■河南省信陽(yáng)市二高 李吉輝

用放縮法證明數(shù)列不等式一直是高考及高考備考的一個(gè)難點(diǎn)和熱點(diǎn),也是同學(xué)們不易掌握,感到難以駕馭的一塊知識(shí)。主要難在：

(1)放縮的方向在哪里?

(2)放縮的尺度在哪里?

以下談?wù)勎业男牡谩?/p>

一、總體思想

用放縮法證明數(shù)列不等式,總的來(lái)說(shuō)就是已知或可以求出數(shù)列的通項(xiàng)公式an,要證明其前n項(xiàng)和Sn＜k(常數(shù)),但是Sn無(wú)法按常用方法求出,這時(shí)就需要用放縮法把a(bǔ)n放縮成可以求和的一個(gè)新數(shù)列。

二、常用的放縮方法

1.根式an=的放縮。

3.分式指數(shù)an=(a＞1,k＞0,an-k≠0)的放縮。

4.分式指數(shù)an=(a＞1,k＞0)的放縮。

5.分式多項(xiàng)式an=的放縮。

三、類(lèi)型歸納

1.等比型。

例1已知數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式an=,前n項(xiàng)和為Sn,證明：Sn＜1。

解析：此題簡(jiǎn)單,直接用求和公式Sn=,即可。

2.可以放縮為等比型。

例2已知數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式an=,前n項(xiàng)和為Sn,證明：Sn＜1。

解析：此題要求的精確度不強(qiáng),可以直接放縮,再用求和公式Sn=,即可。由題中已知條件可得為等差數(shù)列。

3.多項(xiàng)式的裂項(xiàng)。

例3已知數(shù)列{an}滿(mǎn)足an≠0,a1=,an-1-an=2an·an-1(n≥2,n∈N)。

解析：(1)證明數(shù)列為等差數(shù)列只需按數(shù)列定義證明,即證：當(dāng)n≥2時(shí),為常數(shù)即可。

例4(2014 年廣東高考卷)設(shè)各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,且Sn滿(mǎn)足-(n2+n-3)Sn-3(n2+n)=0,n∈N*。(1)求a1的值；(2)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；(3)證明：對(duì)一切正整數(shù)n,有

解析：(1)令n=1,代入式子得a1=2或-3(舍去)。

當(dāng)n≥2時(shí),an=Sn-Sn-1=n2+n-(n-1)2-(n-1)=2n；

當(dāng)n=1時(shí),a1=2也滿(mǎn)足上式。

所以an=2n,n∈N*。

(3)當(dāng)k∈N*時(shí),4k2+2k-(3k2+3k)=k2-k=k(k-1)≥0,故4k2+2k≥3k2+3k。

4.指數(shù)的放縮。

例5已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,且Sn=2an-2(n∈N*)。(1)求{an}的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)bn+1=2bn-2n+1,b1=8,Tn是數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和,求正整數(shù)k,使得對(duì)任意n∈N*均有Tk≥Tn恒成立；(3)設(shè)cn=,Rn是數(shù)列{cn}的前n項(xiàng)和,若對(duì)任意n∈N*均有Rn＜λ恒成立,求λ的最小值。

解析：(1)由Sn=2an-2,得Sn+1=2an+1-2。兩式相減,整理得an+1=2an+1-2an,an+1=2an,數(shù)列{an}為等比數(shù)列,公比q=2。由S1=2a1-2,得a1=2a1-2,a1=2。故an=2n。

整理得bn=2n(5-n)。

方法一 當(dāng)n≤5 時(shí),bn=2n(5-n)≥0,因此,T1＜T2＜T3＜T4=T5＞T6＞…,對(duì)任意n∈N*均有T4=T5≥Tn,故k=4或5。

因?yàn)閷?duì)任意n∈N*均有Rn＜成立,所以λ≥,λ的最小值為。

5.需要先準(zhǔn)確運(yùn)算幾步,再放縮。

當(dāng)我們放縮的方法正確,但是無(wú)法滿(mǎn)足要求時(shí),有可能是放縮的項(xiàng)太多,需要先準(zhǔn)確運(yùn)算幾步,再放縮。

例6已知數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式an=,前n項(xiàng) 和 為Sn。(1)證明：Sn＜1；(2)證明：Sn＜。

解析：(1)第一問(wèn)比較簡(jiǎn)單,要求的精確度不強(qiáng),可以直接放縮,直接用等比數(shù)列求和公式＜1,即可。

(2)按照第一問(wèn)思路時(shí),結(jié)果達(dá)不到問(wèn)題的要求,怎么辦? 我們先準(zhǔn)確運(yùn)算幾步看一看：

原式成立。