許曉明

（南京理工大學(xué) 南京 210094）

1 引言

當(dāng)前，在遙感數(shù)據(jù)的發(fā)現(xiàn)方面體現(xiàn)出兩個主流的趨勢：一是遙感數(shù)據(jù)發(fā)展對高數(shù)據(jù)率的需求；二是遙感探測范圍不斷擴大。而隨著當(dāng)前傳感器的多樣化，以及遙感數(shù)據(jù)量的增加，要獲取更為準(zhǔn)確的遙感圖像，必須要提高和改善遙感圖像采集系統(tǒng)的性能。但當(dāng)前的遙感圖像采集大部分是采用Shannon-Nyquist采樣技術(shù)。這種采樣技術(shù)要求采樣的頻率需要達(dá)到信號頻譜最高頻率的兩倍以上，這樣才能保證重構(gòu)信號不失真。這種采樣存在一定的缺陷，如采樣受到速率的限制，二是壓縮編碼需要舍棄大量的冗余數(shù)據(jù)，由此造成遙感圖像資源的浪費［1～5]。對此，為解決這個問題，人們提出將壓縮感知技術(shù)應(yīng)用到遙感圖像的處理中，以提高圖像傳輸?shù)乃俾省６芯空J(rèn)為，壓縮感知過程中，信號的重構(gòu)是線性規(guī)劃問題。由于壓縮采樣，使得采樣數(shù)遠(yuǎn)小于原始信號的長度，由此使得該線性規(guī)劃問題為一個方程數(shù)少于未知數(shù)，從而使其存在無數(shù)個解。為解決這個問題，人們提出采用觀測矩陣進(jìn)行求解。周春佳、孫權(quán)森等研究發(fā)現(xiàn)，采用傳統(tǒng)的觀測矩陣，如高斯矩陣會增加壓縮感知的時間，同時由于觀測矩陣中的元素是浮點數(shù)，所以在存儲方面也存在一定的限制。并且由于計算量大，給硬件實現(xiàn)帶來極大的挑戰(zhàn)。另外，觀測矩陣的維數(shù)較高，實際傳輸中會有很大損耗。傳統(tǒng)的高斯隨機矩陣、隨機稀疏矩陣等的構(gòu)造都不簡單，即在矩陣高度稀疏且元素二值化方面較為復(fù)雜。因此，結(jié)合遙感圖像采集處理的需求，本文提出一種LDPC的觀測矩陣方法。

2 LDPC觀測矩陣構(gòu)造

2.1 LDPC編碼

LDPC碼為一種具有系數(shù)校驗矩陣的線性分組糾錯碼，也可用零空間的稀疏矩陣形式表示。在校驗矩陣中，通常只有少數(shù)的元素用“1”表示，其中大部分的元素是用“0”表示的一個稀疏矩陣。而LDPC碼自身的低密度，也源于校驗矩陣自身的稀疏性。在LDPC碼中，可以分為兩類［6]：一類是不規(guī)則的LDPC碼，其校驗矩陣中的各行和各列的零元素個數(shù)不同；另外的一類則是規(guī)則的LDPC碼，即在各列和各行中，零元素的個數(shù)相同。式（1）為一種規(guī)則的LDPC碼所構(gòu)造的校驗矩陣（10，2，4）。

2.2 LDPC校驗矩陣構(gòu)造

通過式（1）看出，通過LDPC構(gòu)建的校驗矩陣是一個由“0”和“1”組成的一個稀疏二值矩陣。在該矩陣中，各列之間盡可能的線性無關(guān)，因此在壓縮感知的過程中可以作為觀測矩陣來應(yīng)用。而在觀測矩陣的構(gòu)造過程中，要求盡可能避免出現(xiàn)長度為4的短環(huán)。另外，環(huán)長度越長，構(gòu)造的校驗矩陣則性能越好［7]。為構(gòu)建校驗矩陣，仁恩提出了隨機構(gòu)造法和結(jié)構(gòu)化構(gòu)造法。在本文中，則采用隨機構(gòu)造法中的Mackay法對校驗矩陣進(jìn)行構(gòu)建［8]。以列重3，碼率為1/2為例，其具體的構(gòu)造如圖1所示。

圖1 Mackay1A構(gòu)造法示意圖

根據(jù)圖1的構(gòu)造可以看出，采用y1A構(gòu)造法后，得到的矩陣行重為6。

2.3 LDPC觀測矩陣的構(gòu)造

結(jié)合上述理論的啟發(fā)，本文希望借助LDPC校驗矩陣構(gòu)建一個簡單且效果優(yōu)的觀測矩陣。對此，采用Mackay 1A構(gòu)造法中的左半邊利用Gallager構(gòu)造法，從而將兩者全部級聯(lián)在一個矩陣當(dāng)中。具體構(gòu)造步驟為

輸入：矩陣行數(shù)、列數(shù)、列重、行重，即M、N、γ和、ρ

1）構(gòu)造子矩陣H1，設(shè)定其行數(shù)和列數(shù)分別為：M／γ、N-M；H1的第i行的“1”直接從 ( )i-1K+1開始到第iK開始排列，其中的K=r×M／N；

2）將子矩陣H1中的各列順序進(jìn)行隨機置換，進(jìn)而生成（γ一1）個新的子矩陣，用Hi表示，

3）將γ個子矩陣按照矩陣列的方向，合成一個新的大小的矩陣，用Φ1表示；

4）構(gòu)造大小為M×M的隨機二值矩陣Φ2，使其列重大小為γ，其行重盡可能的相等；

5）將矩陣Φ1和矩陣Φ2進(jìn)行級聯(lián)，繼而得到M×N的校驗矩陣Φ。

通過上述的構(gòu)造，充分結(jié)合了傳統(tǒng)的Mackay矩陣和Gallager矩陣構(gòu)造的優(yōu)點，提高了重構(gòu)時間。

3 LDPC觀測矩陣改進(jìn)

在對上述的構(gòu)建工程中，我們發(fā)現(xiàn)LDPC編碼構(gòu)造的觀測矩陣，與傳統(tǒng)的隨機稀疏二值觀測矩陣相比，在計算的復(fù)雜度上都沒有明顯的優(yōu)勢。因此，要減少計算的復(fù)雜度，簡化觀測矩陣的構(gòu)造，嘗試結(jié)合對角塊矩陣。對角塊矩陣與其他觀測矩陣相比，存在明顯的優(yōu)勢，就是只需在對角線的位置放置少量的矩陣快［9]。由此，這樣可以極大地減少圖像重構(gòu)過程中的計算量，提高計算的速度。同時，為提高后期圖像采集過程中硬件的實現(xiàn)效果，去掉隨機置換過程。具體構(gòu)造為假設(shè)傳統(tǒng)置亂對角塊矩陣存在L個的對角塊矩陣，用A0=diag(a1，a2， ...，ak1) ，B0=diag(b1，b2， ...，bk1) ，…由此，通過L種不同的置亂方式，可以生成觀測矩陣Φ。在該觀測矩陣中，LDPC矩陣塊為該矩陣的一個子矩陣，并且其每個對角線的位置的子矩陣都是相同的。具體如圖2所示。

由此，通過這種方式大大減低了構(gòu)造的難度，也提高了計算的效率。而在圖2中也可以看出，其中的每個LDPC對角塊是相互獨立的，且LDPC塊的個數(shù)為k=N/M。

4 仿真實驗對比

4.1 圖像質(zhì)量評價指標(biāo)

為驗證對角塊觀測矩陣與其他觀測矩陣的優(yōu)勢，本文參考相關(guān)的文獻(xiàn)，以PSNR和SSIM作為主要的參考指標(biāo)。

4.1.1 峰值信噪比（PSNR）

PSNR為一種用于圖像質(zhì)量評價的客觀測量方法，其主要是通過對原圖像和經(jīng)過處理后圖像的均方差相對于（2n-1）2的對數(shù)值，以此來衡量經(jīng)過處理后的圖像的質(zhì)量。該值越大，說明原始圖和經(jīng)處理后的圖之間越相似。

4.1.2 結(jié)構(gòu)相似度（SSIM）

研究認(rèn)為自然圖像本身是高度結(jié)構(gòu)化的，并且其像素之間存在很強的依賴性，并且在圖像中包含了大量的視覺景象信息。因此，人們提出基于圖像結(jié)構(gòu)的相似度。其具體的計算為

其中，SSIM∈（0，1），取值越大，說明相似度越高，重構(gòu)效果越好。

4.2 實驗方案

為驗證上述的改進(jìn)效果，采用了兩組實驗對圖像效果進(jìn)行評比。

實驗1：

選擇經(jīng)典灰度測試圖像Lena進(jìn)行重構(gòu)，圖像分辨率為512×512像素。在對圖像進(jìn)行重構(gòu)過程中，首先對圖像進(jìn)行分塊，然后通過不同的觀測矩陣對圖像進(jìn)行采樣，最后對圖像進(jìn)行重構(gòu)。圖像分塊采用DCT字典，圖像重構(gòu)方法采用OMP算法。同時每種方法測試200次，然后比較每種方法的PSNR和SSIM值。

同時，用16×64的觀測矩陣對Lena測試圖像進(jìn)行重構(gòu)，從而得到如圖3的重構(gòu)結(jié)果。

通過圖3看出，采用LDPC對角塊矩陣得到的圖像重構(gòu)效果要明顯好于采用其他觀測矩陣得到的圖像［10]。而為了更好地更為客觀地分析重構(gòu)質(zhì)量，通過實驗得到PSNR和SSIM指標(biāo)。具體見圖4。

圖3 不同觀測矩陣對Lena的重構(gòu)結(jié)果

圖4 不同觀測矩陣重構(gòu)Lena圖像的評價指標(biāo)

實驗2：

對圖5的512×512的某遙感圖像進(jìn)行重構(gòu)，稀疏基同樣采用8×8原子大小的DCT字典，重構(gòu)算法采用 OMP［11～12]，觀測矩陣采用 16×64 大小。通過重構(gòu)得到圖6的遙感圖像。

圖5 山脈遙感圖像

通過重構(gòu)，得到圖6的重構(gòu)結(jié)果。對圖像6的重構(gòu)看出，采用對角化的觀測矩陣得到的重構(gòu)圖像較清晰。同樣通過多次試驗對PSNR和SSIM的統(tǒng)計，得到表1的結(jié)果。

圖6 重構(gòu)結(jié)果

表1 四種不同觀測矩陣重構(gòu)的評價結(jié)果

綜合比較，對角化LDPC觀測矩陣的重構(gòu)效果優(yōu)于其他同等規(guī)模的觀測矩陣重構(gòu)效果。

5 結(jié)語

通過上述的研究看出，LDPC校驗碼在圖像重構(gòu)方案具有較強的優(yōu)勢，借助其優(yōu)勢取代了傳統(tǒng)置亂對角塊矩陣當(dāng)中的對角塊，并簡化了觀測矩陣。同時，通過仿真也驗證了采用LDPC校驗碼對對角塊矩陣的構(gòu)建具有很強的優(yōu)勢，在相同規(guī)模的觀測矩陣下，對角塊化后的LDPC觀測矩陣得到的重構(gòu)遙感圖像更清晰。