齊海明 張安清

（1.海軍91648部隊(duì) 葫蘆島 125004）（2.海軍大連艦艇學(xué)院信息系統(tǒng)系 大連 116018）

1 引言

目前，基于PHD濾波的多目標(biāo)跟蹤方法研究已成為目標(biāo)跟蹤領(lǐng)域的熱點(diǎn)。PHD濾波［1]可以更好地反映出目標(biāo)跟蹤問題的本質(zhì)，以集合形式描述多目標(biāo)跟蹤問題，同時(shí)可以描述跟蹤過程中目標(biāo)的新生、消失和衍生等情況，即可完成目標(biāo)的狀態(tài)估計(jì)，也可以實(shí)現(xiàn)目標(biāo)的數(shù)目估計(jì)，避免了數(shù)據(jù)關(guān)聯(lián)的難題，受到國內(nèi)外眾多學(xué)者的關(guān)注。

PHD 濾波算法［2～5]是一種基于有限集統(tǒng)計(jì)學(xué)（Finite Set Statistics，F(xiàn)ISST）的次最優(yōu)多目標(biāo)Bayes濾波器，但該方法在進(jìn)行迭代運(yùn)算時(shí)存在多重積分，仍需要采取數(shù)值計(jì)算的方法來實(shí)現(xiàn)近似。Vo基于線性高斯假設(shè)條件，利用高斯混合技術(shù)提出了高斯混合PHD（GM-PHD）濾波器［6]，同時(shí)在理論上證明該濾波器存在閉合解。GM-PHD濾波器計(jì)算量較小，并且狀態(tài)估計(jì)峰值提取相對容易，工程易實(shí)現(xiàn)。而現(xiàn)實(shí)情況中目標(biāo)跟蹤問題很多是非線性的，因此，如何實(shí)現(xiàn)GM-PHD濾波器的非線性目標(biāo)跟蹤問題一直是研究的重點(diǎn)和難點(diǎn)。本文基于GM-PHD濾波算法在進(jìn)行預(yù)測和更新過程中，是基于Kalman濾波原理，提出將傳統(tǒng)非線性處理方法UKF與GM-PHD濾波算法相結(jié)合，提出UKF-GM-PHD算法，實(shí)現(xiàn)GM-PHD算法在非線性系統(tǒng)的應(yīng)用。

2 PHD濾波器

PHD濾波器［7]實(shí)際是Bayes濾波器在隨機(jī)有限集理論的推廣，與傳統(tǒng)Bayes濾波一樣，分為預(yù)測步和更新步。

1）預(yù)測方程：

其中，Dk|k-1(x)代表多目標(biāo)狀態(tài)后驗(yàn)密度pk|k-1(Xk|Z1:k-1)的PHD函數(shù)，x和x′分別是k時(shí)刻和k-1時(shí)刻單目標(biāo)狀態(tài)。

2）更新方程：

Lz(·)代表單目標(biāo)量測似然函數(shù)，κk(·)為雜波量測的PHD。

與Bayes濾波算法遞推公式一樣，目標(biāo)數(shù)目估計(jì)為［8]

Dk|k(x)的N?k|k個(gè)峰值對應(yīng)的狀態(tài)x即為目標(biāo)集的狀態(tài)估計(jì)x?。由此可知，PHD濾波算法與傳統(tǒng)目標(biāo)跟蹤算法不同，避免了復(fù)雜的數(shù)據(jù)關(guān)聯(lián)過程，可同時(shí)實(shí)現(xiàn)對多個(gè)目標(biāo)狀態(tài)和目標(biāo)數(shù)目的雙重估計(jì)。

3 GM-PHD濾波器

GM-PHD濾波器為了得到閉合解，除了PHD濾波器的假設(shè)條件外，還需要以下假設(shè)［9～10]：

1）每個(gè)目標(biāo)的Markov狀態(tài)轉(zhuǎn)移密度函數(shù)和目標(biāo)量測似然函數(shù)均是線性高斯的；

2）目標(biāo)存活概率PD，k()x和目標(biāo)檢測概率相互獨(dú)立；

3）新生目標(biāo)隨機(jī)集Γk(·)PHD和衍生目標(biāo)隨機(jī)集Bk(·)PHD均是高斯混合的。

GM-PHD濾波器為了得到閉合解，在進(jìn)行高斯分量迭代時(shí)是基于Kalman濾波原理，下面給出GM-PHD濾波算法的濾波流程：

預(yù)測過程：

k-1時(shí)刻的后驗(yàn)分布PHD高斯混合形式為

在文獻(xiàn)［7]中Mahler已推導(dǎo)證明GM-PHD預(yù)測公式是三部分求和形式，公式表示為

其中，DS，k|k-1(x)，bk|k-1和γk(x)分別代表存活目標(biāo)預(yù)測，衍生目標(biāo)預(yù)測和新生目標(biāo)預(yù)測PHD。

那么，k時(shí)刻的預(yù)測PHDDk|k-1(x)的高斯混合形式為

更新過程：

其中，第一部分是對漏檢目標(biāo)進(jìn)行PHD更新；第二部分是對已檢測目標(biāo)進(jìn)行PHD更新。

4 UKF-GM-PHD濾波器

在非線性目標(biāo)跟蹤系統(tǒng)中，系統(tǒng)的離線狀態(tài)方程和量測方程為［11]

其中，fk和gk是非線性系統(tǒng)函數(shù)，uk為輸入控制矩陣，vk-1是服從均值為零，協(xié)方差陣為Qk的正態(tài)分布過程噪聲，wk是服從均值為零，協(xié)方差陣為Rk的正態(tài)分布量測噪聲，且vk-1和wk相互獨(dú)立。

4.1 UKF基本原理

UKF［12]是以Unscented變換（U變換）為基礎(chǔ)，采用Kalman濾波原理，利用采樣粒子逼近非線性函數(shù)。

U變換的原理：設(shè)x和y均為n維隨機(jī)變量，滿足非線性關(guān)系y=f(x)，xˉ、yˉ和Px、Py分別是x和y的均值和協(xié)方差。選取一組采樣點(diǎn)，確保采樣點(diǎn)的均值與協(xié)方差不變，得到N個(gè)附帶權(quán)值wi的sigma點(diǎn)χi，利用非線性函數(shù)關(guān)系獲得每個(gè)采樣sigma點(diǎn)對應(yīng)的yˉ和Py。下面給出UKF的具體過程：

首先選取 2n+1個(gè)帶有權(quán)值wi，i=0，1，…，2n的采樣sigma點(diǎn)χi，根據(jù)非線性函數(shù)y=f(x)，得到對應(yīng)2n+1個(gè)yi，即：

則yi對應(yīng)的均值yˉ、協(xié)方差Py和互相關(guān)陣Pxy為

利用權(quán)值為wi的采樣點(diǎn)χi對系統(tǒng)方程進(jìn)行近似，將U變換原理用于非線性系統(tǒng)模型中，其中wi和采樣點(diǎn)χi取值分別為

其中，κ為調(diào)整尺度參數(shù)，用于調(diào)整采樣點(diǎn)與xˉ的距離，同時(shí)n+κ≠0，一般令為均方根矩陣(n+κ)Px的第i行。

由式（11）可得到狀態(tài)預(yù)測值xk-1|k-1和協(xié)方差陣Pk|k-1，然后根據(jù)式（10）和（9），可得到量測值zk|k-1，新息協(xié)方差矩陣Pzz、互相關(guān)矩陣Pxz、狀態(tài)估計(jì)值xk|k和協(xié)方差矩陣Pk|k。UKF濾波的遞推過程為

4.2 UKF-GM-PHD濾波器

下面給出UKF-GM-PHD濾波器的預(yù)測和更新方程。

1）UKF-GM-PHD預(yù)測方程

假定k-1時(shí)刻，多目標(biāo)PHD函數(shù)為

選取2n+1個(gè)加權(quán)sigma采樣點(diǎn){χl，wl} ，l=0，1，…，2n其選取形式與式（11）相同。

通過UKF進(jìn)行線性化得到目標(biāo)轉(zhuǎn)移函數(shù)fk(·)的特征參數(shù)為

根據(jù)GM-PHD預(yù)測方程，得到UKF-GM-PHD算法的預(yù)測方程為

由此可得到UKF-GM-PHD濾波器的預(yù)測方程GM形式為

2）UKF-GM-PHD更新方程

通過U變換得到非線性量測方程gk()·的預(yù)測為

根據(jù)GM-PHD更新方程，可得到UKF-GM-PHD濾波器的更新方程為

其中：

5 仿真分析

為更好驗(yàn)證提出的UKF-GM-PHD算法的濾波精度，將EKF-GM-PHD濾波算法與提出算法進(jìn)行對比。

5.1 仿真參數(shù)設(shè)定

監(jiān)控時(shí)間40s，采樣間隔時(shí)間T=1s。3個(gè)目標(biāo)的初始狀態(tài)分量x0，P0，w0分別為

表1是3個(gè)目標(biāo)的出現(xiàn)時(shí)刻、存活時(shí)間、消失時(shí)刻，以及目標(biāo)做CV、CT和CA運(yùn)動(dòng)模型時(shí)刻表。

表1 3個(gè)目標(biāo)的運(yùn)動(dòng)模型時(shí)刻表

5.2 仿真結(jié)果分析

圖1是目標(biāo)在非線性系統(tǒng)的真實(shí)軌跡和量測圖。圖2為GM-PHD算法的位置估計(jì)圖。圖3為EKF-GM-PHD算法的位置估計(jì)圖。圖4為UKF-GM-PHD算法的位置估計(jì)圖。從三種算法的位置估計(jì)圖可以明顯看出，GM-PHD濾波算法在非線性系統(tǒng)中已失效，而其他兩種算法可以實(shí)現(xiàn)較好的目標(biāo)跟蹤，驗(yàn)證了兩種非線性處理方法在GM-PHD濾波算法上應(yīng)用是有效的。

圖1 目標(biāo)的真實(shí)航跡和量測圖

圖2GM-PHD位置估計(jì)

圖5和圖6分別是三種算法在目標(biāo)數(shù)目估計(jì)和OSPA距離的對比圖。在圖5中可以看到，在40s的監(jiān)控時(shí)間內(nèi)，GM-PHD、EKF-GM-PHD算法和UKF-GM-PHD算法丟失目標(biāo)次數(shù)分別是14次、5次、1次。因此，EKF-GM-PHD算法和UKF-GM-PHD算法在監(jiān)控時(shí)間段內(nèi)完成了較好的跟蹤濾波，但后者目標(biāo)丟失率更低。從圖5可以明顯看出，在OSPA距離誤差方面，EKF-GM-PHD算法和UKF-GM-PHD算法較GM-PHD算法很大程度上減小了誤差，同時(shí)UKF-GM-PHD算法的誤差比EKF-GM-PHD算法的誤差小，濾波效果更好。

圖3EKF-GM-PHD位置估計(jì)

圖4UKF-GM-PHD位置估計(jì)

圖5 目標(biāo)數(shù)目估計(jì)

圖6 OSPA距離

表2為三種算法在運(yùn)行時(shí)間、目標(biāo)丟失率和OSPA距離均值三方面的對比數(shù)據(jù)。表3為三種算法100次Monte Carlo仿真實(shí)驗(yàn)，在算法運(yùn)行時(shí)間、目標(biāo)丟失率和OSPA距離均值三方面的對比數(shù)據(jù)。

表2 三種算法數(shù)據(jù)對比

表3 100次Monte Carlo實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)對比

從表2和表3數(shù)據(jù)對比來看，EKF-GM-PHD算法和UKF-GM-PHD算法在運(yùn)行時(shí)間上相差不大，與GM-PHD算法相比，算法運(yùn)行時(shí)間有了一定的增加，但在目標(biāo)丟失率和OSPA距離誤差上，都有了顯著的提高。UKF-GM-PHD算法相對EKF-GM-PHD算法，算法運(yùn)行時(shí)間相差并不大，而目標(biāo)丟失率相對較低，同時(shí)OSPA距離誤差也相對較小，濾波效果更好。

6 結(jié)語

本文開展基于GM-PHD濾波器在非線性目標(biāo)跟蹤系統(tǒng)中的方法研究，基于GM-PHD濾波算法在進(jìn)行預(yù)測和更新過程中是基于Kalman濾波原理，將傳統(tǒng)非線性處理方法UKF與GM-PHD濾波算法相結(jié)合，提出了UKF-GM-PHD濾波算法，通過驗(yàn)證提出算法的有效性，仿真多機(jī)動(dòng)目標(biāo)運(yùn)動(dòng)情形，將提出算法與EKF-GM-PHD濾波算法進(jìn)行分析對比，驗(yàn)證了提出算法具有更高的濾波精度。