李 立,張皓晶,張 雄,邱龍斌,姚 蕊,吳楊峰

(云南師范大學(xué) 物理與電子信息學(xué)院，云南 昆明 650500)

隨著科學(xué)技術(shù)的不斷進(jìn)步和發(fā)展，智能手機(jī)的功能也得到不斷提高. 近年來，智能手機(jī)與物理實(shí)驗(yàn)教學(xué)相結(jié)合已經(jīng)成為較為普遍的趨勢(shì)[1-4]. 越來越多的物理教師開始重視使用智能手機(jī)的相關(guān)功能進(jìn)行物理課程教學(xué)[5-6]. 智能手機(jī)與物理實(shí)驗(yàn)教學(xué)相結(jié)合，不僅能夠一定程度上簡(jiǎn)化和優(yōu)化實(shí)驗(yàn)過程，提高實(shí)驗(yàn)結(jié)果精確性，同時(shí)還能夠激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，對(duì)培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新思維具有一定的促進(jìn)作用，而且隨著智能手機(jī)的高度普及，也增加了該教學(xué)方法推廣的可能性. 本文使用iPhone的磁性傳感器和Sensor Kinetics App與被磁化的雙線擺小球?qū)嶒?yàn)相結(jié)合，消除了由于單擺實(shí)驗(yàn)過程中計(jì)時(shí)不準(zhǔn)確和擺球做圓錐擺運(yùn)動(dòng)等原因?qū)?shí)驗(yàn)結(jié)果造成影響[7].

1 實(shí)驗(yàn)原理

用2根不可伸長(zhǎng)的輕質(zhì)繩將1個(gè)小擺球系緊，保持2根輕質(zhì)繩等長(zhǎng)，將輕質(zhì)繩兩端固定在1根水平直桿的兩端，使小球做幅角θ很小的擺動(dòng)，此系統(tǒng)就構(gòu)成了雙線擺. 假設(shè)小球的質(zhì)量為m，作用在小球切向力的大小為mgsinθ，它總是指向平衡點(diǎn)O′. 當(dāng)θ角很小時(shí)，則sinθ≈θ，切向力的大小為mgθ，根據(jù)牛頓第二定律，質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)方程為[8]

ma=-mgθ,

(1)

(2)

(3)

(4)

所以擺動(dòng)的周期為

(5)

在雙線擺的實(shí)驗(yàn)中l(wèi)應(yīng)為等效擺長(zhǎng)L，結(jié)合幾何關(guān)系后可求得等效擺長(zhǎng)為

(6)

其中,D是擺球的直徑，l為輕質(zhì)繩長(zhǎng)，s為輕質(zhì)繩兩端點(diǎn)A和B之間的距離. 對(duì)式(5)兩邊平方整理得

(7)

令y=T2，x=L，式(7)可以改寫為

(8)

由式(8)可以看出，在實(shí)驗(yàn)過程中使用Sensor Kinetics App精確測(cè)出不同等效擺長(zhǎng)下的振動(dòng)周期，然后根據(jù)實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)繪制“T2-L”，進(jìn)一步通過最小二乘法線性回歸擬合求出直線斜率a1，就可以求得重力加速度.

本文主要通過改變兩繩線長(zhǎng)度l，從而改變不同的等效擺長(zhǎng)，運(yùn)用iPhone手機(jī)中的磁性傳感器和Sensor Kinetics App得到雙線擺振動(dòng)的“磁感應(yīng)強(qiáng)度-時(shí)間”圖像，從而計(jì)算出雙線擺振動(dòng)的周期，再利用Origin軟件繪制出所得數(shù)據(jù)“T2-L”的圖像，最后根據(jù)最小二乘法的線性回歸擬合求出直線斜率，進(jìn)而求出重力加速度.

2 實(shí)驗(yàn)裝置

實(shí)驗(yàn)裝置如圖1所示. 主要實(shí)驗(yàn)器材有: 鐵架臺(tái)、空白萬能板、磁鐵、均勻鐵質(zhì)小球、安裝了Sensor Kinetics App的iPhone手機(jī)、載物臺(tái)、螺旋測(cè)微器等. 在圖1中A和B分別為雙線擺的2個(gè)端點(diǎn)，s是兩端點(diǎn)AB之間的距離.

圖1 雙線擺實(shí)驗(yàn)裝置圖

3 實(shí)驗(yàn)步驟

1) 用磁鐵將小球磁化.

2) 根據(jù)式(6)計(jì)算等效擺長(zhǎng). 用螺旋測(cè)微器測(cè)出小鐵球的直徑D，用手機(jī)長(zhǎng)度測(cè)距儀測(cè)出擺線長(zhǎng)度l和雙線固定端A和B點(diǎn)之間的距離，結(jié)合式(6)計(jì)算出等效擺L.

3) 如圖1所示，組裝實(shí)驗(yàn)裝置. 用手機(jī)測(cè)出雙線的長(zhǎng)度后，在線上做好標(biāo)志，將線穿過萬能板的小孔，并在繩子標(biāo)志的地方打結(jié)，將萬能板水平固定在2個(gè)鐵架臺(tái)之間，使用智能手機(jī)水平儀調(diào)整2個(gè)桌子和鐵架臺(tái)使其保持水平狀態(tài).

4) 將裝有Sensor Kinetics軟件的智能手機(jī)放在載物臺(tái)上.

5) 調(diào)整載物臺(tái)與小球的位置使手機(jī)位于小球運(yùn)動(dòng)最低點(diǎn)的正下方. 打開手機(jī)中的Sensor Kinetics App并選擇Magnetometer Sensor進(jìn)入測(cè)量準(zhǔn)備界面.

6) 將雙線擺緩緩拉開較小的角度(與豎直鉛垂線夾角小于5°)，放開雙線擺后，按下Magnetometer Sensor中的start鍵開始測(cè)量，等待30～60 s后按下stop鍵取下手機(jī). 根據(jù)Sensor Kinetics軟件繪制的“磁感應(yīng)強(qiáng)度-時(shí)間”的曲線，算出此時(shí)等效擺長(zhǎng)的擺動(dòng)周期.

7) 通過改變繩線的長(zhǎng)度，改變不同的等效擺長(zhǎng)，重復(fù)步驟5)和步驟6)，得到多組不同等效擺長(zhǎng)下的雙線擺動(dòng)周期.

4 數(shù)據(jù)處理與討論

圖2為Sensor Kinetic App繪制的“磁感應(yīng)強(qiáng)度-時(shí)間”的圖像. 以此例說明雙線擺振動(dòng)周期的具體算法.

(a)

(b)

(c)圖2 Sensor Kinetic繪制的“磁感應(yīng)強(qiáng)度-時(shí)間”圖

如圖2所示，“磁感應(yīng)強(qiáng)度-時(shí)間”圖像中，綠色曲線為手機(jī)在雙線擺振動(dòng)方向上的磁感應(yīng)強(qiáng)度變化曲線. 在圖2中，綠色曲線的最高點(diǎn)即為雙線擺球離手機(jī)最近的一點(diǎn). 將圖像進(jìn)一步放大，讀出綠色曲線峰值點(diǎn)對(duì)應(yīng)的時(shí)間值TA，再將圖像縮小，數(shù)20個(gè)峰值(即第21個(gè)峰值點(diǎn))，放大后讀出第21個(gè)峰值點(diǎn)對(duì)應(yīng)的時(shí)間點(diǎn)TB，則雙線擺的振動(dòng)周期T為

(9)

根據(jù)以上的描述，雙線擺在不同等效擺長(zhǎng)所測(cè)得的周期實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)如表1所示,實(shí)驗(yàn)中擺球直徑D=20.015 mm，兩端點(diǎn)間距s=15.60 cm，表1中l(wèi)為擺線長(zhǎng)度，L為等效擺長(zhǎng).

表1 實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)表

根據(jù)表1數(shù)據(jù)，使用Origin軟件進(jìn)行數(shù)據(jù)處理，繪制出“T2-L”的圖像，如圖3所示.

圖3 線性擬合圖

由圖3可知，使用Origin軟件最小二乘法的線性擬合求得其斜率a1=4.027 96，截距為-0.087 48，相關(guān)系數(shù)為r=0.998 94，δa1=0.02. 根據(jù)式(7)可知

所以求得重力加速度g為

重力加速度的不確定度為

所以求得重力加速度為

g=(9.79±0.04) m/s2.

由重力加速度理論計(jì)算式有

g=(980.616-2.592 cosφ+0.006 0cos2φ-

3.086×10-6h) cm/s2.

(10)

昆明位于北緯24°，平均海拔高度1 894 m代入式(10)后，求得重力加速度的理論值

g=9.795 11 m/s2,

可知實(shí)驗(yàn)值和理論值的相對(duì)偏差為

Er=0.04%.

由此可知，實(shí)驗(yàn)值和理論值吻合較好，即通過本實(shí)驗(yàn)方法測(cè)得重力加速度的結(jié)果較為精確.