■河南省汝陽(yáng)縣第一高級(jí)中學(xué) 劉俊報(bào)

一、選擇題

1.在△ABC中,下列等式正確的是( )。

A.a：b=A：B

B.a：b=sinA：sinB

C.a：b=sinB：sinA

D.asinA=bsinB

2.在△ABC中,已知,則角A為( )。

A.30° B.60° C.120° D.150°

3.在△ABC中,內(nèi) 角A,B,C滿 足,則cos 2A=( )。

4.以下關(guān)于正弦定理或其變形的敘述錯(cuò)誤的是( )。

A.在 △ABC中,a：b：c=sinA：sinB：sinC

B.在 △ABC中,若 sin 2A=sin 2B,則a=b

C.在 △ABC中,若sinA＞sinB,則A＞B

D.在 △ABC中,

5.△ABC的內(nèi)角A、B、C的對(duì)邊分別為a、b、c,若A=,a=3,b=2,則sinB=( )。

6.在△ABC中,A=60°,b=1,其面積為,則等于( )。

7.在△ABC中,a、b、c分別是角A、B、C的對(duì)邊,若a=2bcosC,則△ABC的形狀是( )。

A.等腰三角形 B.鈍角三角形

C.直角三角形 D.銳角三角形

8.在△ABC中,角A、B、C所對(duì)的邊分別為a、b、c,若a=,b=2,sinB+cosB=,則角A的大小為( )。

A.60° B.30° C.150° D.45°

9.在△ABC中,C=60°,AC=,AB=,則A=( )。

A.15° B.45° C.75° D.105°

10.在△ABC中,B=60°,AD是∠BAC的平分線,且交BC于D,BD=,cos∠BAC=,則AD=( )。

11.在△ABC中,若bcosC+ccosB=asinA,則△ABC的形狀為( )。

A.銳角三角形 B.直角三角形

C.鈍角三角形 D.等腰三角形

12.△ABC的內(nèi)角A、B、C的對(duì)邊分別為a、b、c,根據(jù)下列條件解三角形,其中有兩解的是( )。

A.a=2,b=3,A=30°

B.b=6,c=4,A=120°

C.a=,b=6,A=60°

D.a=3,b=6,A=30°

13.已知△ABC的內(nèi)角A、B、C的對(duì)邊分別為a、b、c,AD為角A的角平分線,且交BC于D,B=,AD=,BD=2,則b=( )。

14.設(shè)△ABC的內(nèi)角A、B、C所對(duì)的邊分別是a、b、c,且b=3,c=1,A=2B,則a的值為( )。

15.在△ABC中,D是BC邊上一點(diǎn),∠BAD=∠CAD=60°,BD=2CD=4,則tan∠ABC=( )。

16.在△ABC中,B=,M為AC邊上的一點(diǎn),且BM=2,若BM為∠ABC的角平分線,則的取值范圍為( )。

17.在△ABC中,角A、B、C所對(duì)的邊分別為a、b、c,若△ABC為銳角三角形,且滿足b2-a2=ac,則的取值范圍是( )。

18.在△ABC中,角A、B、C所對(duì)的邊分別 為a、b、c,若a2tanB=b2tanA,則△ABC的形狀為( )。

A.等腰三角形

B.直角三角形

C.等腰直角三角形

D.等腰三角形或直角三角形

19.在△ABC中,角A、B、C的對(duì)邊分別為a、b、c,若3bcosC=c(1-3cosB),則sinC：sinA=( )。

20.如 圖 1,在△ABC中,已知A：B=1∶2,CD為∠BCA的平分線,且S△ACD∶S△BCD=3∶2,則cosA等于( )。

圖1

21.△ABC中,若,則△ABC中最長(zhǎng)的邊是( )。

A.aB.bC.cD.b或c

22.在銳角△ABC中,已知a、b、c分別是角A、B、C的對(duì)邊,且,a=4,則△ABC面積的最大值為( )。

23.已知△ABC的內(nèi)角A、B、C的對(duì)邊分別是a、b、c,且(a2+b2-c2)·(acosB+bcosA)=abc。若△ABC的外接圓半徑為,則△ABC的周長(zhǎng)的取值范圍為( )。

A.(2,4] B.(4,6]

C.(4,6) D.(2,6]

24.在△ABC中,角A、B、C所對(duì)的邊分別為a、b、c,S表示△ABC的面積。若ccosB+bcosC=asinA,S=(b2+a2-c2),則B=( )。

A.90° B.60° C.45° D.30°

25.若△ABC為鈍角三角形,其中C為鈍角,并且A+C=的取值范圍是( )。

A.(1,2) B.(2,+∞)

C.(3,+∞) D.[3,+∞)

26.在△ABC中,C=,BC=4,點(diǎn)D在邊AC上,AD=DB,DE⊥AB,E為垂足。若DE=,則cosA=( )。

27.在△ABC中,角Α、Β、C所對(duì)的邊分別為a、b、c,若,且b=,則下列關(guān)系一定不成立的是( )。

A.a=cB.b=c

C.2a=cD.a2+b2=c2

28.在△ABC中,已知a=x,b=2,B=60°,如果△ABC有兩組解,則x的取值范圍是( )。

29.在△ABC中,A=45°,a=λ,b=,那么滿足條件的△ABC( )。

A.無(wú)解 B.有一個(gè)解

C.有兩個(gè)解 D.不能確定

30.在△ABC中,a、b、c分別為角A、B、C的對(duì)邊,若△ABC的面積為S,且S=(a+b)2-c2,則。

31.在△ABC中,角A、B、C所對(duì)的邊分別 是a、b、c,若cosA=,a=3,且△ABC的面積為,則b+c=( )。

32.平面四邊形ABCD中,∠ABC=150°,AB=2BC,AC=13,BD⊥AB,CD=3,則四邊形ABCD的面積為( )。

33.在△ABC中,角A、B、C的對(duì)邊分別為a、b、c,已知,且b2+c2-a2=4,則△ABC的面積為( )。

34.在某個(gè)位置測(cè)得某山峰仰角為θ,對(duì)著山峰在平行地面上前進(jìn)600 m 后測(cè)得仰角為原來(lái)的2 倍,繼續(xù)在平行地面上前進(jìn)后測(cè)得仰角為原來(lái)的4 倍,則該山峰的高度為( )。

A.200 m B.300 m

C.400 m D.100 m

35.若△ABC的面積為(a2+c2-b2),且C為鈍角,則B的度數(shù)以及的取值范圍為( )。

36.已知△ABC的三邊長(zhǎng)是三個(gè)連續(xù)的自然數(shù),且最大的內(nèi)角是最小內(nèi)角的2倍,則最小角的余弦值為( )。

37.某炮兵陣地位于A點(diǎn),兩個(gè)觀察所分別位于C,D兩點(diǎn),已知△ACD為等邊三角形,且DC=。當(dāng)目標(biāo)出現(xiàn)在B點(diǎn)(A,B兩點(diǎn)位于CD兩側(cè))時(shí),測(cè)得∠CDB=45°,∠BCD=75°,則炮兵陣地與目標(biāo)的距離約為( )。

A.1.1 km B.2.2 km

C.2.9 km D.3.5 km

38.某小區(qū)打算將如圖2的一直三角形ABC區(qū)域進(jìn)行改建,在三邊上各選一點(diǎn)連成等邊三角形DEF,在其內(nèi)建造文化景觀。已知AB=20 m,AC=10 m,則△DEF區(qū)域內(nèi)面積(單位：m2)的最小值為( )。

圖2

39.趙爽是我國(guó)古代數(shù)學(xué)家、天文學(xué)家,大約在公元222年,趙爽為《周髀算經(jīng)》一書作序時(shí),介紹了“勾股圓方圖”,亦稱“趙爽弦圖”(以弦為邊長(zhǎng)得到的正方形是由4個(gè)全等的直角三角形再加上中間的一個(gè)小正方形組成的)。類比“趙爽弦圖”,可類似地構(gòu)造如圖3所示的圖形,它是由3 個(gè)全等的三角形與中間的一個(gè)小等邊三角形拼成的一個(gè)大等邊三角形,設(shè)DF=2AF,則( )。

圖3

二、填空題

40.在△ABC中,角A、B、C所對(duì)的邊分別為a、b、c,a=2,B=45°,若三角形有兩解,則b的取值范圍是____。

41.△ABC的三邊長(zhǎng)是三個(gè)連續(xù)的自然數(shù),且最大角是最小角的2倍,則此三角形的面積為_____。

42.已知△ABC的邊a、b、c的對(duì)角分別為A、B、C,若sinA∶sinB∶sinC=1∶∶1,則B=____。

43.若△ABC的周長(zhǎng)等于20,面積是,A=60°,則BC邊的長(zhǎng)是_____。

44.△ABC的內(nèi)角A、B、C的對(duì)邊分別為a、b、c。若b=6,a=2c,B=,則△ABC的面積為_____。

45.已知△ABC的邊a、b、c的對(duì)角分別為A、B、C,若a＞b且,則角A的大小為_____。

46.在△ABC中,內(nèi)角A、B、C的對(duì)邊分別為a、b、c,若,則B=____。

47.在△ABC中,邊a、b、c所對(duì)的角分別為A、B、C,若a2=b2+c2-3bc,sinC=2cosB,則A=_____,C=____。

48.在△ABC中,a、b、c分別是角A、B、C的對(duì)邊,且,則AC邊上的高的最大值為____。

49.在銳角三角形ABC中,a、b、c分別為角A、B、C所對(duì)的邊,且,,且△ABC的面積為,a+b的值為____。

50.在銳角△ABC中,角A、B、C的對(duì)邊分別為a、b、c。且則a+c的取值范圍為____。

51.鈍角三角形的三邊為a,a+1,a+2,其最大角不超過(guò)120°,則a的取值范圍是____。

52.在△ABC中,已知BC=8,cosC=,AB邊上的中線CD=,則sinB的值為____。

53.在△ABC中,角A、B、C的對(duì)邊分別為a、b、c,BC邊上的高為的最大值是_____。

54.在△ABC中,角A、B、C的對(duì)邊分別為a、b、c,其中最大的角等于另外兩個(gè)角的和,當(dāng)最長(zhǎng)邊c=1時(shí),△ABC周長(zhǎng)的最大值為____。

55.如圖4,四邊形ABCD中,AB=4,BC=5,CD=3,∠ABC=90°,∠BCD=120°,則AD的長(zhǎng)為____。

圖4

56.已知在△ABC中,∠ABC=90°,AB=3,BC=2,P為△ABC內(nèi)一點(diǎn),∠BPC=135°,則AP的最小值為_____。

57.如圖5,在平面四邊形ABCD中,A=B=C=75°,BC=2,則AB的取值范圍是_____。

58.△ABC的內(nèi)角A、B、C所對(duì)的邊分別為a、b、c,則下列命題正確的是_____。

圖5

①若sinAsinB=2sin2C,則；

②若a+b＞2c,則；

③若a4+b4=c4,則△ABC是銳角三角形；

④若(a+b)c＜2ab,則。

59.下列是有關(guān)△ABC的幾個(gè)命題：

①若tanA+tanB+tanC＞0,則△ABC是銳角三角形；②若acosA=bcosB,則△ABC是等腰三角形；③若acosB+bcosA=b,則△ABC是等腰三角形；④若cosA=sinB,則△ABC是直角三角形。其中所有正確命題的序號(hào)是_____。

三、解答題

60.在△ABC中,a、b、c分別是角A、B、C所對(duì)的邊,且2csinB=3atanA。

(2)如果a=1,且角A最大時(shí),試求△ABC的面積。

61.在△ABC中,角A、B、C的對(duì)邊分別為a、b、c,且2acosB=2c+b。

(1)求A的大??；

(2)若△ABC的面積為,且其外接圓的半徑為,求△ABC的周長(zhǎng)。

62.已知△ABC的三個(gè)內(nèi)角A、B、C所對(duì)應(yīng)的邊分別為a、b、c,且cos2A+cos2Ccos2B=1-sinAsinC。

(1)求B的大?。?/p>

(2)若b=2,求△ABC面積的最大值。

63.如圖6,在△ABC中,D是邊BC上一點(diǎn),AB=AC,BD=1,sin ∠CAD=3sin ∠BAD。

圖6

(1)求DC的長(zhǎng)；

(2)若AD=2,求△ABC的面積。

64.△ABC的內(nèi)角A、B、C的對(duì)邊分別為a、b、c,設(shè)(sinB-sinC)2=sin2AsinBsinC。

(1)求A的大??；

65.在△ABC中,A、B、C的對(duì)邊分別a、b、c,A=60°,cosB=。

(1)若D是BC上 的 點(diǎn),AD平分∠BAC,求的值；

(2)若ccosB+bcosC=2,求△ABC的面積。

66.在△ABC中,角A、B、C的對(duì)邊分別是a、b、c,且

(1)求角B的值；

(2)若b=且b≤a,求的取值范圍。

67.△ABC的內(nèi)角A、B、C的對(duì)邊分別為a、b、c,并且

(1)求角B的值；

(2)若△ABC為銳角三角形,且c=1,求△ABC面積的取值范圍。