王 恩 宋開蘭 劉利娟 馬 冰 李德民
(鄭州大學物理工程學院,河南 鄭州 450001)
強子之間的相互作用以及強子性質(zhì)是強子物理領(lǐng)域的重要研究對象,基于強相互作用的規(guī)范理論——量子色動力學(Quantum Chromodynamics,QCD)理論發(fā)展了很多研究強相互作用的唯象理論。其中,手征微擾理論系統(tǒng)考慮了手征對稱性及其自發(fā)對稱性破缺,可以成功的用于描述最輕的贗標介子之間相互作用,然而,由于該理論中拉氏量是對動量和質(zhì)量微擾展開,因此并不能直接用于描述共振態(tài)的性質(zhì)。手征幺正方法從手征微擾論得到的振幅出發(fā),利用耦合道的李普曼-史溫格(Lipmann-Schwinger,L-S)方程來描述無窮多s道散射圈圖[1,2]。手征幺正方法在解釋和預言強子共振態(tài)的動力學性質(zhì)方面取得了很多成功[1-4]。例如,手征幺正方法預言在Λ(1405)共振態(tài)質(zhì)量附近有兩個非??拷臉O點,這也被大量實驗所證實,相關(guān)討論可以參考粒子數(shù)據(jù)組(Particle Data Group, PDG)關(guān)于Λ(1405)共振態(tài)的綜述介紹[5]。
本文結(jié)構(gòu)如下,首先在第2節(jié)從希爾伯特空間定態(tài)散射過程導出L-S方程,然后在第3節(jié)將L-S方程推廣到耦合道情況,并導出B-S方程,第4節(jié)并討論了Λ(1405)的雙極點結(jié)構(gòu),最后為本文的一個總結(jié)。
對于兩粒子的散射過程,入射粒子受到散射中心的作用,其相互作用可以用勢場V(r)描述。在實際散射過程中,勢場一般是連續(xù)且光滑的,在r→∞時,勢場很快趨于零。 當勢場V(r)不隨時間變化時,由于入射粒子具有確定的動量p,散射過程中能量是守恒量,這便是定態(tài)散射[6]。
在希爾伯特空間中,入射平面波φ滿足的薛定諤方程為
H0|φ〉=E|φ〉
(1)
其中,H0為入射粒子的哈密頓算符;E為入射粒子的能量。描述定態(tài)散射過程的薛定諤方程為
[H0+V(r)]|ψ〉=E|ψ〉
(2)
其中ψ為定態(tài)散射波函數(shù)。式(2)減式(1),得到
[E-H0]|ψ-φ〉=V|ψ〉
(3)
為了求解該方程,需要將逆算符1/(E-H0)作用于方程兩邊,可以得到
(4)
需要注意的是,這里假設(shè)了逆算符1/(E-H0)是存在的。一般情況下,算符H0的函數(shù)也是算符,其本征矢可以由算符H0的本征矢定義,即
f(H0)|Ei〉=f(Ei)|Ei〉
(5)
由于逆算符1/(E-H0)在H0的本征態(tài)φ上會出現(xiàn)奇點,為了解決這個問題,將能量Ei擴大到復數(shù)域上,即式(4)可以改寫為
(6)
其中ε為一個無窮小量,在全部運算完畢后再取ε→0極限。原則上ε前面的符號可正可負。當ε前面符號為正時,格林算符為推遲格林算符,表示較早時刻的態(tài)對當前態(tài)的影響;當ε前面符號為負時,格林算符為超前格林算符,表示未來的態(tài)對當前的態(tài)的影響,即超前格林算符沒有物理意義[6]。其中將能量Ei擴大到復數(shù)域上的逆算符為格林算符,即
(7)
式(6)即為李普曼-史溫格(Lipmann-Schwinger,L-S)方程,該方程是與式(2)的定態(tài)散射的薛定諤方程完全等價。
為了將散射振幅表示為算符的矩陣元,定義算符T,滿足
T|φ〉=V|ψ〉
(8)
T算符又稱為躍遷算符。將勢能V作用于式(4)兩邊,并利用式(7)可以得到
(9)
由上式可以得到算符滿足的關(guān)系為
(10)
將上式中算符T進行迭代,有
(11)
該式為T算符的波恩級數(shù),其對應無窮多s道散射過程。當散射勢能遠小于哈密頓H0時,上式右邊的后一項遠小于前一項。由右邊第一項算出的截面為一級波恩近似,由右邊前兩項算出的截面為二級玻恩近似。
(12)
結(jié)合式(10),可以得到散射振幅在相應耦合道中的矩陣元為
另外,公式(13)~(15)也可以表示為如下矩陣方程,
(16)
上式中第二項包含了對四動量q的積分(這里是在相對論框架下進行討論的),
(17)
上式中k,p為散射過程中初態(tài)耦合道中兩個介子的四動量;k′和p′分別為末態(tài)耦合道中兩個介子的四動量。一般情況下,在計算式(17)中的積分時,矩陣元v和t均不在殼。不在殼部分的散射振幅的結(jié)構(gòu)與樹圖振幅的結(jié)構(gòu)相似,因此在實際的計算過程中,將不在殼部分的貢獻吸收到樹圖中,所以可以取矩陣元v和t都在殼[4],這時式(17)可以簡化為
(18)
式(16)描述的耦合道散射過程可以用圖1表示。圖1(a)對應耦合道之間的散射振幅t;圖1(b)對應式(16)右側(cè)第一項所示的耦合道之間的相互作用勢v;圖1(c)對應于式(16)右側(cè)第二項的vGt(或vijGjjtjk),其中矩陣元Gjj對應于第j個耦合道中兩個介子的圈圖傳播子,vijGjjtjk表示第i個耦合道中的介子對通過相互作用勢vij首先散射到作為中間態(tài)的第j個耦合道的介子對,之后再通過tjk轉(zhuǎn)化為作為末態(tài)的第k個耦合道的介子對。當把式(16)右邊的散射振福t進行迭代,就可以得到,
(19)
圖1 耦合道的散射過程
上式右側(cè)第n(n>1)項,代表包含n-1個s道散射圈圖的貢獻,即初態(tài)耦合道中的介子對通過n-1次重散射轉(zhuǎn)化為末態(tài)耦合道中的介子對。
需要注意的是式(17)和(18)中的矩陣元Gjj不再是由式(7)描述的格林算符給出的矩陣元,而是相對論情況下耦合道中兩個介子的圈圖傳播子[4],由量子場論可得
(20)
式中,P為介子-介子耦合道系統(tǒng)的總的四動量;q為圈圖中其中一個介子的四動量。
(21)
將矩陣元v和t提到動量積分外面,由式(16)可以計算出散射振幅為
(22)
上式即為耦合道的L-S方程,又稱為Bethe-Salpeter方程。
(23)
在某些情況下,散射振幅第一黎曼面上會有實的極點,這對應于動力學產(chǎn)生的束縛態(tài)(1)此處所謂的束縛態(tài),指的是其質(zhì)量小于最低耦合道的閾值的態(tài)。。這些動力學產(chǎn)生的共振態(tài)與第i個耦合道的耦合常數(shù)gi可以通過計算散射振幅在極點位置的留數(shù)得到,即
(24)
一般來說耦合常數(shù)gi為復數(shù)。
本節(jié)將從贗標介子和最低質(zhì)量的八重態(tài)重子出發(fā),利用B-S方程計算Λ(1405)的雙極點結(jié)構(gòu)。首先,包含八重態(tài)贗標介子和JP=1/2+八重態(tài)重子的最低階相互作用拉氏量為[2]
(25)
符號〈〉代表對矩陣求跡,f為耦合常數(shù),f=1.15fπ,fπ=92.4 MeV[2,7]。其中Φ和B分別為介子和重子的SU(3)矩陣元,
(26)
由式(25)可得到耦合道之間的最低階的相互作用勢能,
(27)
(28)
Mi和Ei分別為第i個耦合道中重子的質(zhì)量和能量。
(29)
(30)
對于式(20)表示的圈圖傳播子,此處我們采用維數(shù)正規(guī)化的解析表達式[7],即,
(31)
(32)
圖和πΣ→πΣ的散射振幅的模方
手征幺正方法是從最低階的手征微擾理論得到的振幅出發(fā),利用推廣到耦合道的李普曼史溫格方程來描述無窮多個s道散射圈圖,手征幺正方法在描述強子共振態(tài)的性質(zhì)方面取得了成功。本文中,我們從希爾伯特空間的定態(tài)散射過程出發(fā),首先介紹了李普曼-史溫格方程,然后推廣到耦合道的散射過程,并得到計算耦合道的散射振幅的Bethe-Salpeter方程,并介紹了散射振幅的極點與共振態(tài)的對應關(guān)系。最后,我們利用計算耦合道散射振幅的B-S方程計算了Λ(1405)的雙極點結(jié)構(gòu)。