得到修正點(diǎn)和近似值，將修正點(diǎn)代入有限元模型中進(jìn)行驗(yàn)算，得到修正值，如表4所示。

表4 修正結(jié)果

由表4可知，基于Kriging模型的模型修正可以獲得顯著的修正效果，但一階頻率近似誤差相較于其余兩階存在較大差距，可能對最終修正結(jié)果產(chǎn)生一定影響，由此判斷修正過程仍有進(jìn)一步優(yōu)化的空間。

3 基于優(yōu)化Kriging模型的平臺模型修正

3.1 基于MOGA的局部加點(diǎn)優(yōu)化方法

復(fù)雜結(jié)構(gòu)中修正參數(shù)與目標(biāo)函數(shù)間的映射關(guān)系往往具有較強(qiáng)非線性特征，因此需要對代理模型進(jìn)行優(yōu)化處理以提高其擬合精度。在修正空間內(nèi)添加樣本點(diǎn)是一種直接有效的優(yōu)化方法，Kriging模型中常用的加點(diǎn)準(zhǔn)則包括最小化代理模型準(zhǔn)則、改善期望準(zhǔn)則、改善概率準(zhǔn)則、均方差準(zhǔn)則等。

模型修正問題僅關(guān)心最優(yōu)修正點(diǎn)相近區(qū)域的局部擬合精度。針對這一特點(diǎn)，提出一種基于MOGA的局部加點(diǎn)優(yōu)化方法，認(rèn)為修正過程中通過MOGA計(jì)算得到的Pareto最優(yōu)解集接近于最優(yōu)修正點(diǎn)，新增樣本點(diǎn)可從中選取。分為兩類情況：一類是修正點(diǎn)擬合效果較差且未出現(xiàn)符合期望的修正點(diǎn)，可以通過調(diào)整代理模型精度獲得更為精確的修正結(jié)果；另一類是修正點(diǎn)擬合精度較高，或出現(xiàn)了符合期望的修正點(diǎn)。對于第一類情況，優(yōu)先選取最大誤差點(diǎn)，同時(shí)適當(dāng)增加所選取樣本點(diǎn)的數(shù)量以加快收斂，如式(10)所示；對于第二類情況，則直接選擇修正效果最佳的點(diǎn)，如式(11)所示。

(10)

(11)

3.2 基于優(yōu)化Kriging模型的平臺模型修正

將基于MOGA的加點(diǎn)優(yōu)化方法引入到修正流程中，驗(yàn)證Pareto解集中排序靠前的4個(gè)解，從中選擇新增樣本點(diǎn)并更新Kriging模型重新進(jìn)行修正，循環(huán)7次，結(jié)果如表5所示。

同時(shí)定義平均修正誤差和平均擬合誤差分別如式(12)和式(13)所示，其變化如圖6所示。

(12)

(13)

圖6 修正和擬合誤差變化示意圖Fig.6 Modification and fitting error diagram

表5 基于MOGA加點(diǎn)優(yōu)化法的前7次循環(huán)修正結(jié)果

前兩次循環(huán)屬于第一類情況，分別選取了3個(gè)和2個(gè)新增樣本點(diǎn)，修正后平均修正誤差和平均擬合誤差分別降至0.257%，0.041%。第三、第四次循環(huán)屬于第二類情況，經(jīng)過優(yōu)化后近似誤差和修正誤差均有回升。第五、第六、第七次循環(huán)按第一類情況選取新增樣本點(diǎn)，最終平均修正誤差和平均誤差擬合降至0.271%,0.154%。從表5中可知，Kriging模型中的近似誤差主要集中在一階頻率，但在循環(huán)過程中，二階、三階頻率的修正同樣出現(xiàn)了波動(dòng)，循環(huán)過程中變化較大參數(shù)是δ2和t。第三次循環(huán)后，平均修正誤差達(dá)到了最低值0.238%，且修正后前三階計(jì)算頻率相關(guān)性均達(dá)到了理想水平，可將其視為最終修正結(jié)果。

4 結(jié) 論

通過試驗(yàn)與有限元模擬，基于Kriging模型修正方法對室內(nèi)導(dǎo)管架平臺數(shù)值模型進(jìn)行了修正。為提高Kriging模型的擬合精度，提出了一種基于MOGA的優(yōu)化方法，得出以下結(jié)論：

(1) 以拉丁超立方抽樣設(shè)計(jì)抽取樣本點(diǎn)所構(gòu)建的Kriging模型能夠有效反映出海洋平臺結(jié)構(gòu)參數(shù)與模態(tài)頻率間的映射關(guān)系，且分析效應(yīng)和計(jì)算精度高，可以應(yīng)用于海洋平臺的模型修正問題中。經(jīng)過修正后，前三階模態(tài)頻率相關(guān)性由-25.80%,-7.74%,-1.56%修正至2.43%,-0.30%,-1.57%，效果顯著。

(2) 代理模型的近似誤差對修正結(jié)果有一定的干擾，不僅會對出現(xiàn)誤差的目標(biāo)造成影響，還可能使其余目標(biāo)函數(shù)的修正出現(xiàn)偏差。提出的基于MOGA的加點(diǎn)優(yōu)化方法能夠?qū)riging模型進(jìn)行局部優(yōu)化處理，大大提高了擬合精度，提升其修正效果，進(jìn)而驗(yàn)證了所提方法的有效性，并可推廣到其它實(shí)際工程結(jié)構(gòu)的有限元模型修正中。