☉江蘇省海安市城南實(shí)驗(yàn)中學(xué) 鄧厚波

解題教學(xué)、習(xí)題講評(píng)幾乎在每節(jié)數(shù)學(xué)課中都有體現(xiàn)，但是不同的數(shù)學(xué)教師對(duì)解題教學(xué)的認(rèn)識(shí)和理解有很大的不同，特別是一些未經(jīng)充分準(zhǔn)備的解題教學(xué)，往往就題講題，沒有觸及問題本質(zhì)，也就是史寧中教授所指出的：只知道在講題，但沒有“破題”.本文結(jié)合最近聽兩節(jié)隨堂課中記錄的講題片段，跟進(jìn)評(píng)析并提出教學(xué)建議，供研討.

一、兩則解題教學(xué)的片段及教學(xué)建議

教學(xué)案例（一）“含參”二次函數(shù)綜合題講評(píng)

說明：這是一份中考?？季淼牡?6題第（2）問，據(jù)講評(píng)老師說閱卷時(shí)發(fā)現(xiàn)很多學(xué)生沒做出來，班上只有3名學(xué)生用了不同的思路解題，上課前布置了這3名學(xué)生先講解此題.

習(xí)題1：已知二次函數(shù)y=-x2+bx-c的圖像與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為（m-2，0）和（2m+1，0）.

（2）若y=1時(shí)，自變量x有唯一的值，求二次函數(shù)的解析式.

生1：題目中提到二次函數(shù)的圖像與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為（m-2，0）和（2m+1，0），所以可以先求出對(duì)稱軸：x=，結(jié)合y=1，代入二次函數(shù)表達(dá)式中，解關(guān)于m的方程可得解.

生3：由圖像與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為（m-2，0）和（2m+1，0），可以設(shè)二次函數(shù)的“交點(diǎn)式”為：y=-（x-m+2）（x-2m-1），再把頂點(diǎn)坐標(biāo)代入計(jì)算.

師：這三名同學(xué)的解題思路各不相同，他們?cè)诮忸}時(shí)都注意到了什么？

師：題目中什么條件可以幫助你得到頂點(diǎn)的坐標(biāo)？

生1：由（m-2，0）和（2m+1，0）可以得到頂點(diǎn)的橫坐標(biāo)為

生2：y=1時(shí)，自變量x有唯一的值，說明y=1是頂點(diǎn)的縱坐標(biāo).

師：生5（成績(jī)中上），你在解題時(shí)看出頂點(diǎn)的坐標(biāo)了嗎？

生5：看出來了.

師：后面為什么沒有做出來呢？

生5：后面不知道怎么做.

師：這道題的最終目標(biāo)是什么？

生5：求這個(gè)二次函數(shù)的解析式.

師：這就是你應(yīng)該接著思考的方向，題目中已有解析式y(tǒng)=-x2+bx-c，可以將b、c用m來表示，比如他們3人的做法，可以將解析式重新設(shè)為頂點(diǎn)式或交點(diǎn)式，當(dāng)我們?cè)诮忸}中失去方向時(shí)，不妨看看我們的目標(biāo)，它也許能為我們引路，當(dāng)我們沿著方向找不到路時(shí)，不妨看看條件，它也許就是解題走向成功的基石.

簡(jiǎn)評(píng)：雖然上述教學(xué)對(duì)話讓不少學(xué)生似乎理解了這道題的解答，但是我們覺得這類問題的教學(xué)關(guān)鍵沒有講到位.那么什么是這道習(xí)題的關(guān)鍵步驟？ 除了在上述對(duì)話中教師反復(fù)提及的頂點(diǎn)坐標(biāo)我們認(rèn)為處理這類“含參”二次函數(shù)的另一個(gè)關(guān)鍵就是“消參”，就像二元一次方程組的求解一樣，需要引導(dǎo)學(xué)生重視消去多個(gè)參數(shù)，如不看后續(xù)設(shè)問，就應(yīng)該能夠把二次函數(shù)解析式中的b、c用含m的式子表示出來，從而再借助對(duì)最值或頂點(diǎn)的分析就能實(shí)現(xiàn)問題解決.教學(xué)中可以適時(shí)出示一些提示性、鋪墊式問題：

問題1：用含m的式子分別表示b、c；

問題2：畫該二次函數(shù)的圖像（拋物線，草圖），并用含m的式子表示頂點(diǎn)的坐標(biāo).

教學(xué)組織：教學(xué)過程中讓學(xué)生圍繞這兩個(gè)問題充分討論、交流、展示，可以實(shí)現(xiàn)鋪墊問題的教學(xué)價(jià)值，促進(jìn)學(xué)生想清、想透問題求解的關(guān)鍵.

教學(xué)案例（二）旋轉(zhuǎn)后探究定點(diǎn)與動(dòng)點(diǎn)的最小距離

習(xí)題2：在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)O（0，0）、A（2，0）、.將△OAB繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)α（0°＜α＜360°）得到△OA′B′，（其中點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)到點(diǎn)A′的位置）設(shè)直線AA′與直線BB′相交于點(diǎn)P，則線段CP長(zhǎng)的最小值為（）.

師：由題目我們可以知道，C是定點(diǎn)（-2，0），而P是動(dòng)點(diǎn)，所以要求線段CP長(zhǎng)的最小值，我們需要知道什么呢？

生1：點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)軌跡.

師：非常好，那點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)軌跡是什么呢？請(qǐng)同學(xué)們根據(jù)題目中的已知條件先自行畫出圖形來思考.

（學(xué)生自己畫圖，教師巡視，發(fā)現(xiàn)了幾種不同的畫法，挑選其中的圖1摘記如下，有幾個(gè)學(xué)生因?yàn)楫媹D不精準(zhǔn)，比如旋轉(zhuǎn)后△OA′B′的形狀與大小發(fā)生變化，影響了思路探究的方向，教師提醒了學(xué)生作圖要準(zhǔn)確）

師：這種圖形對(duì)應(yīng)的是α在什么范圍內(nèi)的情形？

生2：0°＜α＜90°.

師：還有同學(xué)畫的是旋轉(zhuǎn)角度在90°＜α＜180°、180°＜α＜270°或者270°＜α＜360°的吧，你們把圖形檢查一下：是否精準(zhǔn)構(gòu)圖？通過這些有代表性的圖形，你能發(fā)現(xiàn)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)軌跡嗎？如何說明呢？

（學(xué)生眉頭緊鎖，感覺還是無(wú)從下手）

師：換個(gè)問題，你能求出∠APB的度數(shù)嗎？請(qǐng)同學(xué)們對(duì)照各自所畫的圖形求解.

（學(xué)生思考，在練習(xí)本上書寫過程，教師在巡視過程中發(fā)現(xiàn)一些成功的解法，安排相應(yīng)學(xué)生上臺(tái)講解）

生3：由旋轉(zhuǎn)過程我們可以知道，OA=OA′，OB=OB′，∠AOA′=∠BOB′=α，所以可以得到△AOA′～△BOB′，所以∠OAA′=∠OBB′.又∠OAA′+∠OAP=180°（平角的定義），所以∠OBB′+∠OAP=180°，所以在四邊形OAPB中，由四邊形內(nèi)角和為360°，可以得到∠AOB+∠APB=180°，所以∠APB=90°.

師：嗯，好，說得非常詳細(xì).得到∠APB=90°.那么其他不同旋轉(zhuǎn)角度情況下是不是也能得到∠APB=90°呢？哪個(gè)同學(xué)來說明一下？

生4：同樣可以得到，因?yàn)樽C明相似或推導(dǎo)等角的一些要素都沒有變化，只是圖形位置發(fā)生了變化.

師：你們分組再互相講解一下證明直角的過程.

師：現(xiàn)在知道了始終有∠APB=90°，那你說點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)軌跡是什么呢？

生5：以AB為直徑的圓.

生6：會(huì)！

師：那么，誰(shuí)來給大家說一下？好的，你上臺(tái)講解一下.

生6：首先，我們可以知道點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的圓的圓心，記為點(diǎn)Q，其坐標(biāo)為，半徑為2.CP最小就是CQ-r，即

師：同學(xué)們聽懂了沒有？

生：（齊）懂了.

師：好的，如果我要求CP長(zhǎng)的最大值呢？

生：（齊）CQ+r.

師：相信同學(xué)們下次再遇到這類題型應(yīng)該能夠解決了.

簡(jiǎn)評(píng)：這道考題突破的關(guān)鍵是三角形繞原點(diǎn)旋轉(zhuǎn)后其中一組對(duì)應(yīng)邊所在直線的夾角問題，從上面的教學(xué)對(duì)話來看，教師在這個(gè)方面引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行了較為深入的討論，并且在不同旋轉(zhuǎn)后的圖形位置進(jìn)行了畫圖探究，教學(xué)用時(shí)較多.我們認(rèn)為，從解題教學(xué)效率來看，不宜讓學(xué)生畫出這么多旋轉(zhuǎn)之后對(duì)應(yīng)的圖形，這些圖形的精準(zhǔn)構(gòu)圖耗時(shí)費(fèi)力，是一種較為盲目的試探性質(zhì)的“實(shí)驗(yàn)畫圖”，通過大量“實(shí)驗(yàn)畫圖”發(fā)現(xiàn)規(guī)律對(duì)于考場(chǎng)上解決這類問題消耗的時(shí)間來說成本太高，并不是有效的應(yīng)試解題指導(dǎo).考慮到選擇題解題的特殊性，我們可以任選一個(gè)旋轉(zhuǎn)角度，以特殊角度30°、45°或90°為例，可以構(gòu)造一些特殊位置，獲得求解方向之后，引導(dǎo)學(xué)生“走向一般”進(jìn)行思考、歸納并大膽猜想，如果有條件，教師課前應(yīng)該制成幾何畫板的演示課件，以提高課堂效率.

二、進(jìn)一步的思考

（一）開展較難習(xí)題講評(píng)之前教師精心備題

從上面兩則解題教學(xué)片段來看，教師在上課之前都對(duì)相關(guān)學(xué)生答題進(jìn)行了批閱，教師本人也理解了學(xué)生的一些不同解法，所以安排了不同學(xué)生上臺(tái)講解，并跟進(jìn)追問，看似準(zhǔn)備得比較充分，其實(shí)精心備題還有很多可以提升之處，比如，教師要想清問題求解的關(guān)鍵步驟，并從學(xué)情研判出發(fā)，思考多數(shù)學(xué)生不能順利求解的原因是什么，需要在哪些方面加強(qiáng)引導(dǎo)、教學(xué)干預(yù)，就如我們?cè)谏厦嫣峁┑囊恍┎僮餍越ㄗh一樣，這樣的“鋪墊式問題”在課前充分預(yù)設(shè)了，就可以讓課堂討論、交流有一個(gè)主線，以免學(xué)生的講題“踩著西瓜皮，滑到哪里是哪里”，造成解題教學(xué)效率的低下.

（二）解題教學(xué)后要安排解后回顧、明辨難點(diǎn)

從上面兩個(gè)解題教學(xué)的片段來看，教師在解題教學(xué)之后，都沒有引導(dǎo)學(xué)生反思回顧，想清辨明這些較難題的關(guān)鍵步驟、易錯(cuò)之處，這是一種教學(xué)遺憾.美國(guó)著名數(shù)學(xué)教育家波利亞在名著《怎樣解題》中一再?gòu)?qiáng)調(diào)解后回顧的重要性，是值得我們傾聽的，并將這種解后回顧與反思傳遞給學(xué)生，讓他們也懂得解后回看問題結(jié)構(gòu)、關(guān)鍵步驟、難點(diǎn)障礙點(diǎn)等，這樣的教學(xué)環(huán)節(jié)就像從“黑暗中摸索”走向“開燈看清”一樣，不可或缺.