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        解題教學(xué)要重視“破題”與反思回顧
        ——以兩則解題教學(xué)的片段為例

        2019-09-25 01:59:48江蘇省海安市城南實(shí)驗(yàn)中學(xué)鄧厚波
        中學(xué)數(shù)學(xué)雜志 2019年18期
        關(guān)鍵詞:破題講題頂點(diǎn)

        ☉江蘇省海安市城南實(shí)驗(yàn)中學(xué) 鄧厚波

        解題教學(xué)、習(xí)題講評(píng)幾乎在每節(jié)數(shù)學(xué)課中都有體現(xiàn),但是不同的數(shù)學(xué)教師對(duì)解題教學(xué)的認(rèn)識(shí)和理解有很大的不同,特別是一些未經(jīng)充分準(zhǔn)備的解題教學(xué),往往就題講題,沒有觸及問題本質(zhì),也就是史寧中教授所指出的:只知道在講題,但沒有“破題”.本文結(jié)合最近聽兩節(jié)隨堂課中記錄的講題片段,跟進(jìn)評(píng)析并提出教學(xué)建議,供研討.

        一、兩則解題教學(xué)的片段及教學(xué)建議

        教學(xué)案例(一)“含參”二次函數(shù)綜合題講評(píng)

        說明:這是一份中考??季淼牡?6題第(2)問,據(jù)講評(píng)老師說閱卷時(shí)發(fā)現(xiàn)很多學(xué)生沒做出來,班上只有3名學(xué)生用了不同的思路解題,上課前布置了這3名學(xué)生先講解此題.

        習(xí)題1:已知二次函數(shù)y=-x2+bx-c的圖像與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為(m-2,0)和(2m+1,0).

        (2)若y=1時(shí),自變量x有唯一的值,求二次函數(shù)的解析式.

        生1:題目中提到二次函數(shù)的圖像與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為(m-2,0)和(2m+1,0),所以可以先求出對(duì)稱軸:x=,結(jié)合y=1,代入二次函數(shù)表達(dá)式中,解關(guān)于m的方程可得解.

        生3:由圖像與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為(m-2,0)和(2m+1,0),可以設(shè)二次函數(shù)的“交點(diǎn)式”為:y=-(x-m+2)(x-2m-1),再把頂點(diǎn)坐標(biāo)代入計(jì)算.

        師:這三名同學(xué)的解題思路各不相同,他們?cè)诮忸}時(shí)都注意到了什么?

        師:題目中什么條件可以幫助你得到頂點(diǎn)的坐標(biāo)?

        生1:由(m-2,0)和(2m+1,0)可以得到頂點(diǎn)的橫坐標(biāo)為

        生2:y=1時(shí),自變量x有唯一的值,說明y=1是頂點(diǎn)的縱坐標(biāo).

        師:生5(成績(jī)中上),你在解題時(shí)看出頂點(diǎn)的坐標(biāo)了嗎?

        生5:看出來了.

        師:后面為什么沒有做出來呢?

        生5:后面不知道怎么做.

        師:這道題的最終目標(biāo)是什么?

        生5:求這個(gè)二次函數(shù)的解析式.

        師:這就是你應(yīng)該接著思考的方向,題目中已有解析式y(tǒng)=-x2+bx-c,可以將b、c用m來表示,比如他們3人的做法,可以將解析式重新設(shè)為頂點(diǎn)式或交點(diǎn)式,當(dāng)我們?cè)诮忸}中失去方向時(shí),不妨看看我們的目標(biāo),它也許能為我們引路,當(dāng)我們沿著方向找不到路時(shí),不妨看看條件,它也許就是解題走向成功的基石.

        簡(jiǎn)評(píng):雖然上述教學(xué)對(duì)話讓不少學(xué)生似乎理解了這道題的解答,但是我們覺得這類問題的教學(xué)關(guān)鍵沒有講到位.那么什么是這道習(xí)題的關(guān)鍵步驟? 除了在上述對(duì)話中教師反復(fù)提及的頂點(diǎn)坐標(biāo)我們認(rèn)為處理這類“含參”二次函數(shù)的另一個(gè)關(guān)鍵就是“消參”,就像二元一次方程組的求解一樣,需要引導(dǎo)學(xué)生重視消去多個(gè)參數(shù),如不看后續(xù)設(shè)問,就應(yīng)該能夠把二次函數(shù)解析式中的b、c用含m的式子表示出來,從而再借助對(duì)最值或頂點(diǎn)的分析就能實(shí)現(xiàn)問題解決.教學(xué)中可以適時(shí)出示一些提示性、鋪墊式問題:

        問題1:用含m的式子分別表示b、c;

        問題2:畫該二次函數(shù)的圖像(拋物線,草圖),并用含m的式子表示頂點(diǎn)的坐標(biāo).

        教學(xué)組織:教學(xué)過程中讓學(xué)生圍繞這兩個(gè)問題充分討論、交流、展示,可以實(shí)現(xiàn)鋪墊問題的教學(xué)價(jià)值,促進(jìn)學(xué)生想清、想透問題求解的關(guān)鍵.

        教學(xué)案例(二)旋轉(zhuǎn)后探究定點(diǎn)與動(dòng)點(diǎn)的最小距離

        習(xí)題2:在平面直角坐標(biāo)系xOy中,點(diǎn)O(0,0)、A(2,0)、.將△OAB繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)α(0°<α<360°)得到△OA′B′,(其中點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)到點(diǎn)A′的位置)設(shè)直線AA′與直線BB′相交于點(diǎn)P,則線段CP長(zhǎng)的最小值為().

        師:由題目我們可以知道,C是定點(diǎn)(-2,0),而P是動(dòng)點(diǎn),所以要求線段CP長(zhǎng)的最小值,我們需要知道什么呢?

        生1:點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)軌跡.

        師:非常好,那點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)軌跡是什么呢?請(qǐng)同學(xué)們根據(jù)題目中的已知條件先自行畫出圖形來思考.

        (學(xué)生自己畫圖,教師巡視,發(fā)現(xiàn)了幾種不同的畫法,挑選其中的圖1摘記如下,有幾個(gè)學(xué)生因?yàn)楫媹D不精準(zhǔn),比如旋轉(zhuǎn)后△OA′B′的形狀與大小發(fā)生變化,影響了思路探究的方向,教師提醒了學(xué)生作圖要準(zhǔn)確)

        師:這種圖形對(duì)應(yīng)的是α在什么范圍內(nèi)的情形?

        生2:0°<α<90°.

        師:還有同學(xué)畫的是旋轉(zhuǎn)角度在90°<α<180°、180°<α<270°或者270°<α<360°的吧,你們把圖形檢查一下:是否精準(zhǔn)構(gòu)圖?通過這些有代表性的圖形,你能發(fā)現(xiàn)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)軌跡嗎?如何說明呢?

        (學(xué)生眉頭緊鎖,感覺還是無(wú)從下手)

        師:換個(gè)問題,你能求出∠APB的度數(shù)嗎?請(qǐng)同學(xué)們對(duì)照各自所畫的圖形求解.

        (學(xué)生思考,在練習(xí)本上書寫過程,教師在巡視過程中發(fā)現(xiàn)一些成功的解法,安排相應(yīng)學(xué)生上臺(tái)講解)

        生3:由旋轉(zhuǎn)過程我們可以知道,OA=OA′,OB=OB′,∠AOA′=∠BOB′=α,所以可以得到△AOA′~△BOB′,所以∠OAA′=∠OBB′.又∠OAA′+∠OAP=180°(平角的定義),所以∠OBB′+∠OAP=180°,所以在四邊形OAPB中,由四邊形內(nèi)角和為360°,可以得到∠AOB+∠APB=180°,所以∠APB=90°.

        師:嗯,好,說得非常詳細(xì).得到∠APB=90°.那么其他不同旋轉(zhuǎn)角度情況下是不是也能得到∠APB=90°呢?哪個(gè)同學(xué)來說明一下?

        生4:同樣可以得到,因?yàn)樽C明相似或推導(dǎo)等角的一些要素都沒有變化,只是圖形位置發(fā)生了變化.

        師:你們分組再互相講解一下證明直角的過程.

        師:現(xiàn)在知道了始終有∠APB=90°,那你說點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)軌跡是什么呢?

        生5:以AB為直徑的圓.

        生6:會(huì)!

        師:那么,誰(shuí)來給大家說一下?好的,你上臺(tái)講解一下.

        生6:首先,我們可以知道點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的圓的圓心,記為點(diǎn)Q,其坐標(biāo)為,半徑為2.CP最小就是CQ-r,即

        師:同學(xué)們聽懂了沒有?

        生:(齊)懂了.

        師:好的,如果我要求CP長(zhǎng)的最大值呢?

        生:(齊)CQ+r.

        師:相信同學(xué)們下次再遇到這類題型應(yīng)該能夠解決了.

        簡(jiǎn)評(píng):這道考題突破的關(guān)鍵是三角形繞原點(diǎn)旋轉(zhuǎn)后其中一組對(duì)應(yīng)邊所在直線的夾角問題,從上面的教學(xué)對(duì)話來看,教師在這個(gè)方面引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行了較為深入的討論,并且在不同旋轉(zhuǎn)后的圖形位置進(jìn)行了畫圖探究,教學(xué)用時(shí)較多.我們認(rèn)為,從解題教學(xué)效率來看,不宜讓學(xué)生畫出這么多旋轉(zhuǎn)之后對(duì)應(yīng)的圖形,這些圖形的精準(zhǔn)構(gòu)圖耗時(shí)費(fèi)力,是一種較為盲目的試探性質(zhì)的“實(shí)驗(yàn)畫圖”,通過大量“實(shí)驗(yàn)畫圖”發(fā)現(xiàn)規(guī)律對(duì)于考場(chǎng)上解決這類問題消耗的時(shí)間來說成本太高,并不是有效的應(yīng)試解題指導(dǎo).考慮到選擇題解題的特殊性,我們可以任選一個(gè)旋轉(zhuǎn)角度,以特殊角度30°、45°或90°為例,可以構(gòu)造一些特殊位置,獲得求解方向之后,引導(dǎo)學(xué)生“走向一般”進(jìn)行思考、歸納并大膽猜想,如果有條件,教師課前應(yīng)該制成幾何畫板的演示課件,以提高課堂效率.

        二、進(jìn)一步的思考

        (一)開展較難習(xí)題講評(píng)之前教師精心備題

        從上面兩則解題教學(xué)片段來看,教師在上課之前都對(duì)相關(guān)學(xué)生答題進(jìn)行了批閱,教師本人也理解了學(xué)生的一些不同解法,所以安排了不同學(xué)生上臺(tái)講解,并跟進(jìn)追問,看似準(zhǔn)備得比較充分,其實(shí)精心備題還有很多可以提升之處,比如,教師要想清問題求解的關(guān)鍵步驟,并從學(xué)情研判出發(fā),思考多數(shù)學(xué)生不能順利求解的原因是什么,需要在哪些方面加強(qiáng)引導(dǎo)、教學(xué)干預(yù),就如我們?cè)谏厦嫣峁┑囊恍┎僮餍越ㄗh一樣,這樣的“鋪墊式問題”在課前充分預(yù)設(shè)了,就可以讓課堂討論、交流有一個(gè)主線,以免學(xué)生的講題“踩著西瓜皮,滑到哪里是哪里”,造成解題教學(xué)效率的低下.

        (二)解題教學(xué)后要安排解后回顧、明辨難點(diǎn)

        從上面兩個(gè)解題教學(xué)的片段來看,教師在解題教學(xué)之后,都沒有引導(dǎo)學(xué)生反思回顧,想清辨明這些較難題的關(guān)鍵步驟、易錯(cuò)之處,這是一種教學(xué)遺憾.美國(guó)著名數(shù)學(xué)教育家波利亞在名著《怎樣解題》中一再?gòu)?qiáng)調(diào)解后回顧的重要性,是值得我們傾聽的,并將這種解后回顧與反思傳遞給學(xué)生,讓他們也懂得解后回看問題結(jié)構(gòu)、關(guān)鍵步驟、難點(diǎn)障礙點(diǎn)等,這樣的教學(xué)環(huán)節(jié)就像從“黑暗中摸索”走向“開燈看清”一樣,不可或缺.

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